工程制图D：第1章 点、直线和平面

第1章点、直线和平面第1章点、直线和平面的投影1.1

投影法的基本知识1.2

点的投影1.3

直线的投影1.4

平面的投影1.5投影定理及投影作图方法画法几何学所要研究和解决的问题

如何将占有长宽高三个维度空间的物体的形状、大小、位置等这些空间形式，准确无误地表达在纸平面上？三维二维正投影法

如何根据这种纸平面上的表达，准确无误地确定和解决物体的空间形式？投影法投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。物体投影面aABbCcDd投射线S光源当光源设定为一点（S）时，其投影过程如图所示。这里，自光源S向物体上每一点（如A、B、C、D各点）所引出的直线，称为投射线。投射线与投影面的交点（如a、b、c、d各点），就是物体上该点在投影面上的投影。这种设定光源为一点的投影法，称为中心投影法。

投影中心投影法立体感强，度量性差投影法当光源设定于无穷远处时，所有的投射线将呈互相平行的状态。这时的投影法即称为平行投影法它又可分为斜投影和正投影两种。当投射线与投影面呈某一角度倾斜时，其投影称斜投影。投影面投射线物体斜投影立体感强，度量性差投影法正投影的成影将与物体之间存在着某种等价关系，或者说，形体与其投影之间存在着某种定量关系。这是中心投影法以及斜投影所不具备的一个可贵的性质，使它在工程技术上得到广泛的应用。画法几何学所采用的也主要是这种平行投影的正投影法。

当投射线垂直于投影面时，其投影称为正投影。投影面物体投射线投影正投影立体感差，度量性好当光源设定于无穷远处时，所有的投射线将呈互相平行的状态。这时的投影法即称为平行投影法它又可分为斜投影和正投影两种。当投射线与投影面呈某一角度倾斜时，其投影称斜投影。多面正投影单面正投影的不足

Pb

●●APB3●B2●B1●a

●过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。平面的单面投影不能确定平面的空间位置和真实形状。B1C1A1ACBb´a´c´V多面正投影

历史上最终解决这一难题的，是法国的科学家GaspardMonge（1746—1818）。他成功地采用了多面正投影的方法，解决了这一问题并创立了画法几何学。为人类的工业化进程，特别是工程设计及其图样制作提供了一种切实有效的科学方法。立体的单面投影也不能确定立体的空间位置和真实形状。单面正投影的不足多面正投影三面投影图正面投影水平投影侧面投影XZWYHV点在二面投影体系V/H中的投影H—水平投影面且投影面V垂直于投影面H,并引进空间坐标系O-XYZ。

1.二面投影体系的建立HVOXZYV—正立投影面点在二面投影体系V/H中的投影a

—水平投影2.点的二面投影HVOXZYa●a

●

A●a´—正面投影则体系空间点A（x,y,z)，有A（x,y,z)

A(a,a′)注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。xa1.二面投影体系的建立点在二面投影体系V/H中的投影3.体系打开摊平4.投影图生成●●●XYZOVHAaa

xa向下翻不动VHXx●●Zaa

aY

OVHXoa´a2.点的二面投影1.二面投影体系的建立点在二面投影体系V/H中的投影5.点的二面投影特性点的投影的连线垂直于投影轴，即：aa´

ox点到投影面的距离等于它在相邻投影面的投影到投影轴的距离，即：●●●OVHAaa

xaVHXoa´azyxaxo=xAa´=axa=yAa=axa´=z3.体系打开摊平4.投影图生成2.点的二面投影1.二面投影体系的建立点在三面投影体系V/H/W中的投影

W—侧立投影面投影面W同时垂直V、H,并引进空间坐标系O-XYZ;1.三面投影体系的建立HWVOXZYV—正立投影面H—水平投影面点在三面投影体系V/H/W中的投影WHVOXZYa

