2021年人教A版(2019)选择性必修第二册数学第五章-一元函数的导数及其应用单元测试卷(一)

2021年人教A版(2019)选择性必修第二册数学第五章一元函

数的导数及其应用单元测试卷(1)

一、选择题

1.下列求导运算正确的是()

A.(sinx)/=—cosxB.(—=ex=—^D.(2%)'=2"

2.过点(一2,1),且与曲线/("=1位+%在点(1,7(1))处的切线平行的直线方程为

()

A.2x+y+3=0B.2x—y+5=0C.2x—y-1=0D.2x+y-2=0

3.函数f(x)=:。产一(q+2)%+2lnx单调递增的充分必要条件是()

A.a>2B.a=2C.a>1D.a>2

4.若f(%)=x2-2%-4lnx,则尸(%)>0的解集为()

A.(0,+8)B.(—1,0)U(2,+8)C.(2,+8)0.(—1,0)

5.函数y=W在©2］上的最大值是()

111

A—B—C-D.e

3e2ee

6.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是S=gt3一

|严一43那么速度为零的时刻是()

A.0秒B.1秒末C.4秒末D.1秒末和4秒末

7.若函数/(%)=m--%2+2x(m<0)在(0,1)上有极值点，则m的取值范围为

()

A.(-2,0)B.(-2,-})C.(-表0)D(T'W)

2

8.已知函数/(x)=\i在R上单调递增,则实数a的取值范围为

1(5—2a)x--a,x<l

()

A•(啕B.蜕)C.(2,,D.(2,9

9.已知函数/Q)=x+xlnx,若kEZ,且-1)V/(%)对任意的1>1恒成立，贝味

的最大值为()

A.5B.4C,3D.2

10.

已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当％>0时，/(%)=e~x(x-1).给出以下命题:

①当％V0时，/(%)=ex(x+1)；

②函数f(x)有三个零点；

③若关于％的方程/(%)=小有解，则实数m的取值范围是一1<mV1；

④对V%],x2ER,|/(%2)一/(%1)1V2恒成立.

其中，正确命题的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.函数/(%)=/+xsinx的图象大致为()

12.若曲线y=x3-2x2+2在点4处的切线方程为y=4%-6,且点4在直线m%4-

ny-1=0(其中m>0,n>0)上，则*+：的最小值为()

A.4V2B.3+2&C.8V2D.64-4^2

二、填空题

13.设函数f(x)=与一b/+/%一：在％=1处取得极值0,则Q+b=.

试卷第2页，总20页

14.设函数是奇函数/(%)(久ER)的导函数，/(-I)=0,当x>0时;xf(x)-/(x)<0,

则使得f(x)>0成立的工的取值范围是.

15.定义在R上的函数f(%)满足尸(x)>1-/(%),/(0)=6,尸㈤是/(%)的导函数,则

不等式靖/(%)>靖+5(其中e为自然对数的底数)的解集为.

IlnxLO<x<e,

16.已知函数/(%)=&若0<QVbVc且满足/(Q)=f(b)=/(c),则

a/(h)+bf©+cf(Q)的取值范围是.

三、解答题

17.

(1)已知f(%)=4+2,请用导数的定义证明：//(%)=2x.

(2)用公式法求下列函数的导数：①y=Inx+cosx；②y=丹

18.已知函数y=Q/+b/,当x=l时，有极大值3.

(1)求a,匕的值；

(2)求函数y的极小值.

19.已知函数/(%)=x2lnx.

(1)讨论函数"X)的单调性；

(2)若/(X)>ax-1对任意的％6(0,+8)成立，求实数Q的取值范围.

20.已知函数/(%)=4%-alnx-1%2-2,其中a为正实数.

(1)若函数y=/(%)在％=1处的切线斜率为2,求Q的值；

(2)若函数y=/(%)有两个极值点%2»求证：((%1)+f(上)V6—Ina.

21.已知函数/(%)=/+2工一3,g(%)=~^，且函数/(%)与g(%)的图像在％=1处的

切线相同.

(1)求k的值;

(2)令F(x)=(3：)'若函数F(x)-巾存在2个零点,

求实数m的取值范围.

22.已知函数/'(x)=xsinx+cosx.

(1)判断/(x)在区间(2,3)上的零点个数，并证明你的结论；(参考数据：V2«1.4,

V6«2.4)

(2)若存在使得/(x)>■+cosx成立，求实数k的取值范围.

