经典复变函数与积分变换复数

第一章复数与复变函数§1.1复数§1.2复数的三角表示§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面§1.5复变函数的极限与连续复变函数与积分变换及应用背景

（莫里斯克莱恩

）(1908-1992)(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数

复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.(1)

代数方程

在实数范围内无解.

（阿达马）说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.

例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.

例如：热炉中温度的计算.

最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,

从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等.(8)复变函数理论也是积分变换的重要基础.

积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．

频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(9)变换应用于控制问题.

在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11)Z变换应用于离散控制系统.(12)小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件(10)主要内容

本章首先引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的极限连续性.§1.1-1.2复数及其表示式1复数的概念2复数的四则运算3复数的表示方法4乘幂与方根1.1.1复数的概念

由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式由该等式所定义的数称为

当复数的虚部为零、实部不为零(即y=0,)时，复数x+iy等于x+i0为实数x,而虚部不为零(即

)的复数称为虚数.在虚数中,实部为零(即x=0,)的称为纯虚数.例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而-3i是纯虚数.数x+iy(或x+yi)的,并记做

称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中

x和y是任意两个实数.把这里的x和y分别称为复显然,z=x+iy是x-yi的共轭复数,即共轭复数

复数x-iy称为复数x+yi的(其中x,y均为实数),并记做.1.1.2复数的四则运算注意

复数不能比较大小.

设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.

复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差(2)复数的积(3)复数的商复数运算的性质1.交换律2.结合律3.分配律解例

1.1设

求与例1.2……例1.3设z1,z2是两个复数,证明证明因为所以由运算规律7，有本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明.

给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以用XOY平面上的点表示复数z.

这时把XOY平面平面称为复平面.有时简称为z平面.1.1.3复平面与复数的表示法

显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.

今后把复平面上的点和复数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.有时用C表示全体复数或复平面.

复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(如图).

这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.

用表示复数z时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.

把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值,并记做|z|.显然

如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.

对每个,都有无穷多个辐角,因为用q0表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时,|z|=0.

满足的复数z的称为主辐角(或称辐角的主值),记做argz,则的辐角,这时上式仍然成立.当z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定

当时,有说明：当z在第二象限时，利用直角坐标与极坐标之间的关系数z的三角表示式.再利用Euler公式

复数z=x+yi可表示为称为复复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=|z|,q=Argz.例1.4将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此例1.5写出的辐角和它的指数形式。解：当时,当时,共轭复数的几何性质一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的.复数和与差的模的性质

从几何上看,复数z2-z1所表示的向量,与以z1为起点、z2为终点的向量相等(方向相同,模相等).复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算.1.1.4

乘幂与方根设复数z1和z2的三角表示式为根据乘法定义和运算法则及两角和公式,于是应该注意的是中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.元素相加构成的集合两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为先将z1按逆时针方向旋转角度,再将模变到原来的r2倍,于是所得的向量z就表示乘积利用数学归纳法可以证明：如果特别地,如果那么那么如果写成指数形式，即如果那么特别地，当|z|=r=1时,变为称为DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovie公式仍然成立.设如果定义负整数幂为当(即)时,则如果将z1和z2写成指数形式于是

两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.方根,记做或如果于是,当时,对给定的复数z,方程wn=z的解w称为z的n次满足以上三式的充分必要条件是其中表示算术根.于是

当取k=0,1,2,···,n-1时,

对一个取定的q,可得

n个相异根如下由三角函数的周期性

可见,除w0,w1,···,wn-1外,均是重复出现的,故当z=0时,w=0就是它的n次方根.常取主辐角.若用指数表示式,则当z=reiq时,这n个复数就是所要求的n个根.在上面的推导过程中,可取q为一个定值,通例1.6求方程w4+16=0的四个根.

因为-16=24e(2k+1)pi,所以w4=24e(2k+1)pi.于是w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为2的圆一般情况下,n个根就是以原点为中心、半径为的圆的内接正多边形的n个顶点所表示的复数.|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).例1.7求[解]

因为所以即注：四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy例1.8设求解：若取则若取则§1.3平面点集的一般概念1区域2Jordan曲线、连通性1.3.1区域1.邻域z0是复平面内的定点,满足不等式|z-z0|<d的一切点所组成的集合{z||z-z0|<d}称为z0的d邻域,简称为z0的邻域,其中d>0.z0的邻域实际上是以z0为中心,d为半径的圆的内部所有点组成的点集,简记为B(z0,d).

