人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第28讲 3.2.1双曲线及其标准方程（含解析）

第03讲3.2.1双曲线及其标准方程课程标准学习目标①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.知识点01：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距离的差的绝对值等于非零常数(小于SKIPIF1<0)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:SKIPIF1<0.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点SKIPIF1<0的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小.(1)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的轨迹是靠近定点SKIPIF1<0的那一支;(2)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的轨迹是靠近定点SKIPIF1<0的那一支.【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之差的绝对值等于SKIPIF1<0的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【答案】B【详解】如图：设动点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之差的绝对值为SKIPIF1<0，则若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（不包含两端点）上，有SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0外，有SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上或线段SKIPIF1<0的反向延长线上（均包含两端点），则有SKIPIF1<0.故选：B知识点02：双曲线的标准方程焦点位置焦点在SKIPIF1<0轴上焦点在SKIPIF1<0轴上标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）图象焦点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0两种双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且SKIPIF1<0，则双曲线的方程为．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】由题意，点SKIPIF1<0为双曲线上一点，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由直线SKIPIF1<0过双曲线的一个焦点，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0；当双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上时，双曲线的一个焦点坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时双曲线的方程为SKIPIF1<0；当双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上时，双曲线的一个焦点坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时双曲线的方程为SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0题型01双曲线定义的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【详解】由双曲线标准方程得：SKIPIF1<0，由双曲线定义得:SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支【答案】D【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.则由已知可得，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是双曲线的左支.故选：D.【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一条渐近线方程为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0，则由双曲线定义，有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线SKIPIF1<0右支上一点A到右焦点SKIPIF1<0的距离为3，则点A到左焦点SKIPIF1<0的距离为（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】D【详解】设双曲线的实轴长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线的定义知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D题型02利用双曲线定义求方程【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足条件SKIPIF1<0．则动点SKIPIF1<0的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据双曲线的定义，可得点SKIPIF1<0的轨迹表示以SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点SKIPIF1<0，且与已知圆N：SKIPIF1<0相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是．【答案】SKIPIF1<0【详解】圆N：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0在圆N外，则圆P包含圆N，设圆P的半径为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故动圆圆心P的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右半支，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故动圆圆心P的轨迹方程是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高二课时练习）到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可设双曲线方程为SKIPIF1<0，焦距设为SKIPIF1<0，由题意可知所求双曲线的两焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又双曲线上的点到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离的差的绝对值等于6，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故双曲线标准方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0外切，求圆心SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标SKIPIF1<0，圆C半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是双曲线的一支，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其轨迹方程为SKIPIF1<0.题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线SKIPIF1<0在左支上一点M到右焦点SKIPIF1<0的距离为18，N是线段SKIPIF1<0的中点，O为坐标原点，则SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．2 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为双曲线SKIPIF1<0左支上的点M到右焦点SKIPIF1<0的距离为18，所以M到左焦点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，N是SKIPIF1<0的中点，O是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．7 D．8【答案】C【详解】记双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的交点时，取到最小值．故选：C．【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【详解】在双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不合乎题意；若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的左支上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，合乎题意.综上所述，SKIPIF1<0.故选：A.【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在双曲线上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【详解】解：由题知，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在双曲线上，且SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在双曲线靠近SKIPIF1<0的那支上，由双曲线定义知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；所以，SKIPIF1<0故选：C【变式2】（2023·高二课时练习）SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0=1的右支上一点，M、N分别是圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0=4上的点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故双曲线的两个焦点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0也分别是两个圆的圆心,半径分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：D【变式3】（2023·高二课时练习）若点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】在双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知两圆圆心分别为双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，记点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的左支上，所以，SKIPIF1<0.故选：B.题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上运动.当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由双曲线SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，左焦点SKIPIF1<0，设右焦点SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0取到最小值，所以只需求出SKIPIF1<0的最小值即可.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，双曲线C：SKIPIF1<0的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则SKIPIF1<0，|AC|=5,而SKIPIF1<0，仅当SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间时等号成立，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间时等号成立.故选：D【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线SKIPIF1<0的左焦点F作圆SKIPIF1<0的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图所示，连接SKIPIF1<0,设双曲线的右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设双曲线C的实半轴长为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当M为SKIPIF1<0的延长线与双曲线交点时取等号.故选：C．【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线SKIPIF1<0，其一条渐近线方程为SKIPIF1<0，右顶点为A，左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在其右支上，点SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时点P的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，则由三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又双曲线一条渐近线方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0.又由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中间时取得等号.此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中间可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】

