人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第20讲 2.4.1圆的标准方程（含解析）

第07讲2.4.1圆的标准方程课程标准学习目标①理解圆的定义及确定圆的几何要素。②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.知识点01：圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为圆上任意一点，SKIPIF1<0可用集合表示为：SKIPIF1<0知识点02：圆的标准方程我们把方程SKIPIF1<0称为圆心为SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0的圆的标准方程.【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若圆SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径，则圆SKIPIF1<0的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可知，圆心SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，纵坐标为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，因此，圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.故选：A.知识点03：点与圆的位置关系判断点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设SKIPIF1<0到圆心SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外②SKIPIF1<0SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上③SKIPIF1<0SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内（2）代数法将点SKIPIF1<0带入SKIPIF1<0：SKIPIF1<0方程内①点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外SKIPIF1<0SKIPIF1<0②点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0③点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为SKIPIF1<0,半径为5的圆的标准方程,并判断点SKIPIF1<0是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【详解】圆心为SKIPIF1<0,半径为5的圆的标准方程是SKIPIF1<0．把点SKIPIF1<0的坐标代入方程SKIPIF1<0的左边,得SKIPIF1<0,左右两边相等,点SKIPIF1<0的坐标满足圆的方程,所以点SKIPIF1<0在这个圆上．把点SKIPIF1<0的坐标代入方程SKIPIF1<0的左边,得SKIPIF1<0,左右两边不相等,点SKIPIF1<0的坐标不满足圆的方程,所以点SKIPIF1<0不在这个圆上．又因为点SKIPIF1<0到圆心A的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故点SKIPIF1<0在圆内．知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离设SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0为平面内一点；记SKIPIF1<0;①若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外，则SKIPIF1<0;SKIPIF1<0②若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0;SKIPIF1<0③若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0;SKIPIF1<0【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆SKIPIF1<0，则圆上的点到点SKIPIF1<0距离的最大值为_____.【答案】6【详解】因为圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0,又圆心SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以圆上的点到点SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：6题型01求圆的标准方程【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：SKIPIF1<0，O为原点，则以SKIPIF1<0为直径的圆方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由圆C：SKIPIF1<0可知圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为直径的圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故所求圆的方程为：SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则以PQ为直径的圆的方程是______.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，即为圆心坐标，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0圆的半径为SKIPIF1<0则所求圆的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在SKIPIF1<0轴上，半径为5，且过点SKIPIF1<0，则圆的标准方程为_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】由题意，设圆的方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在圆上，可得SKIPIF1<0，解得b＝0或b＝－8，所以所求圆的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圆的圆心坐标为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设圆的方程为：SKIPIF1<0，代入点的坐标有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圆的方程为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型02由圆的方程求圆心或半径【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（

）A．圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为5B．圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0C．圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0D．圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对于A：由圆SKIPIF1<0可得：圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故选项A错误；对于B：由圆SKIPIF1<0可得：圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故选项B错误，对于C：由圆SKIPIF1<0可得：圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故选项C正确；对于D：由圆SKIPIF1<0可得：圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故选项D错误，故选：ABD.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）对称，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．4 D．8【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，依题意，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“=”，所以SKIPIF1<0的最小值为9.故选：B.【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线SKIPIF1<0经过圆SKIPIF1<0的圆心，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【详解】因为直线SKIPIF1<0经过圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：D【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0的圆心，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线SKIPIF1<0过圆心，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A题型03点与圆的位置关系【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在圆SKIPIF1<0的内部，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在圆内.故选：B【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，则SKIPIF1<0的取值不可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】由已知条件可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：AD.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内，则实数SKIPIF1<0的取值范围为____________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：由题意得SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0题型04与圆有关的最值问题【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【详解】过圆心C分别作直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，所以四边形SKIPIF1<0为矩形．由圆C：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最大值为1，故选：B.【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点SKIPIF1<0，当圆SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离最小时，圆SKIPIF1<0的标准方程为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0可得线段SKIPIF1<0中点坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直平分线的方程为SKIPIF1<0，所以圆心C在线段SKIPIF1<0垂直平分线上，当圆C到原点O的距离最小时，则SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0,又半径SKIPIF1<0,故圆的方程为：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．7 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以复数SKIPIF1<0对应的点的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆，SKIPIF1<0的几何意义为圆上的点与SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：C.【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在圆外，SKIPIF1<0．故选：D.题型05与圆有关的对称问题【典例1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0.若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点是SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的圆心是SKIPIF1<0，半径是SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则直线SKIPIF1<0的方程是___________【答案】SKIPIF1<0【详解】解：圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0.若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆心SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又两圆半径相等，故圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0故选：B【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为2，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则圆SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以圆SKIPIF1<0的圆心与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的半径为2，所以圆SKIPIF1<0半径为2，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选：C.题型06轨迹方程【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的一动点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0的轨迹方程是_______________.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图所示，

