期中专题复习02一元二次方程解法九年级数学上学期期中专项复习（苏科版）

一元二次方程专题复习二知识导图知识导图知识点一：一元二次方程的常规解法直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．公式法（1）把x=-b±b2-4ac（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b²4ac的值（若b²4ac＜0，方程无实数根）；③在b²4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²4ac≥0．因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．考点一：常规解法1．用配方法解方程x2+8xA．x+42=9 B．x-42【答案】A【难度】基础题【考点】一元二次方程、配方法的应用【易错点】配方法理解不完善【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．【详情解析】解：方程x2+8x在方程的两边都加上16，得x2即(x故选：A．【提优突破】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．2．将一元二次方程x2-8x+5=0化成x+a2=【答案】7【难度】基础题【考点】一元二次方程、配方法的应用【易错点】配方法应用【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【详情解析】解：∵x2∴x2则x2-8x+16=-5+16∴a=-4,b=11，则a+b=-4+11=7，故答案为：7．【提优突破】本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握完全平方公式．3．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）解下列方程(1)2x(2)x(3)2(4)x-【答案】(1)x1=2(2)x1=3(3)x1=(4)x1=1【难度】基础题【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、配方法，因式分解法【易错点】各种解法的区别和选择【分析】（1）先把方程化为x2（2）先把方程化为x2-2x+1=3+1（3）把方程化为2x-3x-1（4）先移项可得x-1x+3-5【详情解析】（1）解：2x∴2x2=8∴x1=2，（2）x2∴x2∴x-12∴x-1=2，x-1=-2，解得：x1=3，（3）2x∴2x-3x-1∴2x-3=0，x-1=0，解得：x1=3（4）x-1x+3∴x-1x+3∴x-1x+3-5=0，即∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，【提优突破】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．4．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）解下列方程：(1)x(2)x(3)x(4)x【答案】(1)x1=3(2)x1=2(3)x1=2(4)x1=2+【难度】基础题【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、因式分解法【易错点】各种解法的区别和选择【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可；（3）用因式分解法解方程即可；（4）用公式法解方程即可．【详情解析】（1）由x-1得x-1=±2则x-1=2或x-1=-2解得x1=3（2）由x-2得(x-2)(x-2)(x-2-5)=0(x-2)(x-7)=0得x1=2（3）由x得(x-2)(x-3)=0解得x1=2（4）∵Δ=∴x=x1=2+【提优突破】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级校考周测）用适当的方法解下列方程(1)(2(2)((3)x(4)x【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x【难度】基础题【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、因式分解法【易错点】各种解法的区别和选择【分析】(1)利用直接开平方法计算即可．(2)利用因式分解法法求解即可．(3)利用因式分解法法求解即可．(4)利用因式分解法法求解即可．【详情解析】（1）(2x+1)2∴(2x+1)2∴2x+1=±5∴x1（2）∵(x-3)2∴(x-3)x-3+2x∴(x-3)3x-3解得x1（3）∵x2∴(x-13)x+1解得x1（4）∵x(x-3)=10，∴x∴(x+2)(x-5)=0，解得x1【提优突破】本题考查了直接开平方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．6．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3(1)当x=时，代数式-2(x-(2)当x=时，代数式-2x2+4(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少【答案】(1)1；大；3(2)1；大；5(3)当花园与墙相邻的边长为4m时，花园的面积最大为32【难度】基础题【考点】一元二次方程解法、配方法、方程应用问题、最值问题【易错点】配方法的变形和最大最小问题【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．（2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．（3）设花园与墙相邻的边长为xm，则另一边为(16-2x)m，由题意得：x⋅(16-2x)，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．【详情解析】（1）解：∵(x-1)∴-2(x-1)∴-2(x-1)∴当(x-1)2=0时，即x=1时，代数式-2故答案为：1；大；3．（2）-=-2(=-2(x-1)∵(x-1)∴-2(x-1)∴-2(x-1)∴当(x-1)2=0时，即x=1时，代数式-2故答案为：1；大；5．（3）设花园与墙相邻的边长为xm，则另一边为(16-2x)m，由题意得：x⋅(16-2x)=-2=-2(=-2(x-4)当x=4时，-2(x-4)2∴当花园与墙相邻的边长为4m时，花园的面积最大为32m【提优突破】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键．