材料力学课件

第一章绪论构件一般由固体材料制成在载荷作用下，会发生变形构件：机械或工程结构的各组成部分。§1-1材料力学的任务及研究方法一、材料力学的任务强度要求刚度要求稳定性要求构件应当满足的要求：强度要求构件应有足够的抵抗破坏的能力刚度要求构件应有足够的抵抗变形的能力稳定性要求构件应有足够的保持原有平衡形态的能力材料力学的任务在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。二、材料力学的研究方法

实验分析

理论研究§1-2变形固体的基本假设刚体理论力学变形固体材料力学弹性塑性一、弹性和塑性外力去除后，能恢复其原有的形状和尺寸，变形固体的这种基本性质称为弹性；随着除去外力而消失的变形，称为弹性变形；外力去除后不能消失的变形，称为塑性变形；亦称为残余变形；某些物体在外力的作用下，能产生较大的塑性变形，这种性质，称为塑性。二、基本假设1、连续性假设2、均匀性假设3、各向同性假设4、变形很小的假设原始尺寸原理θ三、外力及其分类

外力：1、按分布情况分为体积力及表面力Gi[力]/[长度]3[力]/[长度]2[力]/[长度]包括载荷及约束反力2、按载荷作用性质分为静载荷及动载荷静载荷动载荷冲击载荷交变载荷§1-3内力、应力和截面法原子间相互作用的内力物体内部各部分之间因外力而引起的“附加相互作用力”称为内力材料力学附加内力一、内力、截面法内力？平衡方程截面法内力系的简化内力系简化后得到的合力称为横截面上的内力。截面法求解内力步骤：1.在欲求位置处用假想截面截开2.取任一部分为分离体，受力分析3.列平衡方程二、应力ΔPpm=平均应力Cp应力στασ=

pcosατ=

psinα1MPa=106Pa=1N/mm2τ：剪应力σ：正应力OMmNmx解：应用截面法列平衡方程y例；小型压力机的框架如图所示。在力P的作用下，试求立柱横截面m-m和n-n上的内力。MnNnNN´MΔsM´Δs+Δu线应变§1-4位移、变形与应变一、线位移、线应变线变形MM´角位移切应变NLN´L´二、角位移、切应变

线应变和切应变是度量一点处变形程度的两个基本量，都是无量纲量。线应变针对某一方向而言,切应变针对某一垂直方向而言注意：§1-5杆件变形的基本形式杆件轴线等截面直杆一、概念拉伸和压缩PPPP二、杆件变形的基本形式剪切PP扭转弯曲

OACBB′45°45°0.03D240例：三角形薄板ABC因受力而变形，B点向上的位移为0.03mm，AB′和B′C两边仍保持为直线。试求沿OB的平均应变，并求AB、BC两边在B点夹角的变化。解：沿OB的平均应变为：AB、BC两边在B点夹角的变化为2=第二章

拉伸、压缩与剪切受力特点外力合力作用线与杆件轴线重合变形是沿轴线方向的伸长或缩短§2-1轴向拉伸与压缩的概念与实例受力简图PPPP稳定性问题PPPPmnxPNPN′轴力一、拉伸或压缩时的内力§2-2拉伸或压缩时的内力和横截面上的应力拉伸时轴力为正压缩时轴力为负求解步骤1.在欲求位置处用假想截面截开2.取任一部分为分离体，受力分析3.列平衡方程符号规定拉伸时轴力为正压缩时轴力为负二、拉、压杆横截面上的应力PPPPPPcadb结论a΄d΄b΄c΄PP1、原来的纵向线（ac、bd）现在依然是纵向线（a′c′、b′d′），依然平行于轴线。2、原来的横向线（ab、cd）现在依然是横向线（a′b′、c′d′），依然垂直于轴线。3、各纵向线间的距离变短了，各横向线间的距离变长了。现象变形前为平面的横截面，变形后仍然保持为平面，并且仍垂直于轴线，只是各横截面沿轴线产生了相对平移，这个假设称为平面假设。PσdANσdA=N==σA拉应力为正，压应力为负1.同样适用于压杆未被压弯时压应力的计算2.截面面积沿轴线缓慢变化时，保证外力合力与杆件轴线重合。讨论三、圣维南原理

用外力系静力等效的合力代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在距外力作用区域略远处（约等于横截面尺寸），这种替代所造成的影响很小，可以不计。P-2P+N2=0表示轴力沿杆件轴线变化的情况P2P2PABCD解：应用截面法，分别求解AB、BC、CD段内的轴力112233xP11N1X=0P+N1=0N1=

