人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4.3.2 对数的运算

高中数学人教A版（新教材）必修第一册PAGEPAGE14．3.2对数的运算学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．预习小测自我检验1．计算log84＋log82＝________.『答案』12．计算log510－log52________.『答案』13．(1)lgeq\r(10)＝________；(2)已知lna＝0.2，则lneq\f(e,a)＝________.『答案』(1)eq\f(1,2)(2)0.84.eq\f(log29,log23)＝________.『答案』2

一、对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)log5eq\r(3,625)；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5eq\f(9,5).解(1)原式＝eq\f(1,3)log5625＝eq\f(1,3)log554＝eq\f(4,3).(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．跟踪训练1计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9－\f(3,5)lg\r(27),lg81－lg27).解(1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3－\f(9,10)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)－\f(9,10)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(9,10).二、对数换底公式的应用例2(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.『答案』eq\f(5,6)『解析』原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log34)＋\f(1,log38)))log32＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))log32＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log182×18)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).延伸探究若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)解因为18b＝5，所以log185＝b.所以log915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183×5,log189)＝eq\f(log183＋log185,a)＝eq\f(log18\r(9)＋b,a)＝＝eq\f(\f(1,2)log189＋b,a)＝eq\f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a).

反思感悟利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2(1)eq\f(log89,log23)的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．1D．2『答案』A『解析』方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即eq\f(log89,log23)＝eq\f(\f(lg9,lg8),\f(lg3,lg2))＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(2,3).方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即eq\f(log89,log23)＝eq\f(\f(log29,log28),log23)＝eq\f(2log23,3log23)＝eq\f(2,3).(2)计算：eq\f(log5\r(2)·log79,log5\f(1,3)·log7\r(3,4)).解原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))·eq\f(log79,log7\r(3,4))＝－eq\f(1,2)·log32·3log23＝－eq\f(3,2).三、对数的综合应用例32018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年)解设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍．经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，…，经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，所以1.08x＝2，所以x＝log1.082＝eq\f(lg2,lg1.08)＝eq\f(0.3010,0.0334)≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．反思感悟解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解因为v＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，所以v＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log123＋log124等于()A．1B．2C．3D．4『答案』A2．若lg2＝m，则lg5等于()A．mB.eq\f(1,m)C．1－mD.eq\f(10,m)『答案』C『解析』lg5＝lgeq\f(10,2)＝lg10－lg2＝1－m.3．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)『答案』C『解析』原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).4．下列各等式正确的为()A．log23·log25＝log2(3×5)B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)C．log2eq\f(x,y)＝log2x－log2yD．lgeq\r(n,m)＝eq\f(1,n)lgm(m>0，n>1，n∈N*)『答案』D『解析』A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．5．计算：log5eq\f(1,3)·log36·log6eq\f(1,25)＝________.『答案』2『解析』原式＝eq\f(lg\f(1,3),lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lg\f(1,25),lg6)＝eq\f(－lg3,lg5)·e