由满足不等式0<|z-z0|<d的一切点所组成的集合称为z0的去心邻域.

满足不等式|z|>R(R>0)的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域.用R<|z|<+

表示无穷远点的去心邻域.2.内点

设E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在z0的一个邻域,使得该邻域内的一切点均属于E,则称z0是E的内点.即存在r>0,满足3.外点4.边界点

设E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在z0的一个邻域,使得在此邻域内的一切点均不属于E,则称z0是E的外点.即存在r>0,满足

设E是复平面上的点集,z0是一个定点,若z0的任何邻域内都含有属于E的点和不属于E的点,则称z0是E的边界点.即对任意的r>0,存在z1,z2

B(z0,r),满足

显然,E的内点属于E,而外点不属于E,但边界点既可能属于E,也可能不属于E.

E的边界点的全体所组成的集合称为E的边界,记做

E.

5.开集

设G是复平面上的点集,如果G内每一点都是它的内点,则称G为开集.THANKYOUSUCCESS2023/11/2951可编辑

例1.9设z0是定点,r>0是常数,则z0为中心,

以r为半径的圆的内部点,即满足不等式|z-z0|<r

的一切点z所组成的点集(z0的r邻域)是开集.

当0

r<R(r和R均是常数)时,满足不等式r<|z-z0|<R的一切z所组成的点集也是开集.

但满足不等式r<|z-z0|

R的一切点所组成的点集不是开集.因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合r<|z-z0|

R,但这些点不是它的内点,而是边界点.

在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=R上的点都是点集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|

R的边界点.

两个圆周上的点都不属于点集r<|z-z0|<R,内圆周|z-z0|=r不属于点集r<|z-z0|

R,外圆周|z-z0|=R属于点集r<|z-z0|

R.6.区域

设D是复平面上的点集，如果满足以下两个条件:(1)D是开集；(2)D内的任何两点z1和z2都可以用一条完全在D内的折线,把z1和z2连接起来(具有这个性质的点集叫做连通的).则称D是复平面上的区域.简单地说,连通开集称为区域.

基本概念的图示区域邻域边界点边界为闭区域,记做

例如,满足不等式|z-z0|

r和r

|z-z0|

R的一切点所组成的点集都是有界的闭区域,满足不等式|z|

R的一切点所组成的点集是无界的闭区域.

如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内,那么称它是有界的.不是有界集的点集叫做无界集.由区域D和它的边界

D所组成的点集，称(1)圆环域:例1.10判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.1.3.2Jordan曲线、连通性(1)连续曲线、Jordan曲线

参数方程x=x(t),y=y(t)(a

t

b)在XOY平面上表示一条曲线C.

把XOY平面视为复平面时,曲线C的参数方程可表示为

如果x=x(t),y=y(t)(a

t

b)为连续函数时,则称曲线C为连续曲线.

曲线C在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着t增加的方向变化的.

复平面上对应于z(a)=x(a)+iy(a)的点称为曲线C的起点,对应于z(b)=x(b)+iy(b)的点称为曲线C的终点.

若曲线C的起点与终点重合,即z(a)=z(b),则称C是闭曲线.

例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0

t2p)是一条闭曲线,因为z(0)=z(2p)=r.对曲线C的参数方程做变量代换可得这两个方程所确定的曲线形状相同,起点和终点互易,从而方向相反.用C¯表示与C形状相同、方向相反的曲线.

如果t1

t2,有z(t1)=z(t2),则称z(t1)=z(t2)是曲线z=z(t)的重点.

如果曲线C:z=z(t)(a

t

b)除起点与终点外无重点,即除t1=a,t2=b之外,如果t1

t2,有z(t1)

z(t2),则称曲线C是简单曲线.连续的简单闭曲线称为Jordan曲线.

任何Jordan曲线C将平面分为两个区域,即内部区域(有界)与外部区域(无界),C是它们的公共边界.内部外部边界下列曲线是否为简单闭曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭关于曲线方向的说明:

设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正向,则称C为有向曲线.

如果从A到B作为曲线

C的正向,那么从B到A为曲线C的负向,就是C¯.除特殊声明外,正向总是指从起点到终点的方向.CC¯Jordan曲线C有两个方向,当点z沿着C的一个给定方向变化时,若C的内部出现在点z前进方向的左侧,就规定这个方向是正的;否则就说是负的.

如果没有特别说明,约定Jordan曲线的正向为这条曲线的方向.

