几何法求函数最值初探

目录前言 -9-前言根据采用几何知识的求最值的相关分析研究，清晰知道相关知识，对知识的灵活运用。几种几何知识的求最值的方法进行总结和比较，以方便未来的学习提高。求最值问题是一个常见和重要的问题，也是日常生活，生产和科学研究中遇到的一个问题。对于某些功能，使用常规方法太复杂，但如果可以巧妙地转换，则可能难以通过使用几何知识来解决问题。1一元函数最值1.1一元函数最值的概念定义1.1设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。如果随便给一个数字，只要有一个是正数，如果可以满足时有，就可以称为函数为当几乎和接近时以为最值，用公式表示为或。若时，记作，称为右最值;若时，记作，称为左最值。单侧最值通常包括左右最值。定义1.2设函数在时有定义，为常数。若对于任意给定的正数(无论它怎么小)，总存在正数，使得当时，都有，就可以称为函数为当满足时以为最值。记做或。若我们把定义1.2中的改成()，则称为函数当取正值且无限增大(记作)时的最值，记作把定义1.2中的改成，则称为函数当取负值且绝对值无限增大(记作)时的最值，记作1.2函数最值的特点函数最值的特点在求函数最值中有很大的作用，下面给出当时的性质。定理1.1(独一特点)如果存在最值，这个最值一定是独一的，即唯一的。定理1.2(四则运算法则)若，，则1);2);3)();4)(为常数);5)。定理1.3(迫敛性)设在时有定义，且满足:1)对任意的满足时，有;2)，则。定理1.4设，，当时，(1)假设存在(或为无穷大量)，则=(或为无穷大量)。(2)假设有存在(或为无穷大量)，则=(或为无穷大量)。定理1.5函数都是时的无穷小，且满足，，则当存在时，也存在且等于，即=。定理1.6(柯西准则)设在时有定义。如果存在，则它的充要条件是:对于任意给出的数字，只要存在正数，让对任意一个，，就会1.3一元函数最值的运算方法通过上面介绍中提出了很多种关于一元函数最值的求解方法，本文在上述内容的基础上总结归纳了下面几种常见的最值求法。（1）用定义求一元函数最值不可小看定义的重要性在数学分析中，最值定义也不例外。如果能透彻理解最值定义，就会大大降低很多题目的难度。通过下面的举例来介绍一下用定义求函数最值的方法。例1.1用最值的定义求求解步骤对于任意给出的数字，在其中任意取出一个，在满足的时候，只要存在，因此这是利用定义求函数最值比较简单一些的。但在平时的练习或实际生活中，遇到的题目难度要比这个例子大，往往需要借助一些其它的处理方法，如放缩法和含绝对值不等式，至于如何解决要具体问题具体分析。利用定义求函数最值的方法适合于初学者，但是在平时的求最值过程中往往避免用定义来求，因为它的难度较大。（2）可以使用最值的四则运算性质求出函数最值若，.根据定理1.2我们能够很容易的计算出以下各种最值。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c为常数).以上特点在满足于时候也是可以运用此方法的。求函数最值的根本是最值的四则运算，通常也是求一些简单函数的和差积商的最值常用方法。要对最值的四则运算很熟悉是学好求解函数最值的前提条件。例1.2求.解说明在运用最值的四则运算的时候，首先要考虑适用条件。首先要保证各项最值都存在，假如遇到的是分式，分母最值则不能够为零。例如，因为最值不存在。（3）利用重要最值求函数最值下面两个是重要最值中最重要的:1)2).这两个最值不仅最常见而且最重要，表达式(1)为自变量的正弦值与自变量的比的最值值。而且最值过程渐渐向趋势发展，两者都不可缺少。关于表达式(2)是以以自变量的倒数为幂的，且底数还要加上1的等等都是我们应该注意的。对于两个重要最值我们在学习运用过程中要学会融会贯通，最好能够自己去总结概括。对于，，通常我们可以对其系统的进行推广为(A);(B);(C)若则(D)若则除了上面这些外，下面还有几个很重要的最值3)4)5)这三个重要最值是应用非常普遍的。总之，我们要学会在学习的过程中，提高自己的数学素质，从而总结出更普遍、更系统的结论。例1.3求的函数最值。解 对这几个重要最值的熟悉掌握需要我们努力学习与探索，在这里例题就不一一列举了。（4）采用洛比达法则也可以用来求解函数最值如果需要求“”或者“”这种样式的未定式最值洛比达法则是应用最普遍的方法。定理1.7设(或)，(或);当的空心邻域内能够满足，同时，假设，则.当中满足有限数的条件，另外也可以当作。例1.4求下列函数最值。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。上面这题连续用洛比达法则，最后用重要最值得出答案。(2)原式.(3)因为因此，原式=。(4)因为因此，原式=。（5）采用等价无穷小代换方法求解函数最值当时，下列函数都是无穷小的(即最值为0)，且为相互等价，即有;。注意如果上面任意一个函数自变量x转换时()，仍然可以满足上面的等价关系，举例说明:满足时，;通常可以采用“无穷小乘以有界量仍是无穷小量”来求解最值。一般无穷小代换的特点如下:如果函数都是时的无穷小，且，，则当存在时，也存在并且等于，也可以表示为=。例1.5求下列函数最值。(1)。(2).解(1)当时，，，则原式=。(2)这是“”型，我们就利用无穷小代换及罗比达法则来求其最值。当时，有，所以，原式。1.4用构造法求函数最值构造法是数学研究方法中很普通的一种方法，在求函数最值中经常用到。1.4.1构造矩形求函数最值在研究函数有关内容时，有这样的公式，这个和勾股定理比较相似。在矩形中就可以用到这个公式，所以可以构造矩形。。例1.6：已知，，求的最小值。分析：这中间有三个未知量，取值范围没有明确，这里面有这个特殊编量，这可以涉及到均值不等式，但直接运用无法求解。这个题目，假设构造一个正方形就比较容易的求解。解：且构造一个正方形，让两条邻边的一条长度分别为，另外一条是其大致图像如下：由上图可知，，；由图上观察和两点之间直线最短可知：（长度）即当且仅当时取等，最小值为。求函数最值除了用以上方法外，还可以用三维图形进行解题。1.4.2构造矩形求函数最值例1.7：已知均为锐角且，求的最小值。分析：三角函数计算一般比较繁琐，这个题目把三角函数转换成长度来进行计算，而于是构造立体图形。解：构造一个长方体，设它的长、宽、高分别为，如图：由图易知，，；==（当且仅当时取等）即的最小值为。

