2021年山西省晋中市祁县中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（附答案详解）

2021年山西省晋中市祁县中学高考数学模拟试卷（理科）

（4月份）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={xeZ|x>-1},集合B={Y|log2%<2},则AnB=（）

A.{x|-1<x<4}B.{x|0<x<4}

C.{0,1,2,3}D.{1,2,3）

2.若zee且|z+2-2i|=1,则忆一1一2i|的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知j5,OB，品均为单位向量，且满足瓦？+2而+2^=6，则荏•前的值为

（）

A.IB.1C.|D.

8888

4.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，

冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2012年至2018

年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是

（）

A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

B.2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

C.2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增

长人数也近似相等

D.2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%

5.设a,。是两个平面，m,〃是两条直线，下列命题错误的是（）

A.若？n1a,n//a,则m1n

B.若a//夕，mca,贝ijm///?

C.若m1a,n///?,则a_L£

D.若a内有两条相交直线与£平行，则a〃/?

6.函数f（x）=符的图象大致为（）

7.已知尸为椭圆C：摄+2=l（a>b>0）的右焦点，0为坐标原点，尸为椭圆C上

一点，若|0P|=\0F\,乙POF=120°,则椭圆C的离心率为（）

A.当B./C.V2-1D.V3-1

x>0,

8.若不等式组y>0,所表示的平面区域被直线z=3%-4y分为面积相等

.4%+3y—12<0,

的两部分，则Z的值是（）

A.16-10V2B.9-竽C.6-10>/2D.105/2-16

9.在4中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,a=csinB,则tanA的最大值为（）

A.1B.IC.ID.I

10.在棱长为2的正方体4BCD-ABiGd中，。为正方形为B1GD1的中心，P,M,N

分别为。劣，AB,BC的中点，则四面体OP例N的体积为（）

A.白B.[C.迥D.2

126126

11.已知/（X）是定义在R上的奇函数，其导函数为尸（X）,且当x>0时，r（x）"nx+

号>0,则不等式（•一1）/（幻<。的解集为（）

A.(-1,1)B.(-8,-l)u(0,l)

C.(-8,-1)U(1,4-00)D.(-l,0)U(l,+8)

12.若alna>blnb>clnc=1,则()

A.eb+clna>ec+alnb>ea+blncB.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clnaD.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

第2页，共21页

13.设是定义在R上周期为2的函数，当xe(-l,l］时，/(x)=

注裳一^”。，其中meR.若/(2)=/(|),则加的值是______.

14.关于函数f(x)=|sinx|+sin|x|有下述四个结论:

①/(乃是偶函数；

②/(x)在区间(4,0)单调递减；

③f(x)在［-兀,扪有4个零点；

④/(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是

15.(l—2x)5(l+x)4展开式中的系数为.

16.已知x>0,y>0,x3+y3=x—y,则多-的最小值是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知向量沅=(2,-1),记=(si吗cos(8+C)),A、B、C为△ABC的内角的内角,

其所对的边分别为mb,c

(1)当沅•五取得最大值时，求角A的大小；

(2)在(1)的条件下，当a=B时，求炉+c2的取值范围.

18.在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品

品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分.体验

结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.

(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面

2x2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与

性别有关.

良优合计

男40

女40

合计

(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为［50,60)和(90,100］的顾客中用

分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取4名再发

放纪念品，记体验评分为［50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X,求X的分布列

和数学期望.

2

附表及公式：K2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

>^0)

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如图，在四棱锥M-4BCD中，4B14D,4M1平面ABC。,

AB=AM=AD=2.

(1)证明：△BOM是正三角形；

(2)若CD〃平面ABM,2CD=AB,求二面角C--。的

余弦值.

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20.已知椭圆C：摄+5=l(a>b>0)的长轴长是离心率的两倍，直线/：4x-4y+

3=0=交。于A，B两点,且AB的中点横坐标为一点

(1)求椭圆C的方程；

(2)若M,N是椭圆C上的点，O为坐标原点，且满足|OM『+|ON|2=:,求证：

OM,ON斜率的平方之积是定值.

21.已知函数/(x)=xe*—abix—ax+a—e.

(1)若/(%)为单调函数，求a的取值范围；

(2)若/(乃仅有一个零点，求〃的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为为参数)，以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2pcos。-3psin。-

12=0.

(1)当k=2时，求出G的普通方程，并说明该曲线的图形形状.

