重难点02 三角形（五种模型）分析版

重难点02三角形（五种模型）目录题型一：“8”字模型题型二：飞镖模型题型三：“A”字模型题型四：“老鹰捉小鸡”模型题型五：（双）角平分线模型技巧方法技巧方法一、“8”字模型三角形三个内角的和等于180°对顶角相等二、飞镖模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.三、“A”字模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.四、“老鹰捉小鸡”模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.五、（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.能力拓展能力拓展题型一：“8”字模型一．填空题（共3小题）1．（2021春•徐汇区校级期中）如图，请添加一个条件使AB∥CD，这条件可以是∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°．【分析】利用平行线的判定定理找出内错角和同旁内角的满足条件即可．【解答】解：∵内错角相等，两直线平行，∴当∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB时，AB∥CD．∵同旁内角互补，两直线平行，∴当∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°时，AB∥CD．综上所述，添加一个条件使AB∥CD，这条件可以是：∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°，故答案为：∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，充分利用平行线的判定法则是解题的关键．2．（2022秋•新乡期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【分析】根据三角形外角的性质得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，则这几个角是一个四边形的四个内角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．【点评】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．3．（2019春•崇川区校级月考）如图所示，AB、CD相交于点O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，则∠D的度数为35°．【分析】先根据角平分线定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形内角和定理和对顶角相等得到∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，接着利用①×2﹣②得2∠E＝（∠D+∠A），由此即可解决问题．【解答】解：如图，∵BE平分∠DBA交DC于F，CE平分∠DCA交AB于G，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，由①×2﹣②得∠D＝2∠E﹣∠A，∵∠A＝45°，∠BEC＝40°，∴∠D＝35°，故答案为35°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．解答的关键是找准相关的三角形，然后利用三角形内角和定理建立等量关系．二．解答题（共8小题）4．（2012春•金山区校级期末）如图所示，已知AB与CD相交于点F，BE平分∠CBF，DE平分∠ADC，试说明∠A、∠E、∠C三者之间的数量关系．【分析】连接EF并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠1+∠2+∠E＝∠BFD，∠A+∠ADF＝∠BFD，∠C+∠CBF＝∠BFD，再根据角平分线的定义求出∠CBF＝2∠1，∠ADF＝2∠2，整理即可得解．【解答】解：如图，连接EF并延长，由三角形的外角性质，∠1+∠2+∠E＝∠BFD，∠A+∠ADF＝∠BFD，∠C+∠CBF＝∠BFD，∴∠A+∠ADF+∠C+∠CBF＝2（∠1+∠2+∠E）＝2∠1+2∠2+2∠E，∵BE平分∠CBF，DE平分∠ADC，∴∠CBF＝2∠1，∠ADF＝2∠2，∴∠A+∠C＝2∠E．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．5．（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为260°．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（3）①根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；②与①的证明方法一样得到4∠P＝∠B+3∠C．【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．6．（2017春•郫都区期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）连接QP并延长，由三角形外角的性质得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出结论；（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根据∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出结论．【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．连接QP并延长，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．7．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）的结论即可求解．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明以及定理的变式题目，对于学生的能力要求比较高．8．（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【分析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得结论．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．9．（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．特例感悟：（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．解决问题：①∠ABC＝60°；②求证：AC⊥AB；深入探究；（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝45°﹣；拓展延伸：（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；②根据平行线的性质得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．【解答】解：（1）①∵BM∥DG，∴∠ABM＝∠F＝30°，∵BM为△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，故答案为：60°；②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，∵BM∥DG，∴∠DGC＝∠CBM＝30°，∵DE⊥BC，∴∠EDG＝60°，∵DG平分∠ADE，∴∠ADF＝60°，∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AC⊥AB；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG＝∠ADE+90°﹣（180°﹣ABC）＝（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°﹣．故答案为：45°﹣；（3）①如图，由八字模型可得，△ABM和△NMD中，∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN＝∠ABC+α﹣（90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+；②如图，由四边形的内角和得，∠BND＝360°﹣90°﹣ABC﹣ADE＝270°﹣（270°﹣α）＝135°+；③如图，由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，∴∠BND＝∠ADE+（180°﹣α）﹣∠ABC＝（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）﹣ABC＝135°﹣；综上，∠BND＝45°+或135°±．【点评】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．10．（2022春•源城区校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，结论：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如图b，过点P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）结论：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如图c，连接QP并延长，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如图d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【点评】此题是四边形的性质，主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，四边形的内角和，解本题的关键是作出辅助线，是一个比较简单也比较典型的中考常考题．