●a●a

●

A●a´—正面投影a—水平投影2.点的三面投影a´´—侧面投影1.三面投影体系的建立点在三面投影体系V/H/W中的投影3.体系打开摊平●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动WVHaa

a

aa●x●●zZayayXY

YOoa´a´´aXZYHYW4.投影图生成可分解为三个二面体系点在三面投影体系V/H/W中的投影点的投影的连线垂直于投影轴，即：aa´

oX

a´a´´

oZ5.点的三面投影特性点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，即：

Aa´´=aya=aza´=x

Aa´=aza´´=axa=y

Aa=aya´´=axa´=z●●●●OVHWAaa

a

xaazayoa´a´´aXZYHYWxyz点的投影例题例1作出点A（20，15，20）的投影。ZYWXYHo201520●a

●a●a´´如何由点的投影想象出点的坐标?点的投影例题例2已知A、B二点的正面及水平投影，求其侧面投影。b

a

a

b

abxzYW

YHokk

k

K是V面上的点45度辅助线

点的投影例题例3判断两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x

坐标大的在左

▲y

坐标大的在前▲z

坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo点的投影例题()a

cc

重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点点的投影例题例4已知点A（25，15，20）的三面投影，点B在A点之左15、A之前15、A之上12，试作出点B的三面投影。151215●a´´●a●b●a

●b

●b´´无轴投影图直线的投影ABVWH

直线的投影可由该线的二点或一点已知一方向作出；b

b●●aa

a

b

●●●●

直线有特殊位置直线（平行线、垂直线）和一般位置直线之分；

直线对投影面H、V、W的倾角分别为

、

、

。ababab直线的投影一般情况下仍为直线；直线的投影特性⒈直线对一个投影面的投影特性

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影积聚为一点

积聚性

垂直必积聚直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB真实性

平行有等标直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=AB.cos

类似性倾斜定类似●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●直线的投影特性2.直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线

平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。1.直线对一个投影面的投影特性投影面平行线的投影1.水平线的投影

1）水平投影显实长；

2）其他两投影与相应的轴线平行；

3）水平投影现倾角。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″实长平行有等标等标投影投影面平行线的投影2.正平线的投影1）正面投影显实长；2）其他两投影与相应的轴线平行；3）正面投影现倾角。实长

等标投影1.水平线的投影平行有等标投影面平行线的投影3.侧平线的投影1）侧面投影显实长；2）其他两投影与相应的轴线平行；3）側面投影现倾角。2.正平线的投影1.水平线的投影平行有等标投影面垂直线的投影1.铅垂线的投影

1）水平投影积聚成点；2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。垂直必积聚积聚成点等标投影投影面垂直线的投影2.正垂线的投影

2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。

1）正面投影积聚成点；垂直必积聚1.铅垂线的投影投影面垂直线的投影3.侧垂线的投影

1）侧面投影积聚成点；

2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。垂直必积聚2.正垂线的投影1.铅垂线的投影投影面特殊位置直线投影面平行线的投影平行有等标水平线正平线侧平线投影面垂直线的投影垂直必积聚铅垂线正垂线侧垂线一般位置直线的投影1）各投影均不与轴线平行，呈类似状；

2）投影图上没有反映真实倾角的投影存在；3）各投影均不反映实长。倾斜定类似平面的投影平面可由不在一直线上的三点、一点一线、二平行线、相交两线、及三角形乃至各种平面图形给定；平面与投影面的位置关系，仍然有特殊和一般之分。abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

平面的投影特性垂直投影积聚成线积聚性倾斜投影成类似形类似性⒈平面对一个投影面的投影特性平行投影反映实形

真实性平面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面⒈平面对一个投影面的投影特性投影面平行面的投影1.水平面的投影

1）水平投影反映实形；

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。平行有等标实形等标投影投影面平行面的投影2.正平面的投影实形等标投影

1）正面投影反映实形；

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。平行有等标1.水平面的投影投影面平行面的投影3.侧平面的投影