(2)当/c=l时，P是曲线G上一点，Q是曲线上一点，求PQ的最小值.

23.已知函数/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式f(x)<4的解集；

(2)记/(x)的最小值为M,a,b,c为正实数且a+b+c=3M,求证:>6.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

求出集合A,集合B,由此能求出4nB.

【解答】

解：,•,集合4={x6Z|x>-l},

集合B={x|log2x<2}={x|0<x<4},

二4nB={1,2,3},

故选：D.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查两个复数差的几何意义，求复数的模的最值，属于基础题.

根据两个复数差的几何意义，求得|z-1-2tl的最小值.

【解答】

解：•••|z+2-2i|=1,.•.复数z对应点在以C(-2,2)为圆心、以1为半径的圆上.

而|z-1-24表示复数z对应点与点做1,2)间的距离，

故|z—1-2。的最小值是|4C|一1=2,

故选：A.

3.【答案】B

【解析】解：OA，0B，元均为单位向量，且满足成+2诟+2元=6，

故A,B,C围成△ABC,

设BC的中点为。，连接OA,OB,OC,0D,

A

因为方+2裙+2元=6，

OA+4OD=0"

故A,O,。三点共线，且4。=40D,

v0A=OB=OC=1,

故ABOC为等腰三角形，

故有。。1BC,即4DJLBC,且。0=士AD=1+-=-,

444

•••BD=yJOB2-OD2=Jr_（：）2=手=”，

.-.AB-AC=（AD+函•（AD+DC）=AD2+（DB+DC）-AD+Dfi-DC=（j）2+0-

卢）2=±

k478

故选：B.

设BC的中点为。，根据条件得到ABOC为等腰三角形，且0DL8C,即4。1BC,且

。。=；,AD=1+1=5（再代入数量积即可求解结论.

444

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查统计图的应用，考查运算求解能力，是中档题.

观察2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，结合统计图

的性质能求出结果.

【解答】

解：由2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得：

对于4,2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；

对于B,2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；

对于C,2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，

但是同比增长人数也不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；

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对于力，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：

"71泮*100%=30.4635%»30.5%.故。正确.

故选：C.

5.【答案】C

【解析】解：对于A：当m1a,则直线g相当于平面a的法向量，由于n〃a,则m1n,

故A正确；

对于8：由于a〃0,mea,根据面面平行的性质的应用，则m〃氏故B正确；

对于C：由于mA.a,n//P，则a10,故C错误：

对于力：在a内有两条相交直线与夕平行，根据明面面平行的判定，则。〃0,故。正确；

故选：C.

直接利用线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质判定4、B、a力的结论.

本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，主要考查学生

对基础知识的理解，属于基础题.

6.【答案】A

-XCOSX

【解析】解：f(-x)=U穿

2闭=-/(X)，

则/(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C,D,

由/"(X)=。得％=0或cosx=0,

即右侧第一个零点为x=］时，当0<x<5,/(x)>0,排除8,

故选：A.

判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x<5,/(x)>0,利用排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，函数值的符号，利

用排除法是解决本题的关键，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：设椭圆的左焦点为则M(-c,0),所以|OM|=c,

又|OP|=|OF|=c,且4POF=120。，所以|OP|=|。"|=c,4PoM=60°,

所以三角形POM为边长为c的等边三角形，则点P的坐标为(_|,字)，

则由椭圆的定义可得|PM|+\PF\=2a,

即c+_c)2+(苧)2=c+Wc=2a，所以(=高=8-1，

所以椭圆的离心率为b-l,

故选：D.

设出椭圆的左焦点M,根据已知得出三角形POM为等边三角形，由此求出点P的坐标,

再利用椭圆的定义可得|PM|+\PF\=2a,化简即可求解.

本题考查了椭圆的性质与定义，涉及到等边三角形的性质，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，作出不等式组

(X>0,

y>0,所表示的平面区域，

(4x+3y-12<0,

如图：

设直线z=3x—4y与x轴的交点为C,

直线4x+3y-12=0与x轴交点为A,

与y轴交点为8；

直线4x+3y-12=0与x轴交点为A,

与y轴交点为8,易得4(3,0),点8为(0,4),则|4B|=dT5=5,

直线4x+3y-12=0与3x-4y=z相互垂直，则4BCD,

若不等式组表示的平面区域被直线z=3x-4y分为面积相等的两部分，则S-BC

2S.CD，

则有|4B|=&|BC|=5，则|BC|="，

又由3为（0,4）,则C的坐标为（0,4-苧），

点C在直线z=3x-4y上，贝iJz=-4y=-4x（4-竽）=1072-16,

故选：D.