P负号表示轴力为压力P222PN2N2=+

P轴力为拉力四、轴力图（AB、BC、CD三段的横截面积分别为A1、2A1、3A1）

1=

P/A1

2=+

P/（2A1）PN3X=0P-2P+2P+N3=0N3=

P

3=

P/（3A1）P2P2PABCD112233xPN333N3=0N3=

P2P2PABC1122332P2PABC112233N3P-2P+2P-N3=0N3=PP2P2PABCD112233xN1=

PN2=+

PN3=

PxNPPP+--

1

2

3+--x

3=

P/（3A1）

1=

P/A1

2=+

P/（2A1）x例：作轴力图及正应力图。AB长l，AB、BC段的横截面积分别为A1、2A1。P2P2P/lABC11N1xP11N222P222P2P/lxP2P2P/lABC1122x

--P3PPP/A13P/A1P/（2A1）xN§2-3材料在拉伸时的机械性能1、试件：一、实验准备圆形试件：十倍试件：L=10d五倍试件：L=5d矩形试件：A:横截面积标距P-Δl曲线σ-ε曲线σ=P/A(截面的原始面积）（名义应力）ε=Δl/l(试样的标距）（名义应变）2、数据：PΔl二低碳钢拉伸应力应变曲线abce

弹性阶段(Ob段）baOa段:σ=Eε

p:比例极限

e：弹性极限卸载后试件上不留塑性变形的应力最高极限。正应力与正应变成正比的应力最高极限。

E=tanba

C

s：屈服极限

屈服阶段(bc段）ba

Ce

b：强度极限材料所能承受的最高名义应力值。

强化阶段（ce段）ba

Cef

局部变形阶段(ef段)塑性指标韧性金属材料1、延伸率2、断面收缩率δ>5%塑性材料δ<5%脆性材料

卸载和硬化DD1卸载AD：塑性变形；DD1：弹性变形；再加载R1

卸载和硬化可使比例极限

p提高，塑性降低。三铸铁拉伸时的力学性能脆性材料

断裂行为四、

其他塑性材料拉伸时的力学性能

0.2名义屈服应力

0.2—塑性应变等于0.2％时的应力值

低碳钢压缩时

应力应变曲线§2-4材料压缩时的机械性能

铸铁压缩时应力应变曲线失效

使构件不能正常工作的种种破坏现象统称为失效。§2-5

失效、安全系数和强度计算

强度失效(FailurebyLostStrength)—

由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效失效分类

刚度失效(FailurebyLostRigidity)—

由于过量的弹性变形引起的失效。失效分类失效分类

屈曲失效(FailurebyBuckling,FailurebyLostStability)—由于平衡构形

的突然转变而引起的失效。

疲劳失效(FailurebyFatigue)—由于交变应力的作用,初始裂纹

不断扩展而引起的脆性断裂.

蠕变失效(FailurebyCreep)—

在一定的温度和应力下,应变随着时间的增加而增加,最终导致构件失效.失效分类

松弛失效(FailurebyRelaxation)—在一定的温度下,应变保持不变,应力随着时间增加而降低,从而导致构件失效。强度失效刚度失效屈曲失效疲劳失效蠕变失效松弛失效失效分类塑性材料脆性材料

=b

=s强度失效极限应力塑性材料脆性材料许用应力极限应力

安全系数nns，

nb

—

大于1的系数称为安全系数。强度条件3.确定许可载荷2.截面设计1.强度校核PPABC例1：一钢木结构，AB为木杆，其截面积AAB=104mm2

，许用压应力[

]AB=7MPa，BC为钢杆，ABC=600mm2

，许用应力[

]BC=160MPa

，试求B处可吊的最大许用载荷P。解：（1）AB、BC为二力杆（2）求最大许用载荷又：若B点承受P=40kN，钢杆的截面积可以减少为多少？

例题二直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均布载荷，其集度p=10kN/m,在自由端D处作用有集中力FP=20kN。已知杆的横截面面积A=2.0×10-4㎡，l=4m。试求:1.若[

]=160MPa,校核其强度;2.要使强度满足要求，确定直杆的横截面面积。1.强度校核A截面为危险截面:强度不能满足要求2.截面设计作轴力图如图：CBDAEN304020例：两块厚度为t=10mm，宽度b=80mm的钢板用四只直径为d=16mm的铆钉联接如图。已知拉力P=110kN，钢板材料许用应力[

]=160MPa。试校核钢板的强度。解：1-1与2-2截面为危险截面§2-6轴向拉伸或压缩的变形PP杆件在轴线方向的伸长⊿l=l1–l轴线方向的应变ll1一、纵向应变伸长缩短二、胡克定律E：弹性模量单位：GPa三、横向应变PPll1h或μ：横向变形系数或泊松比杆件横截面沿轴线平缓变化时，N（x），A（x）都是的函数lxdxN(x)A(x)N(x)+dN(x)例：楔形板条的厚度b为常量，＜10°，在轴向拉力P作用下，试求板条的伸长。x

h1h2PPlhx解：则横截面积为：轴力N(x)=PPdxPl∆l韧性金属材料OP∆lP1∆l1d(∆l1)dP1P∆l功能原理比能（能密度）§2-7轴向拉伸或压缩的变形能§2-8拉伸、压缩静不定问题ABCDP静不定问题N3N2N1ABDPABCDA1l213∆l2∆l3N1N2N3静力学方程：变形谐调方程：（假设1、2两杆的E、A相同）ABCDA1l213∆l3∆l2已知：1、2杆：E、A；