由双曲线方程知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由双曲线定义知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时取等号），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型05判断方程是否表示双曲线【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0表示的轨迹可以是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线【答案】BC【详解】当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，原方程可化为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该方程表示的轨迹是双曲线；当SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程为SKIPIF1<0，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线C．若SKIPIF1<0，则曲线C为椭圆 D．若SKIPIF1<0，则曲线C为双曲线【答案】BCD【详解】当曲线C为圆时，则SKIPIF1<0，无解，故SKIPIF1<0错误；当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则SKIPIF1<0，无解，故SKIPIF1<0正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时曲线C是椭圆，故SKIPIF1<0正确；若曲线C为双曲线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确．故选SKIPIF1<0．【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则（

）A．曲线SKIPIF1<0可以表示圆B．曲线SKIPIF1<0可以表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆C．曲线SKIPIF1<0可以表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆D．曲线SKIPIF1<0可以表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线【答案】CD【详解】对A，若曲线表示圆，则有SKIPIF1<0，无解，A错；对BC，若曲线表示椭圆，则有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，C对B错；对D，若曲线表示双曲线，则有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，此时曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线，D对.故选：CD.【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程SKIPIF1<0表示的曲线可以是（

）A．圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线【答案】ABC【详解】对于A，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，方程可化为SKIPIF1<0，该方程表示圆，故A正确；对于B，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，方程可化为SKIPIF1<0，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；对于C，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，方程可化为SKIPIF1<0，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；对于D，因为由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0无解，所以当方程化为SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误.故选：ABC.题型06根据方程表示双曲线求参数【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若方程SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，必要性成立，由SKIPIF1<0不能推出SKIPIF1<0，充分性不成立，故“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的必要不充分条件.故选：B.【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线SKIPIF1<0是双曲线，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为曲线SKIPIF1<0是双曲线，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】曲线SKIPIF1<0表示双曲线，所以SKIPIF1<0即可.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数k的取值范围是：SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】（2023秋·高二课时练习）“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为方程SKIPIF1<0表示双曲线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为由SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，，但是由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.题型07求双曲线方程【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点SKIPIF1<0，且与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由椭圆SKIPIF1<0，可化为标准方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以SKIPIF1<0，又因为双曲线过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，SKIPIF1<0，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：依题意，设双曲线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选：A【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆SKIPIF1<0短轴的两个端点为焦点，且过点SKIPIF1<0；(2)经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）易知椭圆SKIPIF1<0短轴的两个端点坐标为SKIPIF1<0；所以双曲线焦点在SKIPIF1<0轴上，可设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线上，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.（2）设双曲线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0两点代入可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左支相交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆周上，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选:D.【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在双曲线的右支上，若SKIPIF1<0，则双曲线C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设双曲线的半焦距为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线定义可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0故选：D.【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程为.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型08双曲线中的轨迹方程问题【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有唯一的公共点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线分别交SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0两点．当点SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0的轨迹方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有唯一的公共点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与双曲线相切，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：D【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离和SKIPIF1<0到定直线SKIPIF1<0的距离的比是常数SKIPIF1<0，设动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.求曲线SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0【详解】由题设得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【典例3】（2023·高二课时练习）已知SKIPIF1<0中的两个顶点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边与SKIPIF1<0边所在直线的斜率之积是SKIPIF1<0，求顶点SKIPIF1<0的轨迹．【答案】去掉顶点的双曲线SKIPIF1<0【详解】解：设点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0中的两个顶点是SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0边与SKIPIF1<0边所在直线的斜率之积是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0所以，顶点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，所以，顶点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，实轴为SKIPIF1<0，且去掉顶点的双曲线SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：SKIPIF1<0相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】圆N：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0设动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点，焦距长为SKIPIF1<0，实轴长为SKIPIF1<0，虚轴长为SKIPIF1<0的双曲线上，且点SKIPIF1<0在靠近于点SKIPIF1<0这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是SKIPIF1<0故选：A【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0；【详解】因为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可知，轨迹SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点SKIPIF1<0与两定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0构成SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，设动点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．求轨迹SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【分析】设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率不存在；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率不存在．于是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.此时，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.由题意，有SKIPIF1<0，化简可得，SKIPIF1<0故动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）题型09双曲线中的焦点三角形问题【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0的右支相交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【详解】双曲线SKIPIF1<0的实半轴长SKIPIF1<0，由双曲线的定义，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则三角形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为正三角形，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】A【详解】∵SKIPIF1<0为正三角形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又双曲线SKIPIF1<0，则根据双曲线定义得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即等边