设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①因为Q为AP的中点，所以SKIPIF1<0，②所以由①②得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，所以点Q的轨迹方程为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】

如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为SKIPIF1<0的一条中位线，SKIPIF1<0，即有DQ∥OP，且SKIPIF1<0，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系SKIPIF1<0中，线段SKIPIF1<0，且两个端点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上滑动．求线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程；【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段SKIPIF1<0的端点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，端点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由已知可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为SKIPIF1<0的圆经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上.(1)求圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的一个动点，SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）设圆心C的坐标为SKIPIF1<0，半径为r，∵圆心C在直线SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∵圆C经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴圆心C的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆C的标准方程为：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵M为OP的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵P在圆C上，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴OP的中点M的轨迹方程为SKIPIF1<0.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点SKIPIF1<0，且过原点，则它的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设圆的半径为SKIPIF1<0，因为圆心是SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以半圆的方程为SKIPIF1<0，故选：D.2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条对称轴，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0是圆的一条对称轴，所以圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆SKIPIF1<0的圆心、半径是（）A．SKIPIF1<0，4 B．SKIPIF1<0，2 C．SKIPIF1<0，4 D．SKIPIF1<0，2【答案】D【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0半径SKIPIF1<0故选：D4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}【答案】A【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，即：SKIPIF1<0，整理得：﹣1＜a＜1.故选：A.5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，所以所求圆方程为SKIPIF1<0，故选:C.6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为SKIPIF1<0；乙：该圆经过点SKIPIF1<0；丙：该圆的圆心为SKIPIF1<0；丁：该圆经过点SKIPIF1<0．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【详解】设SKIPIF1<0.假设甲错误，乙丙丁正确，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矛盾，所以甲正确.假设乙错误，甲丙丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不满足上式，矛盾，所以乙正确.假设丙错误，甲乙丁正确.由乙丁得SKIPIF1<0，与半径为SKIPIF1<0矛盾，所以丙正确.假设丁错误，甲乙丙正确，则由甲丙可知圆的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足上式，符合题意.综上所述，结论错误的同学是丁.故选：D7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0的直线l与圆C交于A，B两点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，所以半径SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0相当于圆SKIPIF1<0上的点到点SKIPIF1<0距离，所以SKIPIF1<0的最大值为圆心SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0距离与圆的半径SKIPIF1<0的和，即SKIPIF1<0.故选：C.

二、多选题9．（2023·江苏·高二假期作业）过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0且半径为2的圆的方程可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】因为圆过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中SKIPIF1<0，设圆心所在的直线为l，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，所以直线l为SKIPIF1<0，设圆心坐标为SKIPIF1<0，因为半径为2，所以圆的方程为：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，综上圆的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：BC三、填空题10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0互相平行，则SKIPIF1<0的距离是__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0，于是直线SKIPIF1<0过圆心SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题11．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知点SKIPIF1<0求：(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；(2)过点A，B且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵点SKIPIF1<0∴过点A，B且周长最小的圆，即以AB为直径的圆，∵AB的中点SKIPIF1<0，故要求的圆的方程为SKIPIF1<0.（2）∵圆心在直线SKIPIF1<0上，设圆心为SKIPIF1<0∵圆过点A，B，∴DA＝DB，∴SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0∴圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0故要求的圆的方程为SKIPIF1<0．12．（2023秋·高一单元测试）已知圆SKIPIF1<0的圆心在SKIPIF1<0轴上，并且过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)求圆SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任意一点，定点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可知，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，它与SKIPIF1<0轴的交点为圆心SKIPIF1<0，又半径SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0B能力提升1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长，则SKIPIF1<0的最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意，动直线SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．16【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可