7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22简单应用：（1）填空：x2-4x深入探究：（2）已知x2-4灵活应用：（3）比较代数式2x2-【答案】（1）2，3；（2）1；（3）2x【难度】中等题【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用【易错点】配方法综合应用、代数式最值【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【详情解析】解：（1）x2故答案为：2，3；（2）∵x2∴x2∴x-22∴x-2=0,y+1=0，解得x=2,y=-1，∴x+y=2-1=1；（3）2=2===x-∵x-5∴x-5∴2x【提优突破】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+【解决问题】（1）数53“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2（3）已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x，y【拓展结论】（4）已知实数x、y满足-x2+【答案】（1）是；（2）1；（3）k=36，理由见解析；（4）2【难度】中等题【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用【易错点】配方法综合应用、代数式最值【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；拓展结论：（4）由已知等式表示出y，代入x-2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．【详情解析】解：（1）根据题意得：53=2故答案为：是．（2）已知等式变形得：x2即x-22∵x-22∴x-2=0,y+1=0，解得：x=2,y=-1，则：x+y=2-1=1．故答案为：1．（3）当k=36时，S为“完美数”，理由如下：S=2x∵S是完美数，∴x2∴k=36．（4）∵-x∴-y=-x2∴x-2y=x-2x当x=2时，x-2y最大，最大值为2．【提优突破】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1，(1)已知y=x2(2)比较代数式3x2-(3)如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,AC=4cm,BC=3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s【答案】(1)3(2)3x(3)5【难度】难题【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用、动点问题【易错点】配方法综合应用、代数式最值、动点问题【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成y=x-3（2）利用作差法结合配方法解答即可；（3）由题意得：CQ=t,AP=2t，可得CP=4-2t，进而可用含t的式子表示出四边形APQB的面积，再利用配方法求解即可．【详情解析】（1）y=x2-∵x-32∴x2-6x+9的最小值是3，即y（2）∵3==x-2x-22∴3x∴3x（3）由题意得：CQ=t,AP=2t，∴CP=4-2t，∴四边形APQB的面积S==6-2t+==t-1∴四边形APQB的面积S的最小值是5cm【提优突破】本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键．知识点二：换元法所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．考点二：换元法1．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2例：求x2解：令x∴x∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0∴y≥4∴x2材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c请根据上述材料，解答下列问题：(1)若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣(2)求出代数式3x【答案】(1)a＝6或a＝﹣6(2)3x2+6x-21-3x≤-10【难度】难题【考点】换元法综合应用【易错点】换元变形问题【分析】（1）仿照例题，设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3-y＝（2）仿照例题，设y＝3x2+6x-21-3x，变形为3x2+6+3yx-2-y＝0【详情解析】（1）解：设y＝x2∵Δ≥0，∴a2-4而由已知y≥﹣6，故3﹣14a2∴a＝6或a＝﹣6．（2）设y＝3x2+6x-2∵Δ≥0，∴6+3y2-4×3×3解得：y1=-2，∴根据材料二，a=3>0，∴y≤-103或y≥﹣【提优突破】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键．2．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x[提示]可以用“换元法”解方程．解：设x2+2x=(1)续解：(2)用上面的思想方法解方程：x【答案】(1)见解析(2)x1=-1；x2=2【难度】中等题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）根据换元法的思想解方程即可；（2）设x2x+2=t【详情解析】（1）解：设x2+2x=t∴原方程可化为：t2解得t=-5（舍）或t=1，∴x2∴x2解得x=2-1（2）解：设x2∴原方程化为t+2∴t2解得t=2或t=1，当t=1时，x2解得x=2或x=-1，经检验，x=-1或x=2是方程的解；当t=2时，x2解得x=1+5或x=1-经检验，x=1+5或x=1-∴原方程的解为：x1=-1；x2=2；【提优突破】本题主要考查无理方程的解法，熟练掌握换元法解无理方程的方法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．3．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考阶段练习）阅读下列材料：解方程：x4-它的解法通常是：设x2=y，那么x4=解这个方程得：y1当y1=1时，x2=1．当y2=5时，x2所以原方程有四个根：x1在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．