试卷第4页，总20页

参考答案与试题解析

2021年人教A版(2019)选择性必修第二册数学第五章一元函

数的导数及其应用单元测试卷(1)

一、选择题

1.

【答案】

c

【考点】

导数的运算

【解析】

利用对数的运算求解即可.

【解答】

解：A,(sinx)'=cosx,故4错误；

B,(一二)'=一(/)，=一统，故B错误;

C,(in.)=(-Inx)'=-(lnx)z=-p故C正确；

D,(2xy=2xln2,故D错误.

故选C.

2.

【答案】

B

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

暂无

【解答】

解：/口)W+1,尸⑴=2,

所求直线方程为y-1=2(x+2),

整理为2x-y+5=0.

故选8.

3.

【答案】

B

【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

利用导数研究函数的单调性

【解析】

先根据导数和函数单调性的关系，求出a的范围，再结合充分必要条件的定义即可判断.

【解答】

解：由/'(%)=[a/—(a+2)x+2lnx单调递增，

可得尸(x)=ax-(a+2)+1=2-(?24+22。，

ax2—(a+2)x+2>0在％G(0,+8)上恒成立，

L=(a+27-8a<0,或|管<0,

解得Q=2,

故函数/(x)=|ax2-(a+2)x+21nx单调递增的充分必要条件是a=2.

故选B.

4.

【答案】

C

【考点】

导数的加法与减法法则

一元二次不等式的解法

【解析】

由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式/'(%)>0的解集与函数

的定义域取交集，即可选出正确选项.

【解答】

解：由题可得，/(x)的定义域为(0,+8),<(x)=2x-2-i,

令2x-2-£>0,整理得/一%-2>0,解得x>2或x<-l,

X

结合函数的定义域知，/'(%)>0的解集为(2,+00).

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

利用导数研究函数的最值

【解析】

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，求出函数的最

大值即可.

【解答】

解：y'=皆,XG［0,2］,

令y'>0,解得：X<1,

令y'<0,解得：x>1,

函数y=2在［0,1］上单调递增，在［1,2］上单调递减，

y虚大皆■=训*=1=:

故选C.

6.

【答案】

C

【考点】

导数的几何意义

试卷第6页，总20页

【解析】

位移对时间求导数即是速度，求出位移的导数令其等于零解之.

【解答】

解：丫s=1t3—|t2—4t,

v=s'(t)=t2-3t-4,

2

令"—。得，t—3t—4=0,tr——1或I2-4.

故选C.

7.

【答案】

A

【考点】

利用导数研究函数的极值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：f'(x)=m-ex—2x+2(m<0),

所以尸(x)在(0,1)上为减函数，

所以(/-(I)=me<0,

解得一2<m<0.

故选A

8.

【答案】

B

【考点】

已知函数的单调性求参数问题

【解析】

由题设得函数为增函数，再利用分段函数的单调性得不等式组，进而得解.

【解答】

解：由题意得：

5—2Q>0,

2—QV0,

2—ci1

--->5-2a--a,

26

解得当WQV|.

故选8.

9.

【答案】

C

【考点】

利用导数研究不等式恒成立问题

【解析】

本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力、推理论证能

力.

【解答】

解：由f(%)>fc(x—1),得％+x\nx>k(x—1)对任意的x>1恒成立，即k<丑制”恒

X—1

成立.

令九(乃=誓，得九

令<p(x)=x—Inx—2(x>1),得<p'(x)=1—|=?>0,

A函数火X)在(1,+8)上单调递增.

<p(3)=1-In3<0,9(4)=2-2ln2>0,

方程(p(x)=0在(1,+8)上存在唯一的实根沏，且满足(3,4),

(p(x0')=0>BPx0-lnx0-2=0>BRx0-1=lnx0+1.

当l<x<&时，<p(x)<0,则h'(x)<0；

当时,<p(x)>0,则九'(%)>0,

A函数无。)在(1,3)上单调递减，在(&,+8)上单调递增.

30(*+1)_XoOo-l)

八(X)min=九(&)=X。e(3,4),

Xo-1x0-l

k<h(x)min=X0.

故整数k的最大值为3.

故选C.

10.

【答案】

D

【考点】

利用导数研究与函数零点有关的问题

函数奇偶性的性质

【解析】

①设x<0,则-x>0,由函数得性质可得解析式，可判①的真假；

①当x<。时，/(%)=ex(x+1)；

②作出函数/(x)的图象，由图可判断②的正误；

③由②的分析可知，若关于X的方程f(x)=皿有解，则实数m的取值范围是-1<

m<1,可判断③的正误；

④由③知，函数一1<f(x)<1,故有V%i，亚eR,，(全)一/<2恒成立，可

判断④.