11．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．题型二：飞镖模型一．解答题（共6小题）1．（2010•上海模拟）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）连接QP并延长，由三角形外角的性质得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出结论；（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根据∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出结论．【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．连接QP并延长，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（或由（2）的结论得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．2．（2022春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝150°；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为90°+α；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【分析】（1）由平角的定义得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性质即可得出结论．（4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论．【解答】解：（1）由平角的定义知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四边形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．当α＝60°时，∠1+∠2＝150°．故答案为：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案为：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性质知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性质知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．【点评】本题的考点是三角形内角和定理，主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的性质、平角的定义，解本题的关键是把∠1，∠2，∠a转化到一个三角形或四边形中．3．（2022春•乐平市期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O．（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明．【分析】（1）利用直角三角形的两个余角相等、同角的余角相等，得出∠BAC＝∠BOE，把∠BOC+∠BAC转化为平角∠COE．（2）根据题意，分别作出AB、AC边上的高，根据（1）的证明思路得出（1）的结论在∠BAC为钝角时依旧成立．【解答】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°∴∠BAC+∠ABD＝90°，∠BOE+∠ABD＝90°，∴∠BAC＝∠BOE（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠BOC+∠BOE（等量代换），∵∠BOC+∠BOE＝180°（平角的定义），∴∠BOC+∠BAC＝180°．（2）成立．理由：∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°∴∠BOC+∠OBE＝90°，∠DAB+∠OBE＝90°∴∠BOC＝∠DAB（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC（等量代换），∵∠DAB+∠BAC＝180°（平角的定义），∴∠BOC+∠BAC＝180°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，综合运用了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平角的定义．4．（2022春•源城区校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，结论：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如图b，过点P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）结论：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如图c，连接QP并延长，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如图d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【点评】此题是四边形的性质，主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，四边形的内角和，解本题的关键是作出辅助线，是一个比较简单也比较典型的中考常考题．5．（2021秋•东源县校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，进而可得答案【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A为70°．【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC＝∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．6．（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．【分析】此题要作辅助线：延长DC交AB于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可求解．【解答】解：（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E，则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程，不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．【点评】注意构造三角形，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和即可解决此题．题型三：“A”字模型一．选择题（共1小题）1．（2019秋•虹口区校级月考）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．二．填空题（共3小题）2．（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，连接AD、BE，交点为F，若S△AEF＝12，BF＝8，则点D到BF的距离为3．【分析】首先利用三角形的中线性质可以求出S△ABF和S△CBF，S△BFD，然后利用三角形面积公式即可求出点D到BF的距离．【解答】解：连接CF，∵D、E分别为BC、AC的中点，∴F为△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴S△AEF＝S△CEF＝S△AFC＝12，S△ABE＝S△CBE＝S△ABC＝36，∴S△ABF＝S△CBF＝24，∴S△BFD＝12，如图，过D作DH⊥BF于H，∴S△BFD＝×BF×DH＝12，而BF＝8，∴DH＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．3．（2022春•濮阳期中）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝度．【分析】根据角平分线的性质可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1＝∠A，找出规律即可求出∠A2022．【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出∠A1和∠A之间的规律是解题的关键．4．（2021秋•平定县期中）如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝260°．【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，∴∠1＝∠ADE+∠A①，∠2＝∠AED+∠A②，∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，∴∠1+∠2＝180°+80°＝260°．故答案为：260°．【点评】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．三．解答题（共6小题）5．（2022春•涧西区期中）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；（2）首先利用已知条件可以去求出∠1＝∠DAG＝35°，然后利用平行线的性质求出∠2．【解答】（1）证明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°．∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1．