202022学年辽宁省沈阳市铁西区九年级期中数学试卷

2022-2022学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．5x2﹣6y﹣2＝0B．2x2﹣7＝3y+1 C．x（x+2）＝5（x﹣2）D．ax2+（b﹣3）x+c+5＝02．（2分）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件3．（2分）如图，BE、CD交于点A，DE∥BC，若，则＝（）A．B．C．2D．34．（2分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC5．（2分）两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A．B．9：4C．3：2D．不能确定6．（2分）某地区2022年的快递业务量为亿件．近两年由于电子商务发展等多重因素，快递业务也迅猛发展，2022年该地区的快递业务量达到了亿件．设2022年与2022年这两年快递业务量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）＝B．（1+2x）＝ C．（1+x）2＝D．（1+x）+（1+x）2＝7．（2分）如图，小球从A口往下落，在每个交又口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2分）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A．B．﹣C．2D．﹣210．（2分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE＝AD＝2，则AC的长是（）A．B．4C．2D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+2﹣2x＝0的根是．12．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝，则边AC的长为．13．（3分）已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若OB：AB＝1：，AC＝6，则BD的长是．14．（3分）果农小张今年种植的苹果得到了丰收，为了了解自家苹果的质量，随机从种植园中抽取适量苹果进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质苹果”出现的频率逐渐稳定在，小张家今年的苹果总产量约为800kg，由此估计小张家今年的“优质苹果”产量约是kg．15．（3分）若＝＝≠0，则＝．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定角度后，AB的对应边EF交AD边于点G．连接BE，AF，若AB＝7，AG＝4，EG＝CE，△BCE的面积为S，则△ACF的面积为．（用含S的代数式表示）三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：x2﹣5x+1＝0．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE＝DF．求证：△ABE≌△DBF．19．（8分）如图所示，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F，请说明BO2＝OF•OE．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）在一个不透明的口袋中装有3张相同的纸牌，它们分別标有数字1，2，3．随机摸出一张纸牌记下数字后放回，再随机摸出一张纸牌．请用画树状图或列表的方法，求两次摸出纸牌上数字之和为3的概率．21．（8分）如图，在边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点．（1）画图并填空：请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3），（6，2），那么点B的坐标的为；（2）画图：以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；（3）请直接写出△A′B′C′的面积．五、（本题10分）22．（10分）工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．（1）当长方体底面面积为12平方分米时，求裁掉的正方形边长；（2）若要将容器内表面（侧面及底面）进行防锈处理，已知侧面每平方分米的费用为元，底面每平方分米的费用为2元，防锈的费用为76元，求裁掉的正方形边长．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x和直线y＝﹣x+25交于点A四边形OCAD是矩形，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，点P是矩形OCAD的边AD上的一个动点，连接OP，点D关于直线OP的对称点为点D'．（1）请直接写出点C和点D的坐标；（2）当∠OPD＝∠OAC时，求点P的坐标；（3）若点D'到矩形OCAD的较长两条对边的距离之比为1：4，请直接写出此时点P的横坐标．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长是3，延长AB至点P、延长BC至点Q，使BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，相Q交CD于点F，DP交BC于点E，连接AE．（1）求证：AQ⊥DP；（2）求证：S△AOD＝S四边形OECF；（3）当BP＝1时，请直接写出OE：OA的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交边AC于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动，点D为PQ中点，以DQ为边作正方形DEFQ，使点E与点A分别在直线PQ两侧．点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上且不与点A重合时，正方形DEFQ的边长为cm，AQ的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点F落在边BC上时，求x的值；（3）当正方形DEFQ与△ABC重合部分为五边形时，请用含x的代数式直接写出此时正方形DEFQ与△ABC重合部分的面积．

2022-2022学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．5x2﹣6y﹣2＝0 B．2x2﹣7＝3y+1 C．x（x+2）＝5（x﹣2） D．ax2+（b﹣3）x+c+5＝0【分析】根据一元二次方程的定义作出选择．【解答】解：A、含有2个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B、含有2个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（2分）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．【解答】解：事件A、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．故选：D．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（2分）如图，BE、CD交于点A，DE∥BC，若，则＝（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．4．（2分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．5．