(1)解方程(x2-x)2(2)利用换元法解方程：x2【答案】(1)y2-4y-12=0，(2)x1=1+【难度】中等题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设y=2xx2【详情解析】（1）解：设y=x2-∴因式分解为：(y-6)(y+2)=0，∴y=6或y=-2，∴x2-x=6对于方程x2解得：x1=-2，对于方程x2移项得：x2∵Δ=-7<0，∴上述方程无解，∴原方程的解为：x1=-2，故答案为：y2（2）设y=2xx2-原方程变形为：1y去分母，得y2即y-12解得，y1经检验，y=1是分式方程1y∴2xx2-即：x2解得：x1=1+5经检验，1±5∴原方程的解为：x1=1+5【提优突破】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2化简，得y2故所求方程为y这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程x2+2x(2)已知关于x的一元二次方程ax2【答案】(1)y(2)a+by+cy2【难度】中等题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y，则y=1xx≠0，于是x=1y【详情解析】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，把x=-y代入方程x2+2x-1=0，得：故答案为：y2（2）解：设所求方程的根为y，则y=1xx≠0，于是x=1把x=1y代入方程ax去分母，得a+by+cy若c=0，有ax于是，方程ax2+bx+c=0∴c≠0，故所求方程为a+by+cy2=0【提优突破】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．5．（2022春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）换元法是数学中一个非常重要且应用广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1y=20所以原方程组的解为x=1(1)求值：1+111(2)分解因式：x2+4(3)解方程组3×【答案】(1)x+2(2)1(3)x=4【难度】难题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】(1)根据换元思想设111（2）根据换元思想设x2（3）利用换元思想设2x=m，【详情解析】（1）解：设111(1+=(1+t)×(t+=t=（2）解：设x2x====∴x==（3）解：设2x=m，12m-3n=111解得：m=16∴2x=16，x=4；3∴原方程组的解为：x=4【提优突破】本题考查的是利用换元法思想解方程，分解因式，掌握换元思想将复杂问题转换为简单问题是解题的关键．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是(2)解方程x4-5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2∴原方程有四个根x1请你用（2）中的方法求出方程(x【答案】(1)2022(2)x1=【难度】难题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．【详情解析】（1）解：∵x2﹣x﹣1＝0∴x2＝x+1∴x4﹣＝(x+1)＝x2﹣＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设x2+x＝y，那么(x2解得y1＝﹣2，y2＝当y＝﹣2时，x2+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0∴方程无解；当y＝4时，x2+x﹣4＝0∴x＝-1±∴原方程有两个根：x1＝-1-172，x2【提优突破】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．7．（2023·江苏·九年级假期作业）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程ax+m2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1解：在方程ax+m+12根据关于x的方程ax+m2+可得方程ay+m2+把y=-3代入y=x+1得，x=-4，把y所以方程ax+m+12【理解】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+(1)关于x的方程ax+bx+c=0a(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）(3)【猜想与证明】双察下表中每个方程的解的特点：方程方程的解方程方程的解xx1=-33x1=-2x1=3x1=2xx1=48x1=……猜想：方程ax2+(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．【答案】(1)m2，n2(2)ax2+2bx+4c=0(3)cx2+bx+a=0(4)见解析【难度】难题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】[理解]（1）令y=x，根据题意可得x=m或（2）由题意可知m+n=-ba，mn=ca，由于方程的两个根分别是2m，2n，则[猜想与证明]（1）由表格可得：cx2+bx+a=0的两个根与方程ax2（2）先将cx2+bx+a=0变形为ax2+bx+c=0，设y=1x，方程可变形为ay2+by+c=0，设方程ax2+bx+c=0的解是x1=m，x【详情解析】（1）解：[理解]（1）令y=x∴方程ax+bx+c=0(a≠0)可化为∵ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根m∴y=m或y=n，∴x=m或x∴x=m2或故答案为：m2，n（2）∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根m∴x=m或x=n，∴m+n=-ba，∵方程的两个根分别是2m，2n，∴2m+2n=-2ba，∴方程ax2+2bx+4c=0的两个根为2m故答案为：ax（3）[猜想与证明]由表格可得：cx2+bx+a=0的两个根与方程ax2故答案为：cx（4）证明：由cx2+bx+a=0两边同除以x设y=1x，方程可变形为设方程ax2+bx+c=0的解是x可得方程ay2+by+c=0的解是y把y=m代入y=1x得，x=1m；把y=n代入所以方程cx2+bx+a=0的解是x即方程ax2+bx+c=0【提优突破】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．8．（2022秋·山西运城·九年级校联考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：要解方程x4-4解：设x2那么x4于是原方程可变为y2解得y1=1，当y1=1时，∴x=±1当y2=3时，∴x=±∴原方程有四个根x1=1，x2=-1，我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．任务：(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（

