高等数学B（下）：ch9-7 Fourier级数- 9-8 一般周期函数的傅氏级数

一、问题的提出二、三角级数三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数四、小结

第七节傅里叶(Fourier)级数

第九章

前面两节我们讲了幂级数，给出了它的收敛半径和收敛域的求法，并讨论了函数展开为幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、间接展开法。本节讨论一般项是三角函数的函数项级数--------三角级数，重点讨论如何把函数展开为三角级数的问题，它的重要应用：①对周期信号进行频谱分析一、问题的提出②学习积分变换的基础③求出某些数项级数的和

正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电路电流分析中常遇到正弦型函数但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动如：矩形波(开关电路中电子流动模型)(周期为2∏)

如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数组成的级数以开关电路中矩形波为例问题：对于一般的周期为Ｔ的函数F(t)，能否用一系列以T为周期的正弦函数组成的函数项级数来表示？1项2项3项4项5项无穷项上例说明，可以将以T

为周期的函数可化成一系列不同频率的正弦波叠加。

(注：幂级数，点逼近；傅氏级数，整体逼近.)幂级数在点0处逼近42246420246上例说明，可以将以T

为周期的函数可化成一系列不同频率的正弦波叠加。

物理意义：把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加基本思想：周期为Ｔ的一般函数F(t)可以由周期为Ｔ的正弦函数迭加而成，即结论：简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数

为角频率,

为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.二、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数2.三角函数系的正交性三角函数系φ在[-π,π]上两两正交：是指φ中任何两个不同函数的乘积在[-π,π]上的积分为零三角函数系φ(两两正交)事实上,在[-π,π]上正交三角函数系φ(两两正交)事实上,在[-π,π]上正交同理可证:上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在三角函数系φ在[-π,π]上正交三角函数系的正交性三角函数系结论三、函数展开成傅里叶级数问题:ⅰ若能展开,是什么?ⅱ展开的条件是什么?1.傅里叶系数即f(x)能展开为傅立叶级数且假设其可逐项求积，其中f(x+2π)=f(x)傅里叶系数3.傅里叶级数2.

f(x)的n阶傅里叶多项式傅里叶系数问题:4.定理

(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2

的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,(即图形不作无限次振动)则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.满足狄利克雷充分条件吗?解和函数图象为t展开步骤①验证

f(x)满足Dirichlet

条件，并确定f(x)的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断②根据公式计算Fourier系数(主要工作)③写出Fourier级数展开式，并注明展开式的成立范围注意：求Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某些an,

bn

需要单独计算，容易忽略而导致错误(可利用函数的奇偶性可简化Fourier系数计算)说明:如果函数只在区间上有定义,并5.非周期函数的周期性延拓且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.作法:在外补充函数f(x)的定义,使它拓广为周期为2∏的周期函数F(x)(或延拓时端点可先不参与)若端点为不连续点,则5.非周期函数的周期性延拓作法:∵F(x)在[-∏,∏)上连续∴F(x)的Fourier级数在[-π,π)上收敛于F(x)

解①把f(x)拓广为R上的周期为2π的函数F(x)∵F(x)处处连续

∴F(x)的Fourier级数在[-π,π]上收敛于f(x).

②根据公式计算Fourier系数F(x)的傅里叶级数

利用傅氏展开式求几个特殊级数的和(有限数)四、小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；4.非周期函数的傅氏展开式；5.傅氏级数的意义——整体逼近播放课后习题答案傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明思考、讨论题：2.周期为2L的奇(偶)函数f(x)的傅氏展开式有何特征?3.怎样把[-L,L]上的函数f(x)展开成傅氏级数?4.怎样把[0,L]上的函数f(x)展开成正弦级数和余弦级数?1.怎样把以2L为周期的函数f(x)展开成傅氏级数?5.将f(x)作周期延拓、奇(偶)延拓,求傅氏展开式时,为何不必作出延拓函数F(x)?为何通常仅在f(x)的定义区间上判定傅氏级数的收敛性?6.简述傅氏级数展开较之幂级数展开的优劣?一、以2l为周期的傅氏级数二、正弦级数与余弦级数三、小结第八节一般周期函数的傅氏级数

第九章

一、以2l

为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开变量回代

f(x)的傅氏展开式(x为连续点)(z为连续点)记设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(x为连续点)定理.(x为间断点)=

f(x)其中若

f(x)为奇(偶)函数,则…（在每点都收敛）说明:其中(在f(x)的连续点处)如果

f(x)

为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:

无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果

f(x)为奇函数,则有二、奇函数和偶函数的傅里叶级数2、函数展开成正弦级数或余弦级数☆非周期函数的周期性延拓则有如下两种情况奇延拓:

(奇函数)F(x)(端点的收敛情况另外判别)偶延拓:

(偶函数)F(x)(端点的收敛情况另外判别)例.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.不是(-2,2)解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有(2)将作偶周期延拓,则有说明:

在[0,2]上展开周期为4的Fourier级数不唯一(2)将

作偶周期延拓,(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k,k=±1,±2,…

处级数收敛于何值?当函数定义在任意有限区间上时,令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:记(对称区间)例3.

将函数展成傅里叶级数.解:令记将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定则三、小结以2l为周期的傅氏系数;

求傅氏展开式的步骤;1.验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);2.求出傅氏系数;3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;

需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;课后