∴AB∥DG；（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，∴∠1＝∠DAB＝35°，∵AD∥EF，∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．6．（2022春•龙马潭区月考）推理填空已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E，F分别在AD，AB上，连接DF，且满足∠DFE＝∠C，∠1+∠2＝180°．求证：∠CAB＝∠DFB．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定义），∴∠1＝∠DEF（同角的补角相等）．∴FE∥BC（内错角相等两直线平行）．∴∠DFE＝∠FDB（两直线平行内错角相等）．又∵∠DFE＝∠C（已知），∴∠C＝∠FDB．（等量代换）∴DF∥AC．∴∠CAB＝∠DFB（两直线平行同位角相等）．【分析】第一空：利用平角的定义；第二空：利用同角的补角的相等；第三空：利用内错角相等两直线平行；第四、五空利用两直线平行内错角相等；第六、七空：利用等式的性质，即等量代换；第八空利用两直线平行同位角相等．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定义），∴∠1＝∠DEF（同角的补角相等）．∴FE∥BC（内错角相等两直线平行）．∴∠DFE＝∠FDB（两直线平行内错角相等）．又∵∠DFE＝∠C（已知），∴∠C＝∠FDB．（等量代换）∴DF∥AC．∴∠CAB＝∠DFB（两直线平行同位角相等）．故答案为：平角的定义；同角的补角的相等；内错角相等两直线平行；∠FDB，两直线平行内错角相等；∠FDB，等量代换；两直线平行同位角相等．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，也考查了平角的定义，做这个题目要有耐心．7．（2021秋•武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确使用平行线的判定与性质解答是解题的关键．8．（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥DG，∠1＝∠2，EF⊥BC，将求∠ADB的过程填写完整．解：∵AB∥DG（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠ADB＝（∠EFB）．∵EF⊥BC（已知），∴∠EFB＝90°（垂直定义）．∴∠ADB＝90°．【分析】利用平行线的判定与性质定理，垂直的定义，等量代换进行填空即可．【解答】解：∵AB∥DG（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠ADB＝（∠EFB）．∵EF⊥BC（已知），∴∠EFB＝90°（垂直定义）．∴∠ADB＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EFB；EF⊥BC；90．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，正确使用平行线的判定与性质定理是解题的关键．9．（2018春•新沂市期中）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB＝∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝45°．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°﹣∠A．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；（2）利用（1）的结论：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案为：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案为：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．10．（2019春•桥西区期末）[尝试探究]如图1，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角（1）请你试着说明：∠1+∠2＝180°+∠A（2）如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为∠1+∠2＝∠3+∠4（3）如图3，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系：[拓展提升]如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF，∠1、∠2这三个角的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据外角的性质得到∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，求得∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），根据三角形的内角和即可得到结论；（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°﹣∠A，同理得到∠3+∠4＝180°﹣∠A，于是得到结论；（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义即可得到结论；（4）由（3）得到∠A+2∠P＝180°，由（1）得到∠1+∠2＝180°+∠A，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，∴∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵三角形的内角和为180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°+∠A，同理，∠3+∠4＝180°+∠A，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，故答案为：∠1+∠2＝∠3+∠4；（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°+∠A，∵EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，∴∠PEF＝GEF，∠PFE＝HFE，∴∠PEF+∠PFE＝（∠GEF+∠HFE）＝（180°+∠A），∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣A；（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P＝360°，理由：如图，由（3）可知，∠A+2∠P＝180°，由（1）可知，∠1+∠2＝180°+∠A，∴（∠1+∠2﹣180°）+2∠P＝180°∴∠1+∠2+2∠P＝360°．【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．题型四：“老鹰捉小鸡”模型一．填空题（共3小题）1．（2017春•天心区校级期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是∠1+∠2＝2∠A．【分析】可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．【解答】解：连接AA′．则△A′ED即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE＝∠DA′E．由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A；则∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE，即∠1+∠2＝2∠A．故答案是：∠1+∠2＝2∠A．【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．2．（2021秋•阜新县校级期末）纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为60°．【分析】先根据∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C的度数．再由∠1＝20°可求出∠CED的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠1＝20°，∴∠CED＝＝80°，在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是180°．3．（2021春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．二．解答题（共4小题）4．（2021春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③（只填序号），并说明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【点评】本题主要三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．5．（2017春•西城区校级期中）（1）如图1，设∠A＝x，则∠1+∠2＝180°+x；（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A'处，记∠A'DB为∠1，∠A'EC为∠2．①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是∠1+∠2＝2∠A；②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由．