）A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想(2)仿照上面的方法，解方程x2(3)若实数m、n满足m2+n2m【答案】(1)B(2)x1=3，x2=-(3)4【难度】中等题【考点】换元法解方程【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想；（2）设x2+1=y，则原方程化为y2-13y+36=0（3）设t=m2+n2【详情解析】（1）解：（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想故答案为：B；（2）解：原方程可以变形为x2设y=x2+1解得y1=4，当y1=4时，x2+1=4当y2=9时，x2+1=9∴原方程有四个根x1=22，x2=-2或：设y=x2，则原方程可化为(y+1)2解得y1=3，当y1=3时，x2=3当y2=8时，x2=8∴原方程有四个根x1=3，x2=-（3）设t=m于是原方程可变为t(t-2)-8=0．整理，得(t-4)(t+2)=0．所以t=4或t=-2（舍去）．即m2+n故答案为：4.【提优突破】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．9．（2023秋·四川内江·九年级校考阶段练习）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x解法一：解方程x2+x-1=0∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍，∴所求方程的两根为：-1+5，∴所求方程为：y-故所求方程为：y2解法二：设所求方程的根为y，则y=2x，所以把x=y2代入已知方程得：y故所求方程为：y2请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题：(1)已知方程x2+x(2)已知关于x的一元二次方程x2(3)已知关于x的一元二次方程ax2【答案】(1)y(2)y(3)y【难度】难题【考点】换元法解方程、换元法综合应用【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程【分析】（1）解法一：求出已知方程的解为x1=1,x2=-2，从而可得所求方程的两根为-1,2，由此即可得；解法二：设所求方程的根为（2）解法一：求出已知方程的解为x1=-m,x2=-2m，从而可得所求方程的两根为-1m，-（3）解法一：求出已知方程的解为x1=-b+b2-4ac2a【详情解析】（1）解法一：解方程x2+x-2=0得：∵所求方程的根分别为已知方程根的相反数，∴所求方程的两根为：-1,2∴所求方程为：y--故所求方程为：y2解法二：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y．把x=-y代入已知方程得：-y2+故所求方程为：y2故答案为：y2（2）解法一：解方程x2+3mx+2m∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，∴所求方程的两根为：-1m，∴所求方程为：y--故所求方程为：y2解法二：设所求方程的根为y，则y=1x，所以把x=1y代入已知方程得：1y故所求方程为：y2（3）解法一：解方程ax2+bx+c=0∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，∴所求方程的两根为：2a-∴所求方程为：y-2a故所求方程为：y2解法二：设所求方程的根为y，则y=1x，所以把x=1y代入已知方程得：ax故所求方程为：y2【提优突破】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“换根法”．知识点三：判别式与根情况考点三：判别式与根情况1．（2023秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考阶段练习）一元二次方程x2+4=4xA．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】C【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况【易错点】判别式与根的关系【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详情解析】解：方程x2+4=4x化为一般式为：∵Δ=b∴有两个相等的实数根，故选：C．【提优突破】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．2．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知方程甲：ax2+2①若x=1是方程甲的解，则x②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或以上说法中正确的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【答案】A【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况【易错点】判别式与根的关系【分析】若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对①进行判断；由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则解方程组求得n1=n【详情解析】解：若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，则方程乙：bx2+2ax+b=0解得x1所以x=1也是方程乙的解，故①正确；若方程甲有两个相等的实数解，则Δ=(2b)解得4b所以4a而方程乙：bx2+2ax+b=0所以方程乙有两相等实数解，故②正确；若方程甲有两个不相等的实数解，则Δ=(2b)解得4b所以4a而方程乙：bx2+2ax+b=0所以方程乙没有实数解，故③不正确；若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，所以an①-②得a-bn∵a≠b，∴n解得n1=n综上分析可知，正确的是①②，故A正确．故选：A．【提优突破】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2-3．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）对于一元二次方程ax①若a+b+②若方程ax2+③若c是方程ax2+④若x0是一元二次方程ax2+bxA．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【难度】中等题【考点】判别式、一元二次方程两根情况【易错点】判别式与根的关系【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．【详情解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b24ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则4ac＞0，那么b24ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b24ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．综上：正确的有①②④，共3个．故选：A．【提优突破】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．4．