2多元函数最值2.1多元函数最值的概念定义2.1设函数在以为聚点的集合上有定义，若对任何的存在，使得只要及[其中为和二点间的距离，则，我们就说重点注意，遇到时，就会解得不会产生理解错误的前提条件下，通常可以用下面简单地方式来表示当分别用坐标表示时，也可以这样表示说明二元函数最值的另一种叫法叫做二重最值。它与一元函数最值有很大不同，，一元函数与二元函数最值的主要区别是二元函数最值中自变量趋于点的方向的任意性及方式的多样性，也是导致二元函数最值、连续、偏导数、全微分概念间关系区别于一元函数相关概念间关系的根本所在。2.2多元函数最值的运算方法和一元函数的常见求法有很多类似，多元函数也有类似的求法，其中包括部分解法在文献中被提及到。在此以二元函数为例简单阐述一下.（1）利用定义求最值例2.1求.解因为，所以于随便给出，满足，遇到假设因此（2）运用函数的连续性求最值定义2.2(二元函数的不间断性)若满足定义存在点集上的二元函数，(它可能是的聚点，也可能是的孤立点)。随便给出的正数，一定会有与之对于的正数，假设满足因此，就把称作关于集合D在点连续。在不会出现误解的情况下，也称在点连续.例2.2求.求解由于在是不间断的，因此（3）运用两边夹定理求最值例2.3求.解因为，而，所以.（4）利用重要最值求最值例2.4求.解，而，所以，原式.（5）利用有理化的方法求最值例2.5求求解让分子分母同时乘以，便得出（6）运用无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小求最值例2.6求解因为，所以，原式