（2分）两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A． B．9：4 C．3：2 D．不能确定【分析】由两个相似三角形，其周长之比为3：2，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，∴其相似比为3：2，∴其面积比为9：4．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．6．（2分）某地区2022年的快递业务量为亿件．近两年由于电子商务发展等多重因素，快递业务也迅猛发展，2022年该地区的快递业务量达到了亿件．设2022年与2022年这两年快递业务量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）＝ B．（1+2x）＝ C．（1+x）2＝ D．（1+x）+（1+x）2＝【分析】根据题意可得等量关系：2022年的快递业务量×（1+增长率）2＝2022年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设2022年与2022年这两年的平均增长率为x，由题意得：（1+x）2＝，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．7．（2分）如图，小球从A口往下落，在每个交又口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以，最终从点E落出的概率为．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用相似图形的性质分别判断得出即可．【解答】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．9．（2分）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵a≠0，c≠0，∴＝﹣1，∴x2+x+＝0，x2+x+1＝0，∴x2+x﹣1＝0，x2﹣x﹣1＝0，∵x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴x＝2是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴x＝﹣2是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，即x＝﹣2时方程cx2+bx+a＝0的一个根故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．10．（2分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE＝AD＝2，则AC的长是（）A． B．4 C．2 D．【分析】由在矩形ABCD中，AE＝AD＝2，可得BC＝2，又由E是BC的中点，求得BE的长，然后由勾股定理求得AB与AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝2，∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝1，∵AE＝2，∴AB＝＝，∴AC＝＝．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质．注意如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+2﹣2x＝0的根是x1＝x2＝．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+2﹣2x＝0，∴（x﹣）2＝0，∴x1＝x2＝，故答案为：x1＝x2＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝，则边AC的长为．【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得比例线段，即AC2＝AD•AB，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB，∵AD＝2，BD＝，∴AC2＝2×＝13，∵AC＞0，∴AC＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．13．（3分）已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若OB：AB＝1：，AC＝6，则BD的长是2．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，AC⊥BD，由勾股定理可求BO＝1，即可求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，AC⊥BD，∵AB2＝AO2+BO2，且OB：AB＝1：，AO＝3，∴OB＝1，∴BD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．14．（3分）果农小张今年种植的苹果得到了丰收，为了了解自家苹果的质量，随机从种植园中抽取适量苹果进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质苹果”出现的频率逐渐稳定在，小张家今年的苹果总产量约为800kg，由此估计小张家今年的“优质苹果”产量约是320kg．【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质苹果”产量．【解答】解：由题意可得，该果农今年的“优质苹果”产量约是：800×＝320kg，故答案为：320．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率估计出所求问题的答案．15．（3分）若＝＝≠0，则＝．【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果．【解答】解：设＝＝＝k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，所以＝＝．故答案是：．【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定角度后，AB的对应边EF交AD边于点G．连接BE，AF，若AB＝7，AG＝4，EG＝CE，△BCE的面积为S，则△ACF的面积为S．（用含S的代数式表示）【分析】连接GC．设DG＝x，则AD＝BC＝CD＝GE＝4+x．利用勾股定理求出x，证明△ECB∽△FCA，推出＝（）2即可解决问题．【解答】解：连接GC．设DG＝x，则AD＝BC＝CD＝GE＝4+x．∵∠ACB＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ECB，∵CA＝CF，CB＝CE，∴＝，∴△ECB∽△FCA，∴＝（）2，∵∠D＝∠CEG＝90°，∴CG2＝DG2+CD2＝EG2+EC2，∴x2+72＝2（x+4）2，整理得：x2+16x﹣17＝0，解得x＝1或﹣17（舍弃），∴DG＝1，AD＝4+1＝5，∴AC＝＝＝，∴＝（）2＝，∵△BCE的面积为S，∴S△ACF＝S，故答案为S．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：x2﹣5x+1＝0．【分析】先找出a，b，c，求出△＝b2﹣4ac的值，再代入求根公式x＝计算即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，△＝b2﹣4ac＝25﹣4＝21，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，用到的知识点是求根公式x＝，找出a，b，c，求出△＝b2﹣4ac的值，是解此题的关键．