五年(19-23)中考数学真题与模拟卷分项汇编专题13 解三角形与三角形全等（含解析）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题13解三角形与三角形全等考点1解三角形与三角形全等一、单选题1．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（）A．2SKIPIF1<0 B．4SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．4SKIPIF1<0【答案】A【分析】先根据直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，再根据勾股定理和角的和差可得SKIPIF1<0，最后在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可得．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．2．（2020·广西贵港·中考真题）如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0．则对于以下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得OD＝SKIPIF1<0CD＝SKIPIF1<0BC，OC＝SKIPIF1<0OD，则OC＝SKIPIF1<0BC，进而得出④正确即可．【详解】解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝SKIPIF1<0∠BCD＝30°，∵∠BFE＝∠BCE＋∠CBF＝30°＋50°＝80°，∴∠EBF＝180°−∠BEC−∠BFE＝180°−50°−880°＝50°，在△CDE和△CBE中SKIPIF1<0，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴∠DEC＝∠BEC＝50°，∴∠BEM＝∠DEC＋∠BEC＝100°，∴∠BME＝180°−∠BEM−∠EBF＝180°−100°−50°＝30°，故①正确；在△ADE和△ABE中SKIPIF1<0，∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；∵∠EBC＝∠EBF＋∠CBF＝100°，∴∠BEM＝∠EBC，在△BEM和△EBC中SKIPIF1<0，∴△BEM≌△EBC（AAS），∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD，∵∠DCO＝30°，∴OD＝SKIPIF1<0CD＝SKIPIF1<0BC，OC＝SKIPIF1<0OD，∴OC＝SKIPIF1<0BC，∴AC＝2OC＝SKIPIF1<0BC，∵BM＝EC，EM＝BC，∴AE＋BM＝AE＋EC＝AC＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0EM，故④正确，正确结论的个数是4个，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2020·广西贵港·中考真题）如图，动点SKIPIF1<0在边长为2的正方形SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一个动点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边的中点，则线段SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作点E关于DC的对称点ESKIPIF1<0，设AB的中点为点O，连接OESKIPIF1<0，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OESKIPIF1<0的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点ESKIPIF1<0，设AB的中点为点O，连接OESKIPIF1<0，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝SKIPIF1<0AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0×2＝1，∵点E与点ESKIPIF1<0关于DC对称，∴DESKIPIF1<0＝DE＝1，PE＝PESKIPIF1<0，∴AESKIPIF1<0＝AD＋DESKIPIF1<0＝2＋1＝3，在Rt△AOESKIPIF1<0中，OESKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴线段PE＋PM的最小值为：PE＋PM＝PESKIPIF1<0＋PM＝MESKIPIF1<0＝OESKIPIF1<0−OM＝SKIPIF1<0−1．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．（2023年安徽中考数学真题）如图，点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交边SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质得出SKIPIF1<0，进而在SKIPIF1<0中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023年安徽中考数学真题）如图，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是位于直线SKIPIF1<0同侧的两个等边三角形，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点．若SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）

A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0周长的最小值为6 D．四边形SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0【答案】A【分析】延长SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时，则SKIPIF1<0三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，

延长SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点如图所示，

设SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的边长都为2，则SKIPIF1<0最小，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或者如图所示，作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0

此时SKIPIF1<0故A选项错误，根据题意可得SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B选项正确；SKIPIF1<0周长等于SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0周长最小，如图所示，作平行四边形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0如图，延长SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形，

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最短，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0周长的最小值为SKIPIF1<0，故C选项正确；∵SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0面积等于SKIPIF1<0

∴当SKIPIF1<0的面积为0时，取得最小值，此时，SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0重合∴四边形SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D选项正确，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题6．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=度．【答案】70【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，SKIPIF1<0，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.7．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，腰长为2SKIPIF1<02的等腰SKIPIF1<0ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将SKIPIF1<0ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与SKIPIF1<0ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．【答案】SKIPIF1<0或2SKIPIF1<0【分析】分两种情况：当CE⊥AB时，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，证明△BCM≌△DCM，得到BM＝DM，证明△MDE是等腰直角三角形，即可得解；当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE⊥AB时，如图，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，SKIPIF1<0，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，设DM＝x，则BM＝x，DESKIPIF1<0x，∴ADSKIPIF1<0x．∵AB＝2SKIPIF1<02，∴2xSKIPIF1<0x＝2SKIPIF1<02，解得：xSKIPIF1<0，∴BD＝2x＝2SKIPIF1<0；当CE⊥AC时，如图，∴∠ACE＝90°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝＝2SKIPIF1<02，∴ADSKIPIF1<0AC＝2SKIPIF1<0，BD＝AB﹣AD＝（2SKIPIF1<02）﹣（2SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，综上，BD的长为SKIPIF1<0或2SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或2SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类讨论思想的运用是解题的关键．8．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时SKIPIF1<0，此时点B到水平地面SKIPIF1<0的距离为米．（结果保留根号）

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，易得四边形SKIPIF1<0为矩形，分别解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，利用SKIPIF1<0进行求解即可．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0（米）；故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．9．（2023年河南省中考数学真题）如图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点A，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点B，点C在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．【答案】SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点A，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．三、解答题10．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)在斜边SKIPIF1<0上求作线段SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)图见详解(2)SKIPIF1<0【分析】（1）以A为圆心，SKIPIF1<0长为半径画弧，交SKIPIF1<0于点O，则问题可求解；（2）根据含30度直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，进而问题可求解．【详解】（1）解：所作线段SKIPIF1<0如图所示：