3杆：E3、A3；角α

aaacoscoscos33321AElNEAlNEAlN==步骤：（1）列静力学平衡方程：（2）根据体系的变形可能，列变形谐调方程；（3）联立求解。例：两端固定的杆件如图所示。在截面C上沿轴线作用P力，试求两端反力。abPABCABCPR1R2解：设两端反力分别为R1和R2，受力分析如图：静力学平衡方程为：R1+R2=P为一次超静定问题。AC段轴力N1=R1，拉力，则AC段伸长量为：BC段轴力N2=R1，压力，则BC段缩短量为：abPABCABCPR1R2杆件两端固定，则有：即：R1a=R2b代入R1+R2=P，得：一、温度应力lABRA∆lTRARBRBABACBPPT1T2T3二、装配应力假设三杆的E、A、l均相同，求装配应力。（1）静力学方程（2）变形协调方程

应力集中PP§2-9应力集中的概念应力集中因数

K=

max/avg0.2m0.2m0.1mR1R2解：设两端反力分别为R1和R2，有：R1=R2钢杆每段的轴力均为压力R1，则钢杆由于压力R1而产生的缩短量为：钢杆由于温度升高而产生的伸长量为：杆件两端固定，则有：R1=R2=12.5kN§2-11剪切和挤压的实用计算一、剪切PP剪切面剪切面受力特点：杆件两侧受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用。变形特点：位于两作用力间的杆件横截面发生相对错动。1、剪切的概念V双剪二个剪切面PP剪力剪应力

假定应力均匀分布2、剪力和剪应力PPPPPPPPQQ3、剪切强度条件

实用计算的基础

假定应力均匀分布。两方面的假定

在假定的前提下进行实物或模型实验，确定许用应力。

强度条件塑性材料脆性材料Abs=dδ挤压破坏挤压力

Pbs=P挤压面积

PPP′二挤压假定计算

强度条件塑性材料

例题三已知：插销材料为20钢，[τ]=160MPa，[σbs]=100MPa直径d=20mm,厚度t=8mm，P=15kN。试校核插销的强度。解：1.受力分析危险截面：m-m,n-n(剪切破坏）挤压面（挤压破坏）mmnnQQPP

例题三mmnnQQP2.校核插销的剪切强度插销满足强度要求3.校核插销的挤压强度插销满足挤压要求

例题四平键将齿轮与轴相连。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸b×h×l=20×12×100(mm)，传递的扭转力偶矩m=2kN·m,键的许用应力[τ]=60MPa，[σbs]=100MPa

。试校核键的强度。Q解：1.校核键的剪切强度Q=2m/d

例题四Q解：1.校核键的剪切强度Q=2m/d

例题四2.校核键的挤压强度PQP=QP=Q=2m/d满足挤压强度要求。板厚

=2mm，板宽b=15mm，铆钉直径d=4mm，拉力FP=1.25kN。材料的许用剪切应力[m]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，拉伸许用应力[]=160MPa。试校核此接头的强度。

铆钉的剪切和挤压强度

拉板的拉伸强度

拉板上铆钉孔的挤压强度

拉板端部纵向截面处的剪切强度

铆钉的剪切和挤压强度如图铆钉剪切面上的剪力为:如图铆钉所受的最大挤压力为:

拉板上铆钉孔的挤压强度因为拉板与铆钉的材料相同，所以拉板上铆钉孔的挤压强度计算与铆钉相同，满足挤压强度。

拉板的拉伸强度

11拉板在1-1截面处拉应力最大：第三章

扭转§3-1扭转的概念和实例传动轴扭转变形：在杆件两端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。扭转变形：在杆件两端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。F1>F2m=(F1－F2)RF1F1F1F1F2F2Rmm§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算输入的功=外力偶矩对轴所作的功★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图外力偶矩通常由轴所传递的功率

P和轴的转速n来计算m=9549P(kW)

n(r/min)

(N.m)★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图输入的功=外力偶矩对轴所作的功W=P(kW)×1000N·mm=m=7024P(Ps)

n(r/min)

(N.m)1Ps=735.5N·m/s扭矩正负号规定：扭矩矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。mTxmT(+)(+)二、扭矩和扭矩图扭矩截面法扭矩符号的规定★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图例题一ABCmAmBmC已知输入功率PA=16kW，输出功率分别为PB=30kW