【解答】

解：①因为函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=e-x(x—l),

设x<0,则—x>0,所以-/(x)=/(—x)=e*(—x-1),

即/(x)=e，(x+l),故①正确；

②对x<0时的解析式求导数可得，((%)=e«x+2),令其等于0,解得》=一2,

且当x€(-8,-2)时，导数小于0,函数单调递减；

当“6(-2,+8)时，导数大于0,函数单调递增，

%=-2处为极小值点，K/(-2)=-e-2>-l,且在％=-1处函数值为0,且当x<

-1时函数值为负.

又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数/(x)的图象应如图所示：

试卷第8页，总20页

因为函数的定义域为R，且是奇函数，所以f(0)=0.

由图象可知：函数有3个零点，故②正确；

③若关于x的方程/(%)=m有解，则实数m的取值范围是-1<m<1,故③正确；

④由于函数-1<f(x)<1,故有%2eR，<2恒成立，故④正

确.

故正确的命题为①②③④.

故选D.

11.

【答案】

A

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数奇偶性的判断

函数的图象

【解析】

根据函数的奇偶性排除B,再根据函数的单调性排除C,。，问题得以解决.

【解答】

解：:/(—%)=(―%)2+(―x)sin(-%)=%2+xsinx=/(%),

・・・函数/(%)是偶函数，关于y轴对称，故排除B,

令9(%)=%+sinx,

•二g'(%)=1+cosx>。恒成立，

/.g(x)在R上单调递增，

g(。)=

f(x)=xg(x)>0,故排除。，

当％>0时，/(%)=xg(%)单调递增，

故当xv0时，/(%)=xg(x)单调递减，故排除C.

故选4

12.

【答案】

D

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设A(s"),y=/—2/+2的导数为y'=3/一4%,

可得切线的斜率为3s2-4s,

切线方程为y=4x—6,

可得3s2—4s=4,t=4s—6,

解得s=2,t=2或s=-I，£=-g.

由点4在直线mx+ny-1=0(其中m>0,n>0),

可得2m+2n=1成立(s=—I"=—g舍去)，

则工+-=(2m+2n)(—+

mn\mn/

=2(3+巴+巧22(3+2l^}=6+4V2,

mn\ymnJ

当且仅当？i=时，取得最小值6+4企.

故选D.

二、填空题

13.

【答案】

7

-9

【考点】

利用导数研究函数的极值

函数在某点取得极值的条件

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：函数/'(%)+a2x-1,求导得r(x)=a/-2bx+aZ,

因为该函数在x=1处取得极值0,

故尸(1)=a-2b+a2=0,且/(I)=0,

故a=1或a=—|,

因为a=1时函数f(x)无极值，

故a=-3此时b=—工，

39

故答案为：—，

14.

【答案】

(-8,-1)u(0,1)

【考点】

函数的单调性与导数的关系

【解析】

构造函数g(x)=竽，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性,

画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式/(x)>0的解集.

【解答】

试卷第10页，总20页

解:设g(x)=号,则g(无)的导数为:

xf，(x)-r(x)

g'(x)=X5

当%>0时总有犷'0)</(x)成立,

即当x>0时，g'(x)恒小于0,

当x>0时，函数g(x)=y为减函数,

又•「g(-x)=-=3=®=g(x),

-X-xX2/

：.函数g(x)为定义域上的偶函数.

又•••g(-l)="=0,

「•函数g(x)的大致图象如图所示：

数形结合可得，不等式/(%)>0Q%•g(x)>0,

(x>0,_^(x<0,

=[g(x)>0,或(g(x)<0,

<=>0<x<1或％<—1.

/(%)>0成立的x的取值范围是(一8,-1)u(0,1).

故答案为：(—8,—1)U(0,1).

15.

【答案】

(0,+00)

【考点】

导数的乘法与除法法则

【解析】

构造函数g(x)=e*f(%)-e*,(xeR),研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函

数值，即可求解

【解答】

解：设g(x)=e*f(x)-eL(xeR),

则g'(x)=ez/(x)+exf'(x)-ex=ex[/(x)+f'(x)-1],

1•-r(%)>i-/(x),

/(x)+/'(x)—1>0，

g'(x)>0,

y=g(x)在定义域上单调递增，

,///(%)>〃+5,

/.g(x)>5,

又<5(0)=e°/(0)-e0=6-1=5,

g。)>5(o).

