高中数学 理数参考答案及评分标准

PAGE数学（理）参考答案第1页共5页2020届邵阳市高三第三次联考数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题有12个小题，每小题5分，满分60分．题号123456789101112答案CDDCBDDBABAA二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，满分20分．13．121 14． 15． 16．①②③④三、解答题：本大题有6个小题，满分70分．17．（12分）解：（1），，.………………1分由及正弦定理得，．………………2分，．………………3分，即，即．……4分．．．………………6分（2）由余弦定理得：，，，，（当且仅当时取等号），………………9分S△ABC=（当且仅当时取等号），△ABC面积的最大值为．………………12分18．（12分）解：（1）△DAC中，，△ADC为等边三角形且AC=．又，△ABC为等腰直角三角形．………2分取AC中点O，连OB，OD，，．△DOB中，OB=，OD=，DB=DA=2．，．………4分又OD⊥AC，OB∩AC=0，．S△ABCOD=．………6分（2）建立如图所示的坐标系O-xyz，则………7分A（0，-，0），B（，0，0），C（0，，0），D（0，0，）．，．.设平面EDC的一个法向量．令，则，，．………9分又面DCA的一个法向量，=，．………11分解之得：或-2（舍）．．………12分19．（12分）解：（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．，，． ………4分（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，故可设过N的直线：，代入得，． ………5分与曲线C相切，则得．………7分设NP，NQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2=．且，．………8分当时，直线PQ的方程：．即：．．即：．．．．直线PQ过定点（2，0）．……………10分当时，即，则PQ所在的直线为.过点(2，0)综上可得，直线PQ过定点(2，0)……………12分20．（12分）解：（1）X=0，1，2，3，………………1分，，，，………………4分的分布列：X0123P．………………6分（2）以样本估计总体的线上学习时间少于3小时的概率．记Y为从6人中抽取的线上学习时间少于3小时的人数，则Y~B．…8分，k=0，1，2，…，6．要使最大，则……………10分解之得，又Ν．……………12分21．（12分）解（1）函数的定义域为，且．……………1分①若a=2，则，因而在上单调递增．②若a<2，则当及时，f(x)单调递增．当(-1，1-a)时，，单调递减． ……………3分③若a>2，则当及时，f(x)单调递增．当(1-a，-1)时，，单调递减．……………4分综上，当a=2时，在上单调递增；当a<2时，在，上单调递增；在(-1，1-a)上单调递减；当a>2时，在，上单调递增，在(1-a，-1)上单调递减．………………5分（2）由题意知，，故．…………6分欲证当时，．当时，，．只需证：，即在上恒成立．……………7分设，则．设，则．故当时，，单调递增．……………8分又，．有且只有一个根，且2<<e，．………10分在上，h(x)单调递减，在上，h(x)单调递增．函数h(x)的最小值．……………11分又.在（1，+）上恒成立．故成立．……………12分22．（10分）解：（1）由曲线C的普通方程为 ……………3分由直线l的直角坐标方程为 ……………5分（2）化曲线C的方程为极坐标方程：联立直线l的极坐标方程 ……………6分消去得：设P，Q两点所对应的极径分别为，则（）2=4.……………9分|OP|·|OQ|=||=2. ……………10分23．解：（1）当a=1时，当时，不等式化为.解得…………2分当时，不等式化为.解得无解.…………3分当时，不等式化为.解得 ……………4分综上得：不等式的解集为 ……………5分（2）函数