，PC=14kW

，轴的转速为n=300r/min。试作轴的扭矩图。m=9549P(kW)

n(r/min)

(N.m)★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图ABCmAmBmC解：1.计算A、B和C处的外力偶矩例题一★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图ABCmAmBmCmAAT1mCmBT12.应用截面法研究AB

和BC两段内的扭矩xT1－mA=0T1=mA=509.3N·m例题一★

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图ABCmAmBmCmCT2T2=－mC=－445.6N·mT2＋mC=03.作轴的扭矩图T1=mA=509.3N·mxT(N·m)ABC445.6509.3例题一§3-3纯剪切trppqqmmmmppqq扭转后圆截面保持为圆平面原半径直线仍保持为直线横截面变形前为平面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，截面上半径保持为直线，且相邻横截面间的距离不变。即圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。平面假设一、薄壁圆筒扭转时的切应力mmppqq受到扭转的圆轴横截面上只有剪应力，没有正应力。

x∑Mx=0：

二、纯剪切ττ΄切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力成对存在且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力并无正应力。

x剪切胡克定律

＝G

纯剪切G：材料的切变模量。量纲：GPaγ

：剪应变变形特征与平面假设变形几何关系

物理关系

静力关系

§3-4

圆轴扭转时的应力一、变形特征与平面假设★圆轴扭转时的应力变形特征扭转后圆截面保持为圆平面原半径直线仍保持为直线横截面变形前为平面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，截面上半径保持为直线，且相邻横截面间的距离不变。即圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。★圆轴扭转时的应力平面假设★圆轴扭转时的应力二、变形几何关系ABCD★圆轴扭转时的应力三、物理关系★圆轴扭转时的应力剪切胡克定律★圆轴扭转时的应力物理关系设距离轴线为

处的切应力为τρ由变形几何关系

四、静力关系★圆轴扭转时的应力

A

dA=T★圆轴扭转时的应力5.静力关系

dAT切应力公式GIp—扭转刚度Ip—截面的极惯性矩★圆轴扭转时的应力★圆轴扭转时的应力最大切应力圆轴扭转时横截面上的最大切应力当＝max=R时，＝maxWt

扭转截面系数★圆轴扭转时的应力截面的极惯性矩与扭转截面系数对于实心圆截面★圆轴扭转时的应力ρdρD

=d/D对于圆环截面★圆轴扭转时的应力截面的极惯性矩与扭转截面系数

=d/D对于实心圆截面对于圆环截面★圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的强度条件★圆轴扭转时的应力本节诸公式适用条件：★圆轴扭转时的应力已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力

＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。★圆轴扭转时的应力例题二外加力偶矩与功率和转速的关系T=9549P(kW)

n(r/min)

(N.m)★圆轴扭转时的应力解：T=9549Pn7.5=9549

100=716.2N.m16TT

max=Wp1=

d13

40MPa=0.045m=45mmd1

16716.2

401063★圆轴扭转时的应力例题二

max=

40MPaWp2T16T=

D23(1-

4)d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.28★圆轴扭转时的应力例题二空心圆轴

(1-0.5

4)40106=0.046m=46mmD2

16716.23§3-5

圆轴扭转时的变形★圆轴扭转时的变形φ：两截面间的相对扭转角radmmTTdxl★圆轴扭转时的变形讨论（1）两截面间T值不变，且为等直杆

GIp—抗扭刚度（2）轴在各段内扭矩不同

★圆轴扭转时的变形讨论θ—扭转角的变化率；单位长度扭转角。rad/m轴长l的范围内T/GIp

值不变圆轴扭转时的刚度条件★圆轴扭转时的变形rad/m(º)/m★圆轴扭转时的变形ABCmAmBmC已知轴的[θ]=1.5(º)/m,G=80GPa，lAB=lBC=0.3m。试按刚度要求确定轴的直径，并求A、C两截面间的扭转角。例题三ABC445.6509.3xT(N·m)解：(1)由扭矩图，可得

Tmax=509.3N·m★圆轴扭转时的变形例题三=0.0397m选择直径D=40mm★圆轴扭转时的变形例题三ABC445.6509.3xT(N·m)(2)根据扭矩图，求扭转角B截面对A截面★圆轴扭转时的变形例题三ABC445.6509.3xT(N·m)(2)根据扭矩图，求扭转角C截面对B截面★圆轴扭转时的变形例题三ABC445.6509.3xT(N·m)(2)根据扭矩图，求扭转角C截面对A截面扭转超静定问题力学平衡方程：变形协调方程：物理方程：求解结果：§3-6矩形截面杆扭转理论简介