（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即点O为SKIPIF1<0的中点，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．11．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点，以SKIPIF1<0为直角边作等腰SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0，即可根据SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0；（2）勾股定理求得SKIPIF1<0根据已知条件证明SKIPIF1<0是等腰三角形可得SKIPIF1<0，进而根据SKIPIF1<0即可求解．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴∠ADC=∠ACD，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．12．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

由题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=SKIPIF1<0≈SKIPIF1<0=80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．13．（2023年河南省中考数学真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H．经测量，点A距地面SKIPIF1<0，到树SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求树SKIPIF1<0的高度（结果精确到SKIPIF1<0）．【答案】树SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0【分析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0即可求解．【详解】解：由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，答：树SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到SKIPIF1<0是解决问题的关键．14．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用“SKIPIF1<0”可证明SKIPIF1<0；（2）先利用全等三角形的性质得到SKIPIF1<0，再利用勾股定理计算出SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0的长，然后计算SKIPIF1<0即可．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．15．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂SKIPIF1<0，两臂夹角SKIPIF1<0时，求A，B两点间的距离．(结果精确到SKIPIF1<0，参考数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)

【答案】SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，作作SKIPIF1<0于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，继而求出SKIPIF1<0即可．【详解】解：连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于D，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0边上的中线，也是SKIPIF1<0的角平分线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0答：A，B两点间的距离为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．16．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上运动，满足SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0的长为x，SKIPIF1<0的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述SKIPIF1<0的面积随SKIPIF1<0的增大如何变化．【答案】(1)见详解(2)SKIPIF1<0(3)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积随SKIPIF1<0的增大而增大，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积随SKIPIF1<0的增大而减小【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后根据“SKIPIF1<0”可进行求证；（2）分别过点C、F作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点H、G，根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，由（1）易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：分别过点C、F作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的长为x，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理（1）可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积为y，∴SKIPIF1<0；（3）解：由（2）可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，对称轴为直线SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，y随x的增大而增大，当SKIPIF1<0时，y随x的增大而减小；即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积随SKIPIF1<0的增大而增大，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积随SKIPIF1<0的增大而减小．【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．17．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离，可先在平地上取一个点SKIPIF1<0，从点SKIPIF1<0不经过池塘可以直接到达点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0并延长到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0并延长到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，那么量出SKIPIF1<0的长就是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离．为什么？【答案】见解析【分析】利用“边角边”证明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】解：量出SKIPIF1<0的长就等于SKIPIF1<0的长，理由如下：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．18．（2020·广西贵港·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线：（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直径SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，继而根据已知条件和等边对等角的性质及等角代换可得：∠BAD＝∠E＝∠C，进而可得SKIPIF1<0，再根据切线的判定即可求证结论；（2）作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，易证△ABC∽△DBA，继而根据相似三角形的性质可得：SKIPIF1<0，进而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根据相似三角形的判定及其性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入数据即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴∠BAD＝∠E＝∠C，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）解：如图，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴△ABC∽△DBA∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由勾股定理求得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形．19．（2022·山东菏泽·统考中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：SKIPIF1<0）【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠ADC=30°，则CD=SKIPIF1<0≈8.30（米），∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20．（2023年江西省中考数学真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在同一直线上，SKIPIF1<0，测得SKIPIF1<0．（结果保小数点后一位）

(1)连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】(1)见解析(2)雕塑的高约为SKIPIF1<0米【分析】（1）根据等边对等角得出SKIPIF1<0，根据三角形内角和定理得出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，即可得证；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据SKIPIF1<0，即可求解．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（2）如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（米）．答：雕塑的高约为SKIPIF1<0米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．21．（2023年河南省中考数学真题）如图，SKIPIF1<0中，点D在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出SKIPIF1<0的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中所作的角平分线与边SKIPIF1<0交于点E，连接SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；（2）证明SKIPIF1<0，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．22．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日SKIPIF1<0点SKIPIF1<0分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面SKIPIF1<0处发射，当飞船到达SKIPIF1<0点时，从位于地面SKIPIF1<0处的雷达站测得SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0，仰角为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0后飞船到达SKIPIF1<0处，此时测得仰角为SKIPIF1<0．

(1)求点SKIPIF1<0离地面的高度SKIPIF1<0；(2)求飞船从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处的平均速度．(结果精确到SKIPIF1<0，参考数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)飞船从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处的平均速度约为SKIPIF1<0【分析】（1）根据含SKIPIF1<0度角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）在SKIPIF1<0中，根据直角三角形的性质得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据等腰直角三角形的性质得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，于是得到结论．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0飞船从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处的平均速度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．23．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．(1)求⊙O的半径；(2)点P为SKIPIF1<0中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．【答案】(1)⊙O的半径为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【分析】(1)若连接OB，则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；(2)连接OP，设AB与QP交于点M，根据题中条件证得∠QPO=∠A=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OQ；(3)可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值．【详解】(1)连接OB，如图∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，在Rt△OBC中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即⊙O的半径为SKIPIF1<0；(2)连接OP，设AB与QP交于点M，∵点P为SKIPIF1<0的中点，∴OP⊥AB，∴∠QPO+∠PMB=90°，∵PQ⊥AC，∴∠A+∠AMQ=90°，又∵∠AMQ=∠PMB，∴∠QPO=∠A=30°，在Rt△OPQ中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(3)在Rt△OBC中，∵SKIPIF1<0，∠OBC=30°，∠ACB=90°∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，