2022届一轮复习人教A版第47讲平面向量的应用学案

【知识要点】一、向量在几何中的应用1、三角形法则、平行四边形法则2、向量的数乘（1）定义：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作.（2）向量的数乘结果还是一个向量.当时，与的方向相同，且；当时，与的方向相反，且.3、向量共线定理如果向量为非零的向量，那么向量与向量共线有且只有一个实数，使得.4、向量的平行和垂直(1)设=,=，则(竖乘相加).（2）设=,=，则（(竖乘相加等于零).设=,=，则||（斜乘相减等于零）（3）设=,=，为向量与的夹角，则5、距离（1）或;（2）设,，=.6、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.二、向量在物理中的应用：1、向量的加法与减法在力的分解及合成中的应用;2、向量在速度的分解及合成中的应用;3、向量的数量积在力所做的功中的应用;4、利用向量解决物理问题的步骤:

（1）问题转化,即把物理问题转化为数学问题;

（2）模型建立,即建立以向量为主体的数学模型;

（3）参数获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;

（4）问题答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.【方法讲评】题型一平面向量在几何中的应用使用情景平面几何涉及距离（线段长度）、夹角问题.解题步骤先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.【例1】如图，平行四边形中，点分别是边的中点，分别与交于两点，你能发现之间的关系吗？AABCDEFRT【点评】（1）利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.（2）首先要构造，，它是平面向量的基底.学科*网【反馈训练1】利用向量证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.题型二平面向量在物理中的应用使用情景力的分解及合成、速度的分解和合成、在力所做的功中的应用解题步骤（1）问题转化,即把物理问题转化为数学问题;（2）模型建立,即建立以向量为主体的数学模型;（3）参数获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;（4）问题答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.【例2】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两位有效数字）（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用于江水速度间的夹角表示，精确到度）AABCD【点评】（1）先找到江水速度、船速以及船实际航行的速度之间的关系，并利用向量来表示它们的关系.（2）向量是有大小，又有方向的量，它的大小的计算主要是通过解三角形来完成的.【反馈训练2】一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从某岸的处出发到河对岸，已知船的速度||=，水流的速度||=，当行驶航程最短时，所用的时间是多少？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第47讲：平面向量的应用参考答案【反馈训练1答案】证明见后面的解析.【反馈训练2答案】（分钟）【反馈训练2详细解