第三章扭转

变形特征

翘曲

切应力分布

角点切应力等于零

边缘各点切应力沿切线方向

最大切应力发生在长边中点hbτmaxτ1hbτmaxτ1（长边中点处〕（短边中点处〕

切应力分布第四章

平面图形的几何性质第四章平面图形的几何性质静矩和形心惯性矩和惯性半径惯性积平行移轴公式转轴公式主惯性轴

静矩和形心

静矩和形心yzOdAdAy=dSz定义zy图形对z轴的静矩(y轴)

静矩和形心特性图形对z轴的静矩(y轴)平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的；静矩数值可能为正，可能为负，也可为零；静矩的量纲为：[长度]³

静矩和形心形心yzOdAzy静力学C

静矩和形心讨论若则若则结论若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；若某轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。

静矩和形心组合图形的静矩yzOⅠⅡC1C2由n个图形组合而成

静矩和形心组合图形的形心

静矩和形心例题1yzO2010305105确定图形的形心的位置，并计算阴影部分对两坐标轴的静矩。图示尺寸为(mm)

静矩和形心例题1yzO2010305105C1C2解：把图形看作由Ⅰ和Ⅱ两部分组成，在图示坐标系下，ⅠⅡC1(10,25)C2(10,10)A1=20×10=200mm2A2=10×20=200mm2

静矩和形心例题1图形形心的坐标：C1(10,25)C2(10,10)A1=200mm2A2=200mm2

静矩和形心例题1把阴影部分看作由Ⅰ和Ⅱ两部分组成，在图示坐标系下，C1(10,25)C2(10,17.5)A1=20×10=200mm2A2=10×5=50mm2yzO2010305105ⅠC1ⅡC2

静矩和形心例题1C1(10,25)C2(10,17.5)A1=200mm2A2=50mm2阴影部分对y轴的静矩：yzO2010305105ⅠC1ⅡC2阴影部分对z轴的静矩：

惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径yzOdA定义zy图形对z轴的惯性矩(y轴)量纲：[长度]4惯性矩和惯性半径定义图形对z轴的惯性半径(y轴)量纲：[长度]惯性矩和惯性半径定义yzOdAzy图形对坐标原点O的极惯性矩量纲：[长度]4ρ惯性矩和惯性半径简单图形组合而成的组合图形

静矩和形心例题2z确定矩形对其对称轴y和z的惯性矩。yzbhCdz解：先求对y轴的惯性矩dA=bdzzDyR

静矩和形心例题3确定圆形矩形对其形心轴y和z的惯性矩。

静矩和形心例题3空心圆DdzyC

惯性积惯性积定义yzOdAzy图形对y

z轴的惯性积量纲：[长度]4数值可能为正，

可能为负，

也可为零；惯性积条件dAdAyzzy坐标系的两个轴中只要有一个为图形的对称轴，则图形对这一坐标系的惯性积等于零。yOz

平行移轴公式平行移轴公式条件zyO两对坐标轴相互平行；其中一对坐标轴是图形的形心轴。dACyCzCbycyazczyc轴，zc轴平行移轴公式条件两对坐标轴相互平行；其中一对坐标轴是图形的形心轴。zyOdACyCzCbycyazczy轴，z轴平行移轴公式zyOdACyCzCbycyazczy=yc+b，z=zc+a平行移轴公式

转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴两系坐标间的关系zyOdAy1z1yzy1z1αy1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinα转轴公式主惯性轴两系坐标轴的惯性矩和惯性积间的关系y1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinα转轴公式主惯性轴两系坐标轴的惯性矩和惯性积间的关系转轴公式主惯性轴惯性矩的极值y0轴，z0轴转轴公式主惯性轴惯性矩的极值y0轴，z0轴y0轴，z0轴为主惯性轴（主轴）主惯性轴转轴公式主惯性轴结论如果图形对一对坐标轴的惯性积等于零，则这一对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。截面的对称轴就是形心主惯性轴。

静矩和形心例题4b=180mm,h=120mm,确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。bhCyczch/3b/3hyzEBdybyhyzEBdybyzdz

静矩和形心例题4解：根据平行移轴公式，可得bhCyczch/3b/3

静矩和形心例题4形心主惯性轴的位置bhCyczch/3b/3z0y0

静矩和形心例题4形心主惯性矩IminImax第五章

弯曲内力第五章弯曲应力§5-1

引言

弯曲的概念和实例弯曲变形：作用在杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线。梁P

弯曲的概念和实例PP

弯曲的概念和实例P

弯曲的概念和实例弯曲变形作为梁来处理

弯曲的概念和实例轴线截面对称轴纵向对称面q(x)平面弯曲载荷的简化ABxyzABP1P2

集中力梁的载荷的简化ACFP载荷的简化轴承轧辊l0q:载荷集度

分布荷载ABl0qR载荷的简化P

集中力偶ABPm=PRABxyzABP1P2梁的支座的简化

固定铰支座

可动铰支座ABPAB梁的支座的简化固定端

固定端P

梁的类型简支梁外伸梁悬臂梁ABP超静定梁ABxyzABP1P2ACFPABP静定梁

§5-2剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力和弯矩P2ABP1ablm内力求解1.求出支座反力(列平衡方程）∑Y=？

