浅谈泛函分析控制学科的运用

研究生课程总结浅谈泛函分析在控制学科的运用姓名：班级：学号：一、写在前面：学生所学专业为控制科学与工程，开学初选课之际，结合个人兴趣和老师的意见，选了现代数学基础（《应用泛函分析》）作为其中一门数学学位课，另外也选修了《线性系统理论》和《非线性控制》这两门专业课。选课之际，同学们纷纷以泛函难学为由避之不及，但是数学作为科研和工程实践中必不可少的重要工具，我认为再硬的骨头也要啃下来。在半学期的接触和学习下，我渐渐地觉得泛函并没有想象中那么晦涩。一是因为难度大，没把握自学掌握，所以上课专心听讲，生怕漏掉什么，二是结合专业课程的学习，发现本专业中的理论和实践中泛函分析得到了很广泛的运用（最优解的逼近，非线性控制中输入输出稳定性的研究等），故在数学学习的过程中能够有所结合具体学科运用，反而觉得有趣。借着老师布置的报告作业，自己也梳理一下泛函与专业之间的联系，并通过查阅相关资料，对泛函能有更深刻的了解，希望在以后的学习当中能够运用好这个工具。本文主要从以下几点进行说明：结合个人所学和参考文献，谈谈泛函分析与控制理论的联系；结合第四章所学内积空间中的投影定理谈谈其在最优逼近的应用结合第二章所学度量空间的Banach压缩映像原理和不动点的概念简单谈谈在方程求解中的应用；二、泛函分析与控制：泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义：是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。控制科学与工程是一门研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。它是20世纪最重要的科学理论和成就之一，控制科学以控制论、信息论、系统论为基础，研究各领域内独立于具体对象的共性问题，即为了实现某些目标，应该如何描述与分析对象与环境信息，采取何种控制与决策行为。那泛函分析与控制专业的联系在哪？根据《控制论与科学方法论》中谈到，所谓的控制，便是研究确定事物发展的可能性空间，并通过一定的人为干预把可能性空间锁定或者缩小到期望的范围。如室内温度控制，室温的可能性空间在某个区间内，在各种因素作用下会在可能性空间中运动变化，而把温度控制在指定温度或指定温度范围内，就是通过人为干预，把室温变化的可能性空间缩小在指定范围内（如18°—22°），这边是控制的基本思想。控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是指对系统的控制。对系统的研究，主要有研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系，既是对系统进行分析和综合，以按照期望的性能和方式对系统进行控制。然而，不管对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型（如表征系统输入输出关系的传递函数、表征系统内部信息的状态空间描述等），对系统的主要属性进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。随着控制理论的发展，所用的数学工具也随着变化。可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。控制科学作为具体的工程科学，基本的研究对象是自然界的物理系统。所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述，以及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题，而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法，这种运动也只具有限多自由度，在电学理论和经典控制原理中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象，一般也只具有限多自由度。而如今现代控制理论，已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间同样具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为或其中的各种关系。泛函分析正为控制理论的进一步研究提供了有力的工具。首先要把有限维向量空间的概念，推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素间定义了距离的集合，称为“度量空间”。在度量空间中，才有可能定义点序列的收敛，并由此引出点集的某此拓扑概念，同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上向量间的标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上，相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论，这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。算子方程求解及线性算子的能解性研究，给各种代数方程和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对偶空间和伴随模型算子的研究，是算子理论的一个主要组成部分。在算子理论中，还要把矩阵特征值的概念，推广到一般线性算子的谱特性。事实上，泛函分析确实在控制领域得到了广泛的应用：包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。因为控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如我们在《线性系统理论》中学到的系统能控性和能观性之间的对偶关系，利用泛函中对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理，而这些定理的发现，大多也是数学结论直接演绎的结果。控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。传统的分析方法是实用的，但只限于某些特定的系统类型。例如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。而泛函分析所提供的分析方法，有可能对包括多输入多输出的线性时变系统、分布参数系统，以及某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更加一般的结论。所以，学习本课程要求理论联系实际，既要认真听课，同时完成大量的作业联系，掌握坚实的理论基础；又要结合专业体会理论对专业的指导作用，尽可能地把理论应用于解决实际问题。又如系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾向于构造能用计算机实现的某些算法。迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。三、内积空间中投影定理在最佳逼近中的应用在工程与科学实践中，常常遇到函数的近似计算问题，如果问题涉及的空间为内积空间，则函数的最佳逼近问题与投影定理密切相关，只要逼近子空间是完备的，则求最佳逼近的元素，就相当于求投影。如果在连续函数空间中，讨论的范数不由内积导出，如Ca,b中采用定义（点到集合的距离）设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点,称,为点x到M的距离,记为在赋范线性空间中极小化向量定理：设X是Hilbert空间，M∈X是一个凸闭集，则X中任何元素x在M上存在唯一最佳逼近元。投影定理：设X为内积空间，M是X的完备子空间，则∀x∈X，必在M上存在唯一的投影，即对每个x∈，∃x0∈M,z∈如在R3空间中寻找一个向量（x1,x2,x3），使得F(x1,x2,x3)=02π(et-(x1+x2t+xt2))dt达到最小。运用投影定理，令F(x1,x2,x3)=et-(x1+x2t+x3令M=span{1,t,t2},x=et,则M是X的完备子空间。有极小化向量定理可知，x在M上存在唯一最佳逼近元u，设et-u分别于M的基底1、t、teee三个方程求出三个未知数分别为：x1,x2,x3即为所求向量。四、Banach压缩映像原理和不动点在方程求解中的应用在工程中，许多问题常常归结为各种函数方程的求解问题，如代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程等。不动点理论和压缩映像原理为方程解的存在性、唯一性的讨论和迭代估算提供了有力的工具。不动点理论是关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、微分方程、函数方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状，这里x是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射，把每一点x移到点ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个影射之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。不动点结合压缩映像，可以分析解的唯一性，并由Banach压缩映像原理可以通过迭代的方法估算方程解。不动点和压缩映像定义：设X是度量空间，映射T：X→X，若x*ϵX满足Tx*=x*，则称x*是T的一个不动点，若存在aBanach压缩映像原理：设X为完备度量空间，T：X→X是压缩映像，则T在X上存在唯一的不动点。如方程f(x)=0的求解，令x=x-f(x)，构造算子：T：x→x-f(x)，则求解方程问题转化为求解算子T的不动点问题。如果能够找出一个压缩映像T，把方程求