高等数学B（下）：ch7-3 三重积分的计算

二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［y－型］［x－型］（在积分中注意使用对称性）

ch7-2复习二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）(OD)

(O

D)

(OD)

第三节三重积分的计算一、三重积分的定义二、利用直角坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分

第七章

定义.

设存在,称为体积元素,

若对

作任意分割:任意取点则称此极限为函数在

上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作一、三重积分的定义回顾二、利用直角坐标系计算三重积分如图，1、坐标面投影法“穿针法”这种坐标面投影法.(物理解释)得若由直角坐标系中将三重积分化为三次积分．

yz

型空间区域

zx

型空间区域说明:

①具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择

zx

型空间区域

xy

型空间区域yz

型空间区域坐标面投影法②交换积分次序归纳(另：作业P40二4)(书P161题4)解故

：2、坐标轴投影法(截面法)坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:即

f(x,y,z)

C()不要写成Dxy!回顾别漏!回顾别漏!解原式１)积分区域关于坐标面的对称性；２)被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．3、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：若

关于xoy面对称，f(x,y,z)C()，则类似考虑其它情况.注：若域

关于xoy

面对称,则在被积函数中要将x、y看作常量,仅仅考虑关于z

的奇偶情况)如：书P160习题七1(4)解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,

解截面法.(作业P45二1

)38

xy

型空间区域坐标面投影法小结坐标轴投影法(截面法)

z

型空间区域(x

型区域)思考题1.选择题:DI解II解：坐标面投影法另:书P162.4x+y=1z=x+yz=xz=y投到yoz面投到xoz面作业(截面法)P40x+y=1z=x+yz=xz=yzzx+y=z解如图,将投影到平面得

,先对积分，上二重积分,再求课后练习

xy

型空间区域坐标面投影法复习坐标轴投影法

z

型空间区域

x

型区域三、利用柱面坐标计算三重积分规定：(也可取负值)柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；(半)平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为进行积分计算解知交线为就称为点M

的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面圆锥面半平面四、利用球面坐标计算三重积分其柱面坐标为规定：球面坐标的坐标面

Cr=常数:

=常数:S球面S半平面P动点M(r,,

)M

yz

x0

P

=常数:圆锥面C规定：如图所示,在球面坐标系中体积元素为？见本书P146r

drd

xz

y0

d

rd

元素区域由六个坐标面围成：rsin

d

球面坐标下的体积元素.圆锥面

及

+d

；

半径为r及r+dr的球面；半平面

及

+d

r2sin

drd

d

dVdV=因此有球面坐标系进行积分计算=中体积元素为若是包围原点在内的闭曲面，其球面方程为注：例2.设

由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标改：抛物面能否用球坐标？例3

设f(x,y,z)连续，则求的柱坐标形式与球坐标形式.不同坐标系下转换还如：作业P45一4

思考：作业P45一.5

40三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）五、小结（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标设f(t)在[0,1]上连续，求证:思考题(2013年4月21期中考)解所围成的立体如图，注意：用两体积差,

不能直接用柱面坐标！所围成立体的投影区域如图，课后练习题五.计算其中解:利用对称性六.七.解注：练习题答案质点有质量但不存在体积与形状的点即不考虑形状质平面有质量但不存在体积的平面即不考虑厚度(物理解释)“穿针法”ABC垂直压缩垂直压缩(质平面上)单位点(质点)的质量