0注意校核∑MA=0∑MB=0∑X=0RARB内力求解2.建立坐标系，求任一横截面上的内力(截面法）xyQMOxyAP1RAxamP2ABP1ablRARBmxnnM-RAx+P1(x-a)-m=

0RA-P1-Q=

0∑Y=0Q=

RA-P1∑Mo=0M:弯矩M=RAx-P1(x-a)+mQ:剪力P2BRBl-xnnxb内力求解2.建立坐标系，求任一横截面上的内力(截面法）xyP2ABP1MRBRAxnnQMQ:剪力M:弯矩OP2ABP1mRBRA∑Y=0∑Mo=0Q=

P2-RBM=-P2(l-b)+RB(l-x)Q-P2

+RB

=

0M+P2(l-b)-RB(l-x)=

0剪力和弯矩Q=

RA-P1M=RAx-P1(x-a)+mP2BRBl-xnnxbQMOQ=

P2-RBM=-P2(l-b)+RB(l-x)QMOxyAP1RAxamdxQQQQQQQdxdxQdxMMdxMMdxMMdxdxMM(+)(+)(-)(-)符号规定xyAP1RAxaQMOQ=

RA-P1M=Rax-P1(x-a)+m剪力和弯矩Q=∑Y左M=∑M0左P2BRBl-xnnxbQMOQ=

P2-RBM=-P2(l-b)+RB(l-x)Q=∑Y右M=∑M0右m

梁横截面上的剪力在数值上等于该横截面左边（或右边）梁上诸外力的代数和。

左边梁上向上的外力（或右边梁上向下的外力）产生正值剪力；反之，产生负值剪力。

梁横截面上的弯矩在数值上等于该横截面左边（或右边）梁上诸外力对于该横截面形心的力矩的代数和。

在左边梁上的外力矩或外力偶，顺时针转向的产生正值弯矩。在右边梁上的外力矩或外力偶，逆时针转向的产生正值弯矩。反之，产生负值弯矩。1.求出支座反力ABClaq例题1已知q=120kN/m，l=1m,a=0.5m，求A、C截面的内力。解：RAM=60kN=60×0.33=20kN·m∑Y=0yx∑MA=0ABClaq例题1

2、A截面的内力RAMQ=RA=60kNMA=－M

=－20kN·myx

3、C截面的内力Q=ql/8=15kNMA=(－ql/8)×l/6=－2.5kN·mQ=∑Y左M=∑M0左Q=∑Y右M=∑M0右剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程P2ABP1mablQ=

RA-P1M=Rax-P1(x-a)+mxyAP1mRAxaQMOQ=Q(x)M=M(x)剪力图xQxM弯矩图ABPClab例题2解：∑MA=0RARBRBl－Pa=0∑MB=0Pb－

RAl=01.求支座反力例题22.列剪力方程和弯矩方程AC段ABPClabRARBxy选择坐标系选取分段点x(0<x<a)(a

x

l)CB段(a<x<l)(0

x

a)ABPClabRAyxRBx例题23.作剪力图和弯矩图AC段(0<x<a)(a

x

l)CB段(a<x<l)(0

x

a)xQxM结论集中力使剪力值在该处发生突变，突变值等于集中力数值;弯矩图的斜率发生突变。ABPClabRAyxRBxxQxM结论集中力使剪力值在该处发生突变，突变值等于集中力数值;弯矩图的斜率发生突变。ΔxQ1Q2例题3解：∑MA=0RBl－m0=0∑MB=0m0

－

RAl=0ABlabmoCRARB1.求支座反力例题32.列剪力方程和弯矩方程AC段选择坐标系选取分段点(0<x

a)(a

<

x

l)CB段(a<x<l)(0

x<a)ABlabmoCRARByxx3.作剪力图和弯矩图AC段CB段xQxMABlabCRARBxymo(0<x

a)(0

x<a)(a

<

x

l)(a<x<l)结论集中力偶使弯矩值在该处发生突变，突变值等于集中力偶矩数值。ABlabCRARBxymoxQxM结论M1M2集中力偶使弯矩值在该处发生突变，突变值等于集中力偶矩数值。Δx例题4解：∑Y=0RA－ql=0∑MA=0MA