根据题意，作出不等式组对应的平面区域，设直线z=3x-4y与x轴的交点为C,直线

4刀+3丫-12=0与》轴交点为A，与)，轴交点为B；求出AB的坐标以及|AB|的值，分

析可得△ABCSABC。，由相似三角形的性质可得|BC|的值，进而可得C的坐标，将C

的坐标代入直线z=3久-4y,计算可z的值，即可得答案.

本题考查线性规划的应用，涉及不等式组表示平面区域，注意分析两个三角形相似，属

于中档题.

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9.【答案】C

【解析】解：在△48C中，a=csinB,

所以si兀4=sinCsinB,

整理得：sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC,

故两边都除以sinBsinC,

得到康+高1,

故1N2整理得tcmBtanC>4,

当且仅当=tanC=2时，等号成立,

tanB+tanCtanBtanC]

所以tcmA=-tan(8+C)=—

1-tanBtanC1-tanBtanC^tanBtanC

当tan丽C取最小值时，儡泮最大值,1一薪薪取最小值,

故1、的最大值为§

tanBtanC'

即当tanBtanC=4时，tanA的最大值为g.

故选：C.

直接利用三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用，主要考

查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：如图,

在棱长为2的正方体4BCD-4B1GD1中,

求得PM=PN=Vl2+22+I2=V6，OM=ON=V12+22=通,

OP=12+(V2)2=V3>MN=&，

取MN的中点Q,连接P。，OQ,可得PQLMN,OQLMN,

PQ=yjPN2-NQ2=亨,OQ=y/ON2-NQ2=15-；苧，

11+5-3

在AOQP中，由余弦定理可得，cos/OQP=号逅=试7，

x~x~

•••sinZ.OQP=y/1-cos2Z.OQP=急，

则O到平面PMN的距离八=OQ-sin/OQP=誓x篇=言.

11/7T>J2255

"IVZo-PMN=-x-xV2x—X-？==-.

故选：B.

由题意画出图形，分别求出产例、PN、MN、OP、OM、ON的长度，再求出。到平面

PMN的距离，代入棱锥体积公式求解.

本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中

档题.

11.【答案】B

【解析】解:令g(x)=f(x)lnx,则g'(x)=f'(x)lnx+詈>0,

•••g(x)在(0,+8)时单调递增，又g(l)==0,

6(0,1)时，g(x)<0,x6(1,+8)时，g(x)>0,

当x6(0,1)时，Inx<0,<0,/(%)>0,

xe(l,+8)时,Inx>0,g(x)>0,二f(x)>0,

/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

又/(%)是奇函数,/(0)=0,

/(%)<0在(—8,0)上恒成立，

①当x>0时，/(x)>0,x2—1<0,即0cx<1,

②当x<0时，/(x)<0,.1•%2—1>0,即x<—l,

由①②得不等式的解集是(一8,-1)u(0,1),

故选：B.

令。(外=/(x)，nx,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可.

本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档

题.

12.【答案】C

第12页，共21页

【解析】解：设g(%)=xlnx,g'(x)=Inx+1,令g'(%)=Inx+1>0,，%%

：・x>1,g(x)递增函数，

设/⑴=詈，♦㈤=殳F=4=匕等，

廿ezxexxex

vclnc=1,・•.当%>c时，xlnx>1,:./'(%)<0,

・•・/(%)在［1,+8)上单调递减，

valna>blnb>clnc=1,a>b>c>1,

cr、)，，八，，，、daJ,Inc

-/(a)<f(b)</(c)，・•・靛V演V封

・•・ealnb>eblna,ealnc>eclna,eblnc>eclnb^

・•・ea+clnb>eb+clna,ea+blnc>eb+clna,ea+blnc>ea+clnb,

・•.ea+blnc>ea+clnb>eb+clna,

故选：C.

通过构造函数g(%)=得到%>1时g(%)递增函数，再构造函数/(%)=等,利用/(%)

在［1,+8)上单调递减，得到f(a)</(b)</(c),即詈<,<臂，变形可得到.

本题考查了通过构造函数，利用构造函数的单调性再通过合理变形解决问题，属于中档

题.

