2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学九年级（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是

(

)A.ax2+bx+c=0 B.(x−1)2=x2+3x+22.一元二次方程3x2+1=6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为

A.3，1 B.−3，−1 C.3，−1 D.−3.用配方法解方程x2−6xA.(x−3)2=1 B.4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，①CE=DE；②BE=OE；③CB

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个5.如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠EA.40° B.50° C.60°6.如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C=120°，AB=2，CD=4A.25 B.27 C.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.方程x2=1的解为_____8.已知⊙O的半径为5，点P到O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是___________．9.某店4月份利润为16万元，要使6月份利润达到25万元，则平均月增长率是___________．10.关于x的一元二次方程(m−1)x2+x11.在平面直角坐标系中，以点(3,4)为圆心，3为半径的圆必定与x轴12.用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分_________．13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC14.如图，PA，PC是⊙O的两条切线，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=5215.在半径为r的圆中，长度为2r的弦所对的圆周角的度数是________．16.如图，已知半圆O的直径AB=9，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到AC⌢，交直径AB于点D，若D在半径OA上，且为直径的三等分点，则三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)解下列方程：(1(2(3(4)18.(本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x2(1)若该方程有两个实数根，求(2)若该方程的两个实数根为x1,x219.(本小题8.0分)

某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，当售价为每件36元时，每月可售出160件商品．因某些原因商家需尽快将这批商品售出，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，则降价多少元时，商品每月的利润可达到1800元？20.(本小题8.0分)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长8米)的空地上建长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成，如图，设AB=

21.(本小题8.0分)已知：如图，在⊙O中，AB=CD，A(1)求证：(2)求证：A22.(本小题8.0分)已知直线l与⊙O相切于点C，，AB是⊙O的直径，A(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠D23.(本小题8.0分)用一个直角边长分别为3和4的直角▵ABC纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在▵

24.(本小题8.0分)如图，在▵ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作(1)求证：DE是⊙(2)若AED25.(本小题8.0分)探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺(没有刻度)和圆规过点P作⊙小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．作法一：①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C③作直线PC作法二：①作直径PA的四等分点B、C②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点④作直线PE以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．

26.(本小题8.0分)(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB=a，P为⊙A上一动点，连接PA,PB，易得P(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4，E为AD边中点，F为②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA,PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt▵APC和等腰(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC=60∘，P为弧BC上任意一点，CD⊥

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析即可，一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．【详解】A．axB. (x−C.x2D. 2故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握定义是解题的关键．2.【答案】B

【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程3x2+∴化为一般式为：−∴二次项系数和常数项分别为：−3，−故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．3.【答案】A

【解析】【分析】根据配方法可直接进行排除选项．【详解】由配方法解方程x2−6故选A．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．4.【答案】B

【解析】【分析】已知直径AB垂直于弦C【详解】解：∵AB是⊙O∴CE=DE∴∠CA由于没有条件能够证明BE=O所以一定正确的结论是①③故选：B．【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键．5.【答案】B

【解析】【详解】如图所示，连接OC∵∠BOC与∴∠又∵∠∴∠又∵CE为圆∴OC⊥∴∠故选：B．6.【答案】D

【解析】【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明∠AOB+∠COD=90°，在⊙O上点【详解】解：如图，连接OB，O∵∠BOC=∴∠∴∠在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE=AB，过点E作ET⊥CD∴∠∴∠∵O∴∠OC∴∠∴∠∴∠∴∠∵D∴DT=∴C∴C作OF⊥CE，则∴O故选：D．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解答的关键是结合图形找到相应的角或边之间的关系．7.【答案】x=【解析】【分析】利用直接开平方法解答即可．【详解】解：方程x2=1故答案为：x=【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握解答的方法是关键．8.【答案】点P在⊙O内【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断即可；【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到O的距离为∴点P到圆心O的距离小于圆半径，∴点P在⊙O故答案为：点P在⊙O【点睛】本题主要考查点与圆的

位置关系，掌握相关知识是解题的关键．9.【答案】25%【解析】【分析】设平均月增长率为x，根据4月份的利润为16万元，要使6月份的利润达到25万元，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设平均月增长率为x，由题意得：161解得：x=0.25=25%即平均月增长率是25%故答案为：25%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】−1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−1∴x=0满足关于x的一元二次方程(∴m2−解得：m=故答案是