%>0,

不等式的解集为(0,+8).

故答案为：(0,+8).

16.

【答案】

1

(e,2e+-)

【考点】

导数求函数的最值

分段函数的应用

【解析】

根据/(无)的函数图象判断a,b,c的范围,利用f(a)=f(b)=f(c)得出a,b,c的关

系，得出a+b+c关于a的函数，求出此函数的值域即可.

【解答】

ab=Ldnb=e.

af(b)+bf(c)+c/(a)=(a+b+c)lnZ?

=+b)\nb+e,

令9(b)=(匕++e,(1<b<e),

则g<b)=(l—割nb+(b+》q,

g'(b)=1+Inb+^(1-Inb),

1­•l<b<e,

1—In/)>OJnh>0,

g'(b)>o,

则函数g(b)在区间(l,e)上单调递增，

试卷第12页，总20页

g⑴<g(b)<g(e),

即e<g(b)<2e+p

故答案为：(e,2e+J).

三、解答题

17.

【答案】

(1)证明：g=2x+Ax.

当4%->0时，ff(x)=2x.

(2)解：①y'=：-sinx.

zzx,2cos2xex-sin2xex

②y=—

_2cos2x-sin2x

-'

【考点】

导数的概念

简单复合函数的导数

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)证明：^=2x+Ax.

当4%t0时,/'(%)=2%.

⑵解：①y'=：-sinX.

xx

°xry\,=2cos2xe—sin2xe

2cos2x-sin2x

='

18.

【答案】

解：(l)y'=3ax2+2bx,

w-(3a+2b=0,

当％=1时，］

IQ+b=3,

解得a=-6,b=9.

(2)由(1)得:y=-6x3+9x2,

/.y'=-18x2+18%.

令y，=0,得％=0,或%=1,

当％>1或x<0时，y'<0,y单调递减;

当0<%<1时，y'>0,y单调递增.

Vmin=y(0)=0.

【考点】

利用导数研究函数的极值

【解析】

(1)求出y',由x=l时，函数有极大值3,所以代入y和y'=0中得到两个关于a、b

的方程，求出a、b即可；

(2)令y'=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间,

得到函数的极小值即可.

【解答】

解：⑴y'=3ax2+2bx,

当x=l时，产+2b=。，

Ia+b=3,

解得Q=-6,b=9.

(2)由(1)得:y=-6x3+9x2,

/.y'——18x2+18%.

令y，=0,得％=0,或%=1,

当％>1或x<0时，y'<0,y单调递减；

当0<%<1时，y'>0,y单调递增.

*1-Vmin=y(0)=0.

19.

【答案】

解：(1);/(%)=%2lnx,

・'./'(%)=2%(inx+0.

令/(%)=0,贝Ij2x(inx+|j=0,

/.x=0(舍)或%=—.

e

分析知，当xe(o,f)时，/(x)<o；

当xe停,+8)时，f'(x)>0>

函数f(x)在区间(0,上单调递减，在区间(?,+8)上单调递增.

(2)据题意知，a〈虫宁匚对任意的％e(0,+8)成立.

令g(x)=『，贝叼'(%)=受要二，

当x21时，g'(x)>0,

当0<x<1时，g'(x)<0,

函数g(x)在区间(1,+8)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，

,1,gGOmin=9(1)=1，

a<l,即所求实数a的取值范围为(一8,1].

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究不等式恒成立问题

试卷第14页，总20页

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1);/(%)=x2lnx,

/.，(x)=2x(in%+0.

令/(%)=0,则2%(in%+0=0,

%=0(舍)或%=立.

e

分析知，当xe(o,f)时，f'M<0：

当欠《住,+8)时,r(x)>0,

・•・函数/(X)在区间(0,f)上单调递减，在区间(手,+8)上单调递增.

(2)据题意知，a<当匚对任意的久G(0,+8)成立.

令g(x)=/，贝必，(幻=史亨二，

当工>1时，g'(%)>0,

当0V%V1时，g'(x)<0,

函数g(x)在区间(1,+8)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，

•••g(》)min=g(l)=1，

・•・a<l,即所求实数Q的取值范围为(一8,1].

20.

【答案】

⑴解：/，(x)=4*_x=—乞”

f(l)=3-a=2,

所以a的值为1.