13.【答案】1

【解析】解：••・/。)是定义在R上周期为2的函数，当时，f(x)=

(x2+2%4-m,-1<%<0

(石,0<%<1

•••/(|)==(-1)2+2x(-i)+m=-1+m,

呜)=JI=5

13,<

・•・一=---Fm=>m=1,

44

故答案为：1.

根据已知中函数的周期性以及函数的解析式，结合已知的等式，可得结论.

本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，属于基础题.

14.【答案】①②④

【解析】解：函数/(x)=|sinx|+sin|x|有下述四个结论：

对于①，由于/■(-%)=|sin(-x)|+sin|-x|=/(x)所以函数为偶函数，故①正确;

对于②，由％€(一；,0)时，/(x)=|sinx|+sin|x|=—sinx—sinx=—2sinx,故函数

在(一》0)上单调递减，故②正确；

对于③，当x=—兀，0,兀时，函数的值为0,故函数f(x)在［―兀,兀］有3个零点，故③错

误；

对于④，当x20时，函数/'(X)=sinx+|s讥%|的最大值为2,故④正确.

故答案为：①②④.

直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零点和方程的根

的关系判断①②③④的结论.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零

点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

15.【答案】24

【解析】解：(1-2x)5展开式的通项公式为晨+1=C^-2x)k,

m

(1+x)4展开式的通项公式为7nl+1=C^x,

则/的系数为点盘-2ClCl+4鬣玛-8c其：=4-60+160-80=24,

故答案为：24.

分别求出两个展开式的通项公式，进行讨论求解即可.

本题主要考查二项式定理的应用，分别求出展开式的通项公式，利用心的次数关系进行

讨论求解是解决本题的关键，是中档题.

16.【答案】2+2V2

【解析】解：x>0,y>0,x3+y3=x-y,

.婷+旷

••3—_±,且%>y,

x-y

3-2y51+铲

令f(x,y)=­=*一

xy-y2-1，

令t=»l,则/(t)=兽,

f(t)=(—1)2，t>1，

令r(t)>o,解得：t>i+VL

•••f(t)在(1,1+式)上单调递减，在(1+V2,+8)上单调递增,

•••f(t)M=f(l+&)=2或+2，

第14页，共21页

即手的最小值为2&+2，

故答案为：2&+2.

3321+

先由题设得到：言=1，且%>y，再令f(%y)=上；=誓-，然后构造函数f(t)=

・yy厂

—,t>i,最后利用导数求得其最小值，即可解决问题.

C—1

本题主要考查导数在处理函数最值问题中的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)•・•沆=(2,-1),n=(sinpcos(B+C)),

.,.m-n=2sin^—cos(B+C)=2sing+cosA=2sin^+(1—2sin2=­2(sin^—

3+2,

c,c4a

V0<<7T,-0<-<

22

sin^=I，即时，沆.五取得最大值；

(2),:a—V3»sinA=乎，

、abc75c

•••由正弦定理其=前=痂=逅=2,

2

・•・b=2sinB,c=2sinC,

C=7T—(4+B)=——B,

AZ?2+c2=4sin2B+4sin2C=4sin2B+4sm2(^--8)

47r、

1-cos2B1-cos(丁-28)

=4—「+——f—]

4TT47r

cos2B4-cos-Q-COS2B4-sin-^-sin2B

=4(1-------------------------------------------------------)

=44-\[3sin2B—cos2B

=4+2sin(2B-£),

c/r»/27rTtor>兀,7Tt

•・•0<B<—,——<2B——<—,

3666

•••-i<sin(2S-^)<1,

A3<62+c2<6,

则产+。2的取值范围为(3,6].

【解析】(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式

及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sin^的二次函数，由4的范围求出?的

范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sin?的范围，利用二次函数的性质即可求出

沅,记取得最大值时A的度数；

(2)由a及sinA的值，利用正弦定理表示出匕与c,再利用三角形的内角和定理用B表

示出C,将表示出的b与c代入炉+©2中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利

用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围,

利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出炉+c2的取值范围.

此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函

数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

18.【答案】解：(1)列联表下:

良优合计

男202040

女204060

合计4060100

由题得，K2=100(20X40-20X20)2=*=乞代>2,706,

40X60X60X409

所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.

(2)由己知得体验度评分为［50,60)和［90,100］的顾客分别有10人，20人，

则在随机抽取的6人中评分为［50,60)有2人，评分为［90,100］有4人.