：−1【点睛】考查了一元二次方程的定义及解的概念，解题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不为零．11.【答案】相离

【解析】【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．【详解】解：∵点(3,4)到∴以点(3,4)为圆心，故答案为：相离．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．12.【答案】这条弦及其所对的两条弧

【解析】【分析】根据垂径定理的内容解答即可．【详解】解：“垂径定理”的

内容为：垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的两条弧．故答案为：这条弦及其所对的两条弧．【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．13.【答案】3

【解析】【分析】作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD【详解】解：作直径CD，连接B∵C∴∠∵∠∴C∴⊙O的半径为故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°14.【答案】76°#【解析】【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理求出∠AOC【详解】解：连接OA、O∵∠∴∠∵PA，PC∴∠∴∠故答案为：76°【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15.【答案】45∘或135【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理求出∠A【详解】解：如图所示，∵O∴O∴∠∴∠∵A、C、B、D∴∠∴∠故答案为：45∘或135【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的逆定理，求出∠A16.【答案】3【解析】【分析】连接CD，CB，CO，过点C作C【详解】解：如图，连接CD，CB，∵∠∴B∴C∵C∴D∵AB=9，∴OA=92∴O∴O∴A在Rt△C∴A故答案为：3【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．17.【答案】(1)x(2)x1(3)x1(4)x

【解析】【分析】(1(2(3(4【小问1详解】解：x2x2=∴x1=2【小问2详解】解：x2x(则x=0或∴x1=【小问3详解】解：2x2x则2x+1∴x1=【小问4详解】解：(x(xx−3=∴x1=【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】(1(

【解析】【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的情况得Δ=(2)根据根与系数的关系，可得x1+x【小问1详解】∵该方程有两个实数根，∴Δ解得m≥【小问2详解】∵x1+又∵(∴−整理，得m2解得m1=2∵m∴m【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．19.【答案】10元

【解析】【分析】设降价x元时商品每月的利润可达到1800元，由题意：当售价为每件36元时，每月可售出160件商品．降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设降价x元时商品每月的利润可达到1800元，由题意得：(36解得：x=10或x=∴x答：降价10元时商品每月的利润可达到1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】9

【解析】【详解】设AB=x米，则B【解答】解：设AB=x由题意得：x20解得：x=1或当x=1时，当x=9时，答：当x为9时，花园的面积为18平方米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，注意验证x的值是否符合题意．21.【答案】(1)见解析

(【解析】【分析】(1)由在⊙O中，AB=(2)首先连接AC，BD，易证得△A【小问1详解】∵在⊙O中，A∴A∴A∴A【小问2详解】连接AC，B∵A∴A在△ACM∠∴△AC∴A【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22.【答案】(1)30【解析】【分析】(1)如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l(2)如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠【详解】解：(1)如图①，连接∵直线l与⊙O相切于点C，∴∵AD⊥∴∠∵OA=∴∠(2)如图②，连接∵AB是⊙O∴∠∴∠在⊙O中，四边形A∴∠∴∠【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，构造圆内接四边形AB23.【答案】见解析，半圆半径为1.5

【解析】【分析】作∠CAB的角平分线交BC于O，以OC为半径的半圆交AB于点E，根据切线的性质得到OC⊥AC，OE⊥A【详解】解：如图，作∠CAB的角平分线交BC于O，以OC∴OC⊥∴∠又∵∠∴▵∴O∵▵ABC的直角边长分别为3和4，即∴A∴A∴E∴O∴半圆半径OE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，切线长定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．24.【答案】(1)见解析

【解析】【分析】(1)连接OD(2)连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得解得：k=4，从而求得AC=4【小问1详解】证明：连接OD∵O∴∠∵A∴∠∴∠∴O∴∠∵D∴∠∴∠即DE∴DE是【小问2详解】解：连接CF由(1)知∵D∴O∵O∴BD=CD∵AC是∴∠∵D∴∠∴∠∴D∴∴BE=EF∴C∵A∴设AE=2x，∵A∴B∴A在RtAC2=解得：k=∴A∴O即⊙O的半径为13【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线，25.【答案】两种作法都正确，证明见解答．

【解析】【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=【详解】解：选作法