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE＝DF．求证：△ABE≌△DBF．【分析】由于在菱形ABCD中，∠A＝60°，所以∠ADC＝120°，所以∠BDF＝∠BAE＝60°，所以BD＝AB，由于AE＝DF，所以△ABE≌△DBF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，又∵∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AB＝DB，∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DBF．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．19．（8分）如图所示，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F，请说明BO2＝OF•OE．【分析】即证OB：OF＝OE：OB．由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB＝OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF＝OC：OA．问题得证．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB＝OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF＝OC：OA．∴OB：OF＝OE：OB，即OB2＝OF•OE．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定难度．证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）在一个不透明的口袋中装有3张相同的纸牌，它们分別标有数字1，2，3．随机摸出一张纸牌记下数字后放回，再随机摸出一张纸牌．请用画树状图或列表的方法，求两次摸出纸牌上数字之和为3的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的纸牌标号数字之和是3的情况数目，再利用概率公式即可求得答案即可．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的纸牌标号数字之和是3有2种情况，∴两次摸出纸牌上数字之和为3的概率＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，在边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点．（1）画图并填空：请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3），（6，2），那么点B的坐标的为（2，1）；（2）画图：以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；（3）请直接写出△A′B′C′的面积．【分析】（1）利用点A、C的坐标画出直角坐标系，然后写出B点坐标；（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；（3）利用三角形面积公式计算．【解答】解：（1）如图，B点坐标为（2，1）；故答案为（2，1）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）△A′B′C′的面积＝×4×8＝16．【点评】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．五、（本题10分）22．（10分）工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．（1）当长方体底面面积为12平方分米时，求裁掉的正方形边长；（2）若要将容器内表面（侧面及底面）进行防锈处理，已知侧面每平方分米的费用为元，底面每平方分米的费用为2元，防锈的费用为76元，求裁掉的正方形边长．【分析】（1）由设裁掉的正方形的边长为xdm，用x的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；（2）由条件“侧面每平方分米的费用为元，底面每平方分米的费用为2元，防锈的费用为76元”列出方程并解答．【解答】解：（1）设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12，即x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm；（2）设裁掉的正方形边长是ydm，则2（10﹣2x）（6﹣2x）+×[2x（10﹣2x）+2x（6﹣2x）]＝76整理，得（x﹣6）2﹣6＝19，解得x1＝11（舍去），x2＝1，答：裁掉的正方形边长为1分米．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的难点．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x和直线y＝﹣x+25交于点A四边形OCAD是矩形，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，点P是矩形OCAD的边AD上的一个动点，连接OP，点D关于直线OP的对称点为点D'．（1）请直接写出点C和点D的坐标；（2）当∠OPD＝∠OAC时，求点P的坐标；（3）若点D'到矩形OCAD的较长两条对边的距离之比为1：4，请直接写出此时点P的横坐标．【分析】（1）联立y＝x和y＝﹣x+25，即可求解；（2）当∠OPD＝∠OAC时，tan∠OAC＝＝＝tan∠OPD＝＝，即可求解；（3）分点D′在直线OA下方、点D′在直线OA上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）联立y＝x和y＝﹣x+25，解得：x＝8，y＝5，故点A（8，5），故点C、D的坐标分别为（8，0）、（0，5）；（2）当∠OPD＝∠OAC时，tan∠OAC＝＝＝tan∠OPD＝＝，解得：PD＝，故点P（，5）；（3）点D关于直线OP的对称点为点D'，连接OD′，过点D′作D′H⊥x轴于点H，①当点D′在直线OA下方时，点D'到矩形OCAD的较长两条对边的距离之比为1：4，则D′H＝1，而OD′＝OD＝5，则OH＝＝，即点D′（，1），DD′所在直线表达式的k值为：，则直线OP表达式中为k值为：＝，则直线OP的表达式为：y＝x，当y＝5时，x＝，故点P（，5）；②当点D′在直线OA上方时，则D′H＝4，同理可得：点P（，5）；③D′在OC下方时，同理可得：P（，﹣5）综上，点P（，5）或（，5）或（，﹣5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、点的对称性、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长是3，延长AB至点P、延长BC至点Q，使BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，相Q交CD于点F，DP交BC于点E，连接AE．（1）求证：AQ⊥DP；（2）求证：S△AOD＝S四边形OECF；（3）当BP＝1时，请直接写出OE：OA的值．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；（2）证明△CQF≌△BPE，根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；（3）证明△PBE∽△PAD，根据相似三角形的性质得到BE＝，由三角函数的定义，求出，OQ＝，OE＝，即可求出OE：OA的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