－

ql(l/2)=0lqABxyRAMARA=ql1.求支座反力例题42.列剪力方程和弯矩方程(0

x

l)xlqABxyRAMARA=ql例题43.作剪力图和弯矩图xQxM(0

x

l)xlqABxyRAMAql例题5解：ABCyxRARB1.求支座反力例题52.列剪力方程和弯矩方程ABCyxRARBAB段(0<x<2l)(0

x

2l)BC段(2l<x<3l)(2l

x

3l)例题53.作剪力图和弯矩图ABCyxRARBQ(ql)(0<x<2l)(2l<x<3l)M(ql2)ABC例题53.作剪力图和弯矩图(0

x

2l)(2l

x

3l)ABCyxRARB载荷集度、剪力和弯矩间的关系Q(x)+dQ

(x)M(x)+dM(x)Q(x)M(x)载荷集度、剪力和弯矩间的关系BAPxyq=q(x)xdxq(x)dxyCQ(x)+q(x)dx－Q(x)

－dQ(x)

=0∑MC=0M(x)＋dM(x)

－q(x)dx(dx/2)

－Q(x)

dx－M(x)

=0载荷集度、剪力和弯矩间的关系∑Y=0Q(x)+dQ

(x)M(x)+dM(x)Q(x)q(x)dxyCM(x)载荷集度、剪力和弯矩间的关系Q(x)+dQ

(x)M(x)+dM(x)Q(x)q(x)dxyCM(x)载荷集度q(x)

剪力Q(x)弯矩M(x)

q(x)=0q(x)=常量集中力作用处（没有外力）递增（Q”+”)递减（Q”-”)q（）q（）均布载荷集中力偶作用处函数有突变，突变值=集中力值函数有突变，突变值=集中力偶矩值q(x)不连续Q(x)=0处产生极值向下凸向上凸水平xQxM例题6例题7qqllCAB0.5BEC0.50.5AqlQDACBD0.125E0.125M(ql2)例题8ABCDM(ql2)ABCD111.5Q(ql)例题9ABCQABCqlC10.5ABM(ql2)Theend!第六章弯曲应力

梁的纯弯曲

梁的纯弯曲ABPPxQxMPaPa纯弯曲DaxCaPP横力弯曲CDm=Pam纯弯曲：横截面上只有弯矩并无剪力的情况。

弯曲正应力σdAmdA

纯弯曲时的正应力Q：与横截面相切的分布内力系的合力M：与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩QMdA

dA纯弯曲梁横截面上只有正应力

变形特征与平面假设

纯弯曲时的正应力现象：mmnnaabb变形后mm变形前1、横向线m-m、n-n变形后仍是直线，只是各横向线发生了倾斜，但仍然和纵向线相垂直；2、纵向线a-a、b-b变成了曲线，且靠近杆顶部凹面的纵向线缩短了，靠近杆底部凸面的纵向线伸长了；ABPPDaxCammnnaabb

变形特征与平面假设梁弯曲时，梁中有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。中性层纵向对称面中性轴横截面平面假设：变形前梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。结论：梁横截面上的正应力就是纤维所受的拉应力或压应力，纯弯曲时横截面上没有剪应力。

纯弯曲时的正应力mmnnaabbmm

纯弯曲时的正应力bbdxOOmmO´O´ρydθyxb´b´

变形几何关系mbbdxOOyxy

纯弯曲时的正应力

物理关系

纯弯曲时的正应力中性轴Z轴通过截面形心

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力EIz：抗弯刚度截面对中性轴（Z）的惯性矩

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力xmyzzσdAy

此公式适用于对称弯曲的所有情况。注意：

公式中的正负号与轴的取向有关；

公式的适用范围是材料的比例极限之内；

梁在横力弯曲时，对于梁的跨度与横截面的高度之比大于5的梁，剪力的存在对此公式的影响很小，可以近似地使用此公式；抗弯截面系数

纯弯曲时的正应力

横力弯曲时的正应力矩形截面：宽为b，高为hyzhb圆形截面：直径为D圆环形截面：内径为d，外径为D

弯曲强度计算

正应力强度条件

弯曲强度计算绘制内力图（弯矩图）;确定可能的危险截面；确定可能的危险点；应用强度条件求解。

解题步骤

弯曲强度计算例题1400AB12.5×103kN/m400830830已知轧辊直径d=760mm,[σ]=80MPa，校核轧辊的强度。31505000kN5000kN解：1.作弯矩图例题12.危险截面为跨中截面Mmax=3150kN·m轧辊满足强度要求(σc)max(σt)maxP2100010001000P12.5MkN/m4＋－11221-12-2例2:已知P1=4kN，P2=9kN，材料的抗拉强度极限(σ

b)t=320MPa，抗压强度极限(σ

b)c=750MPa，取安全系数n=3.5，试校核梁的强度(C为截面形心，Iz＝136cm4）y60206030Cz202.5MkN/m4＋－1.校核最大压应力

(σc)max=M2y/Iz=4×103×0.05/(136×10-8)=147×106Pa=147MPa=750/3.5=214MPa[σc]=

(σb)c

/n(σc)max<[σc]

