高等数学B（下）：ch9-4幂级数

任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛复习一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结第四节

幂级数

第九章

一、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:

3.和函数:注:

和函数s(x)的定义域就是级数的收敛域K.3.和函数:注:

和函数s(x)的定义域就是级数的收敛域K.若记函数项级数的部分和为余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点

x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.则在收敛域K上有解由比值审敛法原级数绝对收敛.原级数发散.原级数发散.(条件)收敛;发散;原级数绝对收敛.二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:称为x的幂级数,收敛几何说明发散发散收敛发散说明：

中心的区间.的收敛域是以

为原点证明收敛数列具有全局有界性即级数绝对收敛(2)(反证法)证明由(1)结论思考与练习1.

若处收敛

,则该级数在x=2处

A.

发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定.2.

若处收敛

,则该级数在x=2处

A.

发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定.CD3.

若处发散

,则该级数在x=2处

A.

发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定.A推论收敛区域发散区域发散区域0定义:

正数R称为幂级数的收敛半径.±R表示幂级数收敛与发散的临界点.>>>思考题①若在

x0

处收敛则R思考题②在x0

处发散若则R收敛区域发散区域发散区域0±R表示幂级数收敛与发散的临界点.称为幂级数的收敛区间，收敛域

K

=

收敛区间

+

收敛的端点可能是规定思考与练习绝对收敛,敛散性不能确定;发散.收敛几何说明问题如何求幂级数的收敛半径?计算收敛半径R要求所有的注：(即不能缺项!)(证明略详见书P252)+1③若在x0处条件收敛则思考题①若在

x0

处收敛则②在x0

处发散若则④若处条件收敛

,则=1⑤若处条件收敛

,则=2⑥则③若在x0处条件收敛则为条件收敛,发散,在x=|x0|处发散则.例2

求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛域为(0,1].解例3

求幂级数的收敛域.即与例2(4)相同发散,收敛,故原级数的收敛域为(0,1].法二：换元:令

t

=

2x

1化为标准型求收敛半径.法三：直接用比值法求出收敛区间.不能直接应用上述定理,解缺少偶次幂的项比值审敛法求收敛半径.故由非标准型幂级数则必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为级数收敛,求幂级数收敛域的方法1)

对幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,写出收敛域.2)

对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)一般可化为标准型再求收敛半径,(恒等变形或换元)也可直接用比值法或根值法求出收敛区间.再讨论端点的收敛性,写出收敛域.三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中柯西乘积(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:说明:两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.*(收敛半径不变)(收敛半径不变)说明:

①收敛到哪里，连续到哪里.即在收敛域内和函数是连续的.

②在收敛区间内可逐项求积、逐项求导.a.利用级数和的定义求和:(直接法;拆项法;递推法)b.阿贝尔法(构造幂级数法):步骤：①构造幂级数②利用逐项积分或

逐项求导③转化到几何级数④求和3.求数项级数的和收敛区间(注:∵级数在x=1(内点)处是收敛的,∴s(x)在x=1处连续)解收敛区间(-1,1),

(类同作业P883(2))4.求幂级数的和函数s(x)例1.

求级数的和函数解:

易求出R=1,K=[-1,1)在收敛区间内成立∵左端点x=-1为收敛点,∴在x=-1处右连续(另解见书P256例4(2))例2

求幂级数的和函数非标准型解:

①先求收敛域K②级数(绝对)收敛,级数发散,级数也发散∴原级数的收敛域为(书P256例5)常用已知和函数的幂级数1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径(用系数模比(根)值法),再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时不能直接用系数模比(根)值法，2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.小结但可用比(根)值法，解2.幂级数20110703三2幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？解:不一定.思考题:例故它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,练习题练习题答案

(即作业P86

四1)

(即作业P88