第八章立体几何初步总结

章末总结本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸网络构建·归纳整合题型归纳·素养提升网络构建·归纳整合网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱.(

)2.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫做棱台.(

)3.圆锥是由一个直角三角形绕其一边旋转得来的.(

)4.到定点的距离等于定长的点的集合是球.(

)5.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.(

)6.圆台的侧面积公式是π(r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l是其母线长.(

)7.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台.(

)8.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台.(

)×××××√××9.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.(

)10.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.(

)11.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.(

)12.平行于同一条直线的两个平面平行.(

)13.垂直于同一个平面的两条直线平行.(

)14.过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条.(

)√√√×√√题型归纳·素养提升题型一空间几何体的表面积和体积[例1](2021·江西景德镇期末)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为

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规律总结(1)几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题,在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系,特别是特殊的柱、锥、台,要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.(2)常见的计算方法

①公式法:根据题意直接套用表面积或体积公式求解;②割补法:割补法的思想是通过分割或补形,将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体积;③等体积变换法:等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理来求原几何体的体积.题型二球与其他几何体的组合问题答案:(1)D规律总结解决与球有关组合体问题的常用方法(1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:①明确切点和接点的位置;②确定有关元素间的数量关系;③作出合适的截面图.(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.答案:(1)C跟踪训练2:(1)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(

)(A)8π (B)12π(C)20π(D)24π答案:(2)36π题型三共点、共线、共面问题[例3]如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证:(1)E,F,G,H四点共面;证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD,又E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.[例3]如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证:(2)GE与HF的交点在直线AC上.规律总结(1)三点共线问题

证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证第三点是两个平面的公共点,则此点必在两个平面的交线上.(2)共面问题

证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,然后证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,然后证明这些平面重合.(3)三线共点问题

证明三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.(1)四边形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.证明:(2)由(1)知EF,HG相交,设EF∩HG=K,因为K∈EF,EF⊂平面ABC,所以K∈平面ABC.同理K∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.题型四平行与垂直问题(1)求证:AE⊥平面CDE.[例4]如图,已知在直角梯形ABCD中,E为CD边中点,且AE⊥CD,又G,F分别为DA,EC的中点,将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)证明:由已知得DE⊥AE,AE⊥EC.因为DE∩EC=E,DE,EC⊂平面DCE,所以AE⊥平面CDE.(2)求证:FG∥平面BCD.[例4]如图,已知在直角梯形ABCD中,E为CD边中点,且AE⊥CD,又G,F分别为DA,EC的中点,将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(2)证明:取AB的中点H,连接GH,FH,所以GH∥BD,FH∥BC,因为GH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,所以GH∥平面BCD.同理FH∥平面BCD,又GH∩FH=H,所以平面FHG∥平面BCD,因为GF⊂平面FHG,所以GF∥平面BCD.(3)在线段AE上找一点R,使得平面BDR⊥平面DCB,并说明理由.[例4]如图,已知在直角梯形ABCD中,E为CD边中点,且AE⊥CD,又G,F分别为DA,EC的中点,将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.在△DEC中,ED=EC,M是CD的中点,所以EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE,AE∥BC,所以BC⊥平面CDE.因为EM⊂平面CDE,所以EM⊥BC.因为BC∩CD=C,所以EM⊥平面BCD,因为EM∥RS,所以RS⊥平面BCD.因为RS⊂平面BDR,所以平面BDR⊥平面DCB.规律总结(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点①由已知想性质,由求证想判定;②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一;③用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.(1)求证:直线AB1∥平面BC1D.跟踪训练4:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,BD,则点O为B1C的中点.因为D为AC的中点,所以DO为△AB1C中位线,所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,所以直线AB1∥平面BC1D.(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A.跟踪训练4:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.(2)证明:因为AA1⊥底面ABC,BD⊂平面ABC,所以AA1⊥BD.因为底面△ABC是正三角形,D是AC的中点,所以BD⊥AC.因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1,因为BD⊂平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)求三棱锥C-BC1D的体积.跟踪训练4:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.题型五空间角的求法(1)求证:B1C∥平面A1BD.(1)证明:设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1的中点,因为D为AC的中点.所以PD∥B1C.又因为PD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.规律总结空间角的求法

(1)找异面直线所成的角的三种方法

①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;③补形平移.(2)线面角:求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.(3)二面角:利用几何体的特征作