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。

1）侧面投影反映实形；平行有等标2.正平面的投影1.水平面的投影投影面垂直面的投影1.铅垂面的投影垂直必积聚

1）水平投影积聚成线；

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。积聚成线类似形类似形投影面垂直面的投影

1）正面投影积聚成线；

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。2.正垂面的投影积聚成线类似形类似形垂直必积聚1.铅垂面的投影投影面垂直面的投影

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。

1）侧面投影积聚成线；3.侧垂面的投影垂直必积聚2.正垂面的投影1.铅垂面的投影例题c

c

为什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。一般位置投影面的投影

各个投影的图形之间以及与空间平面图形之间，均保持着一种既不全等、又不相似的类似形状。倾斜定类似直线与平面投影位置的判断要点当直线或平面垂直于投影面时，必定有积聚投影存在，也就是说，存在积聚性；当直线或平面平行于投影面时，必定有等标投影存在，也就是说，反映真实性；否则，各投影之间均出现类似形状，即类似性。当垂直时，直线的投影将积聚成点，平面则积聚成线；当平行时，直线的投影将出现真长实角，平面的投影将出现实角真形。当处于一般位置时，空间直线的线段长与其投影长之间存在着余弦（cos）的三角函数关系。例题例1.已知直线AB的正面投影、水平投影，求其侧面投影。b

a

aba

b

例题c

例2.已知平面ABC的正面投影、水平投影，求其侧面投影。b

a

c

abca

b

做题注意事项1.本习题所用的解题图线全部由铅笔画出，图线的线型必须按照国家标准规定的粗细以及断续绘制。不得自行设计线型；

2.建议粗实线的宽度采用0.6mm并使用B的铅笔绘制；细实线的宽度采用0.15mm并使用H的铅笔绘制：

3.文字及代符号采用HB铅笔书写；

4.点画线是种对称线，专门用于表达图形具有对称的几何特性。绘制时应注意，点画线的点是1mm的短画，而画长约为12mm，其间的间隔也取1mm长，并应保持各段长度的一致。

5.虚线用于表达不可见的几何线段，绘制时间隔也取1mm，线段可取4mm长，并应保持各段长度的一致。

6.请记住：画圆必须先作出中心线，以便定位该圆形的圆心；具有对称性的图形必须依靠点画线来说明。注意：画圆先画中心线要求做到：作图准确，线型规范，字体端正，图面整洁。常用线型规定GB/T17450-1998技术制图图线

建议粗实线宽度d采用0.6mm；细实线宽度采用0.15mm。点画线画长取12mm左右；点为短画，长约1mm，间隔亦约为1mm；虚线画长取4mm左右，间隔约为1mm。线型使用示例从属问题一.线上取点定理（线上点的投影）线上点的投影必在线的各同面投影上；点分割线段之比在各投影中保留。Xob´baa´k´Va´b´BAabHKk´kk从属问题例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在从属问题例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：解法二：●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●（应用第三投影）（应用定比定理）从属问题二.属于平面上的点和线

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

面上取点的方法：首先面上取线●●MN

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。位于平面上的直线应满足的条件：AB●M

若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

从属问题abcb

c

a

例3：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

d

d从属问题例4：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cb

唯一解！有多少解？从属问题在给定平面上取投影面的平行线

根据面上取点取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。

从属问题例5：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

d

d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●②●abca

b

k

c

k●从属问题bckada

c

b

c

k

例6：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD

的水平投影。解法二：cada

d

b

c

解法一：b平行问题一.两线平行定理（线与线平行）平行二线的各同面投影均平行；平行二线的线段长之比在各投影中保留。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

平行问题例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。a

b

c

d

①abcdc

a

b

d

平行问题例2：判断图中两条直线是否平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

平行问题二.线与面平行

线面平行作图法：若空间有一直线与某一平面平行，则该平面必需包含有一条与空间直线平行的直线；反之，若平面上有一条与空间直线平行