（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】（1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可求解；（2）①先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；②利用两次外角定理得出结论；（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：（1）∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+x；故答案为：180°+x；（2）①如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；②如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由是：∵∠1＝∠AFD+∠A，∠AFD＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A′+∠A+∠2，∵∠A＝∠A′，∴∠1＝2∠A+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（3）如图4，由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）﹣（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．6．（2017春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系：∠1+∠2＝2∠A．（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝70°（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是A．A．∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+（∠1+∠2）D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A＝（∠1+∠2），即可得出答案；（4）根据三角形角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由如下：由折叠的性质得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，由①②得：∠1+∠2＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；（2）由（1）可得，∠A＝（∠1+∠2），∠B＝（∠3+∠4），∴∠A+∠B＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝220＝110，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，故答案为：70°；（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．∴∠A＝（∠1+∠2）．∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）．故选A；（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°，∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×50°＝115°．【点评】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．7．（2017春•江都区月考）（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置时，你能求出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠3+∠4＝180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，整理得，2∠A＝∠1+∠2；（2）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180+∠2），∵∠A+∠3+∠4＝180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2；（3）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．题型五：（双）角平分线模型一．解答题（共9小题）1．（2012春•金山区校级期末）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC＝90°+．【分析】先根据角平分线定义得到∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，然后经过变形后即可得到结论．【解答】解：如图，∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB，（∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，∴180°﹣∠COB+∠A＝90°，∴∠BOC＝90°+．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了角平分的定义．2．（2022秋•章贡区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，而∠ABC＝82°，∠C＝58°，∴∠CAB＝40°，∵AE平分∠CAB，∴∠DAF＝20°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB＝90°，∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．3．（2022春•古县期末）如图，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．请说明∠B﹣∠C＝2∠DAE．【分析】结合题意，根据三角形内角和为180°，整理即可得出答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC．∴∠BAE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠BAC，∵三角形内角和为180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠B＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∴∠B﹣∠C＝2∠DAE．【点评】本题考查三角形的内角和，角平分线的性质，垂线的性质，熟练掌握了三角形内角和为180°是解题关键．4．（2022春•鲤城区校级期末）如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．5．（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．（1）如图1，求∠BOD的度数；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．（2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决【解答】解：（1）∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），∵∠OBC＝∠ABC，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，∴∠BOD＝90°；（2）①∵三个内角的平分线交于点O，∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵三个内角的平分线交于点O，∴∠EBF＝∠ABE＝（∠BAC+∠ABC），∴∠FCB＝∠ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，∵∠F＝50°，∴∠BAC＝2∠F＝100°；③∵∠F＝∠ABC＝50°，∴由②可知，∠BAC＝100°，∴∠ACB＝30°，∵OC平分∠ACB，∴∠OCD＝15°，∠COD＝50°，∴∠BDO＝∠COD+∠OCD＝65°，∠DOF＝130°，∵将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，∴∠B'D'O＝∠BDO＝65°，∵B'D'∥FC，∴∠COD'＝∠B'DO＝65°，∴∠DOD'＝∠COD'﹣∠COD＝15°，即此时旋转角度为α＝15°，∵BD'∥FC，∴∠FOD'＝∠B'OD＝65°，∴α＝∠DOF+∠FOD'＝130°+65°＝195°，∴△BOD绕点O顺时针旋转15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义、三角形内角和三角形的外角性质，旋转变化等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．6．（2012春•金山区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．求∠BOC的度数．【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，经过变形后得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝70°代入计算即可．【解答】解：如图，∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB，（∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，∴180°﹣∠COB+∠A＝90°，∴∠BOC＝90°+∠A，而∠A＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了角平分线的定义．7．（2022春•丹徒区月考）在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，则2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，则2∠BOC＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC＝90°+∠A．（