(2)证明：由(1)知，当0<QV4时，函数y=/(%)有两个极值点％1，X?，

+%2=4，%^%2=

因为“%T)+f(%2)

19

=4'i—alnxx--xf-2+

19

X2

4x2-alnx2-22-

1

=4Qi4-x2)-alnOi%2)一,(岩+以)-4

1

=16—a\na--(42o—2a)—4

=4+a—alna.

要证f(%i)+f(x2)<6-Ina,只需证alna-a-Ina+2>0.

构造函数g(%)=xlnx—%—Inx4-2,

则“(%)=1+Inx-1—=In%—:,

g'(x)在(0,4)上单调递增，

又7(1)=-1<0,“(2)=ln2-1>0,

且g'(x)在定义域上不间断，

由零点存在定理，可知g'(x)=0在(1,2)上存在唯一实根沏，且Inxo=工.

x0

则g(x)在(0,X。)上单调递减，(x0,4)上单调递增，

所以g(x)的最小值为gOo).

因为9(和)=一—1吟+2

=1一%0一2+2=3-(A+2)，

XQ

当2)时，x°+；e(2,1),

则gQo)>0,所以g(x)>g(xo)>。恒成立.

所以alna-a—Ina+2>0,

所以/'(/)+/(尤2)<6-Ina,得证.

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的最值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：f(x)=4-^-x=-^^,

[⑴=3—a=2,

所以Q的值为1.

(2)证明：由⑴知,当OvaV4时,函数y=/(%)有两个极值点%-x2,

且与+%2=4,%i%2=

因为

1

=4%i—alnxi--%i?-24-

17

X

4%2-alnx2-2z-2

1

=4(与4-x2)~山位%62)一](好+片)-4

=16—alna——(42—2Q)—4

=4+a-alna.

要证/(%i)+f(x2)<6—Ina,只需证alna—a—Ina+2>0.

构造函数g(x)=xlnx-%-Inx4-2,

则“(%)=1+Inx—1—^=Inx-I，

g'Q)在(0,4)上单调递增，

又或1)=-1<0,或2)=ln2-i>0,

且g'(x)在定义域上不间断，

试卷第16页，总20页

由零点存在定理，可知g'Q)=0在(1,2)上存在唯一实根%0,且ln&=2.

x0

则g(x)在(0,%o)上单调递减,(%0,4)上单调递增，

所以g(X)的最小值为。(%0)・

因为9(&)=&ln&-x0-lnx0+2

=1一3-2+2=3-(%。+5

%oXQ

当沏6(1,2)时，沏+白6(2,I),

则gQo)>0，所以g(%)ng(x0)>0恒成立.

所以alna-a-Ina4-2>0,

所以fQi)+f(》2)V6—Ina,得证.

21.

【答案】

解：(1)已知/(%)=/+2%—3,尸(%)=2%+2,则((1)=4.

又f(1)=0,所以/(%)在％=1处的切线方程为y=4x-4.

因为f(x)和g(x)的图像在*=1处的切线相同，"(x)=g瞥，

所以g，(l)=k=4.

⑵由⑴可知F(x)=%m)，

2

即F(x)=g(|%+2…%-3|.(x<1),

画出函数“X)的图像如图所示：

可知函数F(x)-m若存在2个零点时，TH的取值范围是{m|zn=0或m=4}.

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

函数的零点与方程根的关系

【解析】

本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单

调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.

本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单

调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.

【解答】

解：(1)已知/'(X)=/+2%-3,/'(x)=2%+2,则3(1)=4.

又/'(1)=0,所以/(x)在x=1处的切线方程为y=4%-4.

因为f(“)和g(x)的图像在X=1处的切线相同，g'(x)=处警，

所以g，(l)=上=4.

1/0)1(X<1),

(2)由(1)可知尸(%)=

.g(x)(x>1),

x2+2x-3|(x<1),

即F(K)=4lnx

(%>1).

x

画出函数“%)的图像如图所示:

可知函数F(%)-m若存在2个零点时-，m的取值范围是｛m|?n=0或?n=4].

22.

【答案】

解：(l)/'(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx,

xG(2,3)时，=xcosx<0,

「•函数/(约在(2,3)上是减函数.

又/⑵=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2

=&sin(2+3)+sin2>0,

rj•C/C•117Trj•7T

3sin3<3sm——=3sm—=3sin©-$

1212

、/V6-V2--

3ox—0n.75,

4

117T