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）若关于x的方程kx2+2x+1=0【答案】k≤1【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况【易错点】判别式与根的关系【分析】分类讨论，当k≠0时与当k=0时即可．【详情解析】解：∵关于x的方程kx2∴当k≠0时，Δ=4-4k≥0，∴k≤1，∴k≤1且k≠0，当k=0时，此时方程为3x+1=0，满足题意，故答案为：k≤1．【提优突破】本题考查方程有根的情况,关键在于分类讨论．21．（2023秋·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考开学考试）已知关于x的方程x2(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求2m【答案】(1)详见解析(2)2039，详见解析【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程【易错点】判别式与根的关系【分析】（1）计算出Δ=2m（2）由方程的解的概念得出m2+6m=-7，代入到【详情解析】（1）∵Δ==4=8>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为3，∴32整理，得：m2∴2=2=2×=-14+2053=2039．【提优突破】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若x1,x2是上述方程的两个实数根，且满足【答案】(1)见解析(2)当k=1时，x=1或x=2，当k=-2时，x=-2或x=-1【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程【易错点】判别式与根的关系【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；（2）由根与系数的关系可求得x1+x2和x1【详情解析】（1）证明：∵Δ=[-(2k+1)]∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1∴x1∵x1∴(x1+x2)2当k=1时，方程为x2-3x+2=0，解得x=1当k=-2时，方程为x2+3x+2=0，解得x=-2或【提优突破】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．6．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2(1)判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m【答案】(1)方程有两个不相等的实数根(2)3+2【难度】基础题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程、三角形的性质【易错点】判别式与根的关系【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=4>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答；（2）先利用求根公式解方程得到x1=m+1，【详情解析】（1）解：关于x的一元二次方程x2∵Δ=-∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵Δ=-∴x=-∴x1=m+1，∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边，∵m+1>m-1，∴m+12整理得：m2解得m=3+22或m=3-2∴m的值为3+22【提优突破】本题考查了根的判别式∶一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2-4ac有如下关系7．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1，x2x1>【答案】(1)见解析(2)-3或-2或0【难度】难题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程【易错点】判别式与根的关系【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m，m+1，得出x1+3x【详情解析】（1）解：证明：∵Δ=[-(2m+1)]∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）∵x2-解得：x=m或x=m+1．∴一元二次方程x2-(2m+1)x+m2∵x∴x∴x2如果1+2m+1为整数，则m=-3或2或0或∴整数m的所有可能的值为-3或2或0或1【提优突破】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m的整数值．8．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1(1)代数式x2-12的不变值是______，(2)说明：代数式2x(3)已知代数式x2-nx+n【答案】(1)-3和4，(2)见解析(3)1【难度】难题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程【易错点】判别式与根的关系【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程2x2-（3）由A=0可得出方程x2-nx+n=x【详情解析】（1）解：依题意，得：x2-解得：x1=-3，∴A=4--故答案为：-3和4，7（2）解：依题意，得：2x2-∵Δ=-∴2x∴代数式2x（3）解：依题意，得：x2-nx+n=x∴Δ=-整理得：n2解得n=1．【提优突破】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．9．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）一元二次方程中，根的判别式Δ=b2-4ac解答：已知函数y=∴x2-6x∵b2-4ac（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根）因此y的最小值为-3，此时x2-所以当x=3时，y应用：(1)已知函数y=-4x2+6x-3，当(2)已知函数y=x2-2【答案】(1)34，-(2)即x为1时，y取最小值，最小值是23【难度】难题【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程、最值问题【易错点】判别式与根的关系、最值问题【分析】（1）仿照题目所给的解题方法解答即可.（2）先将y=x2-2x+3【详情解析】（1）解：已知函数y=-4∴4∵因此，y的最大值为-34解得x1=∴当x=34故答案为：3（2）已知函数y=∴y得(y-1)∵整理得12y≥8y≥因此y的最小值为23，此时得3x得x1=∴当x=-1，y即x为1时，y取最小值，最小值是2【提优突破】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当△≥0时，一元二次方程有实根，当△＜0