3求解函数最值的容易出现错误的地方3.1洛比达法则的运用一般常用的、有效的求最值的方法是洛比达法则，举例说明用来求解“”、“”、“”、“”形式等其他各式各样的最值。洛比达法则通常能求解出很多函数最值，但不是所有的函数最值都能应用洛必达法则，不是对任何函数在求最值中都适用。例3.1求.解释假设此题采用洛比达法则，因此，但当时，的取值不确定，所以就得出此最值不存在，而原来最值却是存在的。正确做法如下:对二元函数求最值时洛比达法则也是不能随便运用的，但对于二元函数我们有下列类似于洛比达法则的定理.定理3.1若二元函数满足:(i)为有限点;(ii);(iii)满足点的某空心邻域内可微，而且和最多有一个为零;(iv)，使得(当条件(ii)换做=时结论依旧可以使用).例3.2求.解由定理3.1可知3.2不同的函数最值的逼近方式通常情况下一元函数，是最值存在的充要条件，和都是可以应用的。但是如果是对二元函数来说要复杂得多，换句话说假如动点通过平行轴或通过平行于轴两条直线的方式逐渐趋于定点时有最值并且相等，也可以用以下方式表示:时，也不能保证。就算是动点以无穷多种方式趋近于定点时有最值并且相等，到底有没有最值是不能保证的。因为动点在平面区域上是可以任意的趋于定点的方式。下面以例题加以说明.例3.3通过求解来证明二元函数在原点没有最值.求解步骤假设动点是随着直线(为常数)趋于原点时，因此.通过上式便可以解得，最值值是和直线的改变紧密相连的;因此通过定义可知，此函数在原点不存在最值.3.3区分二元函数最值与累次最值定义3.2假设是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义，任意对每一个会有最值因为此最值一般与有关，所以用如下来表示而且进一步存在最值则称此最值为二元函数先对后对的累次最值，并记作.或可称为二元函数先对后对的累次最值，简记作累次最值与二重最值是有区别的，它们的存在性没有必然的因果关系。通过下面的两个例子还解释这一点。例3.4若，分别求出关于原点的二重最值与累次最值.解类似于例3.3的解释，满足时没有二重最值。但当时有从而有同理可得因此同时存在并且相等的两个累次最值.例3.5若分别求关于原点的二重最值与累次最值.求解步骤以下是关于原点的两个累次最值，是由于，因此没有累次最值.假设存在沿斜率不同的直线时，所得最值也不同是很好验证的，因此该函数没有二重最值.但是累次最值与二重最值之间可能存在着一些特殊的因果关系.推论3.1若累次最值，和二重最值都存在，则三者相等.推论3.2若累次最值与存在最值但是最值不相等，因此二重最值肯定没有.

4结论关于函数的最值，解决几何知识问题的背景是函数或者它的转换是不是有相关的几何含义。所以，搜索几何意义是解决几何知识问题的重要的问题。根据挖掘问题的几何含义和构建相应的几何模型，将函数最小值的问题转化为几何问题，找到一个简单的解决方案。对于大多数最值问题，函数相对简单，经过简单的转换，可以获得几何含义，这就要求我们观察和学习几何知识，从而可以快速知道函数的几何含义。相比之下，对于更复杂的功能，我们应该有进取的精神，经过仔细的分析结构，全面挖掘的潜在几何意义的功能，从而解决问题，同时培养联想和想像力。虽然可以使用几何知识来解决最小的功能，但它只是一个最小的功能类。但是使用这种方法可以简单方便地解决问题。它还可以培养几何可视化的能力，增加思维的主动性和灵活性，提高解决问题的能力。

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