对于圆周曲线可以简单地说,逆时针方向为曲线的正向,顺时针方向为曲线的负向.(2)光滑曲线

如果曲线C参数方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在连续的导函数,且对任何t

[a,b],都有称C是一条光滑曲线.

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.

能求出长度的曲线称为可求长曲线.分段光滑曲线是可求长曲线.光滑曲线分段光滑曲线(3)单连通区域与多连通区域

设D是复平面上的一个区域,如果位于D内的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于D,则称D为单连通区域.若区域D不是单连通区域,则称它为多连通区域.单连通域多连通域

例1.11指出下列不等式所确定的点集,是否有界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?无界的单连通区域(如图).解(1)当时,是角形域,无界的单连通域(如图).周外部,无界多连通区域(如图).是以原点为中心,半径为的圆表示到1,–1两点的距离之表示该椭圆的内部,这是有界的单连通区域(如图).和为定值4的点的轨迹,因为所以这是椭圆曲线.内部.这是有界集,但不是区域.令是双叶玫瑰线(也称双纽线).表示双纽线的

例1.12满足下列条件的点集是否区域?如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?这是一条平行于实轴的直线,不是区域.它是单连通区域.这是以为右边界的半平面,不包括直线它是多连通区域.它不是区域.这是以为圆心,以2为半径的去心圆盘.这是以i为端点,斜率为1的半射线,不包括端点i.

复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数.

设S是与复平面C切于原点O的球面.过原点O做垂直于平面C的直线,与S的另一交点为N.原点O称为S的南极(S极),点N称为S的北极(如图).1.4无穷大与复球面

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.

球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极N

越近,它所表示的复数的模越大.

规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作

.

球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.

不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.

球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.

对于复数的无穷远点而言,它的实部、虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.(1)加法(2)减法(3)乘法(4)除法§1.5复变函数的极限与连续1复变函数的定义2复变函数的极限3函数的连续性1.5.1

复变函数的定义

定义1.1设E是复平面上的点集,若对任何z

E,都存在惟一确定的复数w和z对应,称在E上确定了一个单值复变函数，用w=f(z)表示.

E称为该函数的定义域.

在上述对应中,当z

E所对应的w不止一个时,称在E上确定了一个多值复变函数.数,而例如,w=|z|是以复平面C为定义域的单值函是定义在C\{0}上的多值函数.

以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数.

因为z=x+iy和w都是复数,若把w记为u+iv时,

u与v也是z的函数,因此也是x和y的函数.于是,可以写成其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数.例如:w=z2是一个复变函数.令因为于是函数w=z2对应于两个二元实函数令于是反之,如果反函数的定义

设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集D,称复平面上的点集为函数w=f(z)的值域.

对于任意的w

G,必有D中一个或几个复数与之对应.

于是,确定了G上一个单值或多值函数z=j(w),称之为函数w=f(z)的反函数.

定义1.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,存在d>0,使得对一切满足0<|z-z0|<d的z,都有成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记做或注意:定义中z

z0的方式是任意的.1.5.2复变函数的极限例1.13当z0时,函数极限不存在.事实上,当z沿直线y=kx趋于零时,该极限值随k值的变化而变化,所以极限不存在.

定义1.3设f(z)在z0的邻域内有定义,且则称f(z)在z0处连续.

若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.

关于函数f(z)在连续曲线C上的连续性和闭区域上的连续性,只要把上述定义中的z限制在C或上即可.1.5.3函数的连续性定理1.1设则f(x)在处连续的充分必要条件是都在点连续.证明只须注意,由等式可得不等式又有不等式这个定理说明复变函数的连续性等价两个二元实函数的连续性.利用这些不等式及，结论易证.

例1.14设复变函数f(z)在点z0连续，并且f(z0)

0,则存在z0的某个邻域，使f(z)在此邻域内恒不为0.

证明由于f(z)在点z0

连续,在点连续,故在点连续.因所以由二元函数的连续性,必存在的某个邻域,使得在此邻域内,即在此邻域内f(z)

0.定理1.2设都在点连续,则都在

点连续，而

当时，也在点连续.

定理1.3设在处连续，

而在点连续，则

复合函数在

点连续.

应用或仿证明实函数类似结论的方法可以证明上述两个定理.由前面的结论可知,多项式在复平面内处处连续.有理分式在复平面内除分母为零的点之外,处处连续.都是复常数.

定理1.4设f(z)在有界闭区域(或有限长的连续曲线C)上连续，则f(z)在(或C)上有界,即存在M>0,当或z

C时，有为了后面