则X可能的取值有O1,2,

P(X=O)W建，

P(X=1)=^=*

P(X=2)=萼=

'715

则X的分布列为:

X012

186

P

151515

所以EX=0x2+1x2+2x2=£

第16页，共21页

【解析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论：

（2）由题意知随机变量X可能的取值有0,1,2,计算对应的概率值，写出分布列，求

出数学期望.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随机变量及其

分布列，期望计算问题，是中档题.

19.【答案】（1）证明：由已知，AM,平面A8CD

所以，AMLAB,AM1AD.

又ZB=AMAD=2,ABLAD,

所以，BD2=AB2+AD2=8,BM2=AB2+AM2=8,DM2=AD2+AM2=8,

则BC=BM=DM,

所以△BDM是正三角形.

（2）解：因为4814。，AM_L平面ABC。，

以A为原点，直线48,AD,AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

由CD〃平面易知CO〃AB,又2CD=AB,贝0),C(l,2,0),0(0,2,0),

M(0,0,2).

所以前=(-2,2,0),BM=(-2,0,2).

设平面的一个法向量为沅=(x,y,z),

则(沆-RD=-2x+2y=0,

Im-BM=-2.x+2z=0,

取x=l,=(1,1,1).

同理可求平面CBM的一个法向量为记=(2,1,2).

所以，cos<沅，元>=署，=2=第，

|m|-|n|3V39

即二面角C-BM-。的余弦值为速.

9

【解析】（1）通过求解BZ）2=力用+力。2=8,BM2=AB2+AM28,DM2=AD2+

AM2=8,即可证明△BOM是正三角形.

(2)以A为原点，直线AB,AD,AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.求出

平面8OM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面

角的余弦函数值即可.

本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股定理的应用，

考查空间想象能力，转化思想以及计算能力.

20.【答案】解：⑴椭圆C噂+'=l(a>6>0)的长轴长是离心率的两倍，可得2a=

2e=—,即c=a2,

a

直线/：4%-4y+3=0与椭圆方程联立，可得(力2+a2)%2+|a2x+白小一2b2=0,

216a

可得名+冷=一-|^7=-1，即〃=?a2=a2-c2，

1nd2+a2乙

解得c=3,a=它,b=3,

222

则椭圆方程为2/+4y2=1；

(2)证明：设N(s,t),可得2nl2+4/=1,2s24-4t2=1,

相加可得m?+s2+2(n2+t2)=1,

\OM\2+\ON\2=-,即m2+2+s2+t2=。，

44n

可得2+t2=-,

n4

即有2ni?+4rl2=i=4九2+4t2,即为7n2-2t2,

2s24-4t2=1=4n2+4t2,即为s?=2n2,

可得。朋，ON斜率的平方之积为m4=4-A=士即为定值.

m2s22t22n24

【解析】(1)由椭圆的离心率公式可得c=M,联立直线/和椭圆方程，运用韦达定理和

中点坐标公式可得b2=[a2=a2-c2,解方程可得a,b,c,进而得到所求椭圆方程;

(2)设N(s,t),代入椭圆方程，结合条件，运用两点的距离公式以及直线的斜

率公式，化简整理，变形即可得到定值.

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及点满足椭

圆方程和直线的斜率公式，考查化简整理的转化思想、运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：对/。)求导得/''(x)=eX(l+x)-吆亨=(l+x)”p(%>0),

因为/(x)为单调函数，故/'(x)>0或((久)<0恒成立，

因为x>0,故只需Q>xe*或a<xe”对于x>0恒成立，

令"(X)=xex,则if(%)=(%+l)ex>0对于％>0恒成立，

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所以u(x)为增函数，

所以u(x)>u(0)=0,

由于+8时，u(x)t+8,故a2xe*不成立，即/(x)不可能为单调递减函数，

当a<xe”恒成立时，aW0,此时/(x)为单调递增函数，

所以当f(x)为单调函数时，a的取值范围为(-8,0］：

(2)因为"1)=0,所以1时/'(x)的一个零点，

由(1)可知，当a<0时，/(乃为(0,+8)上的增函数，所以/(x)仅有一个零点，满足题意，

当a>0时，，令((%)=0得工蜡一a=0,由(1)可知，it(k)=xe*在(0,+8)上为单调递

增,且找(x)6(0,+8),

故存在唯一的X。，使得xe*-a=0成立，即。=X0靖。，

当0<x<x()，时