例题2y60206030Cz20解：由弯矩图和截面形状可知，最大压应力发生在2-2截面下边缘，最大拉应力可能发生在2-2截面上边缘或1-1截面的下边缘。M1=2.5KN·mM2=4KN·mP2100010001000P11122(σt)2=M2y/Iz=4×103×0.03/(136×10-8)=88.24MPa=320/3.5=91.4MPa[σt]=

(σb)t

/n(σt)max≤[σt]

(1)2－2截面上边缘

(2)1－1截面下边缘

(σt)1=M1y/Iz=2.5×103×0.05/(136×10-8)=91.9MPa满足强度要求例题22.校核最大拉应力y60206030Cz20P2100010001000P11122qyzzcyc例题3已知：[σt]=[σc]=140MPa，试求最大许可分布载荷集度q值。0.98q0.32qACBM图解：1.作弯矩图Mmax=0.98q2.确定对中性轴的惯性矩例题3yzyczc中性轴的位置对zc轴的惯性矩2.确定对中性轴的惯性矩例题3yzyczc上表面纤维较下表面纤维更远离中性轴3.强度条件q=5.81kN/m

弯曲切应力

在有剪力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在

沿截面宽度方向切应力均匀分布

弯曲切应力前提分析方法弯矩平衡如何实现？bzzz

弯曲切应力截面上距中性轴为y的横线以外部分截面面积对中性轴的静矩：任意点的切应力公式：实心截面梁的弯曲切应力矩形截面bzyh/2h/2yy1dy1实心截面梁的弯曲切应力矩形截面Qy实心截面梁的弯曲切应力工字形截面zbbhHyB实心截面梁的弯曲切应力工字形截面τmaxτminzbbhHyB圆截面实心截面梁的弯曲切应力RFQ

弯曲切应力强度条件弯矩较小而剪力Q较大的梁，薄壁截面梁梁由几部分经焊接、铆接或胶合而成，对焊缝、铆接或胶合面等进行剪切计算。例题6一起重量为50KN的单梁吊车（图a），跨度l=10.5m，由45a工字钢制成，［σ］=140MPa，［τ］=75MPa。为发挥其潜力，试计算能否起重P=70KN。若不能则在上、下翼缘各加焊一块100×10mm的钢板（图b），试校核其强度，并决定钢板的最小长度，已知电葫芦重F=15KN（梁的自重暂不考虑）。

图al图byz图al例题6解：1.计算梁的最大起重量

由于l/h=23.3，属细长等截面梁，所以按弯曲正应力校核，小车在任意位置时，弯矩图如图：弯曲正应力强度条件∴P=61.2KN<70KN所以不能直接起重70KN，需要加固。

P+FxM图Mmax=Wy［σ］=2×105N•m=(P＋F)l/4小车走到梁的中点时，弯矩最大，为从型钢表查得No.45a工字钢Wy=1430×10-6m3，例题62.加焊钢板后再进行校核Iy=32200＋2(10×13/12＋232×10×1)=4.282×104cm4

σmax=Mmax/Wy=122.4MPa<［σ］所以梁是安全的。P+F(1)校核弯曲正应力

图byz查表得No.45a工字钢Iy=32200cm4zmax=22.5＋1=23.5cmWy=Jy/zmax=1.822×103cm3

P+F例题62.加焊钢板后再进行校核τmax=Q/(bIy/Sy*)=19.15MPa<［τ］可见弯曲剪应力影响不大。(2)校核弯曲切应力

图byzQmax=70＋15=85KNIy：Sy*=38.6cm，b=1.15cm

例题63.决定钢板最小长度x2－10.5x＋24.7=045a工字钢能承受弯矩M=200KN•mP+Fxx≤3.56m钢板最小长度为：l=2×(5.25－3.56)=3.38m≈3.4mM图

提高弯曲强度的措施

合理安排梁的受力，降低Mmax；

采用合理的截面形状，提高W。

提高弯曲强度的措施

合理安排梁的受力，降低Mmax合理布置梁的支座MxMabcx合理布置载荷ABPMxPMabcxxMMP/2P/2ABlP/2

采用合理的截面形状，提高WW/A较大的截面较为合理hbhbzz

采用合理的截面形状，提高W

采用合理的截面形状，提高W考虑材料的性能y1y2zM等强度梁ABPxl/2l/2hxbminb(x)P阶梯轴第七章

弯曲变形

挠度和转角

工程背景弯曲位移不能超过一定数值希望产生足够量的弯曲位移梁的轴线变成光滑连续曲线

整体变形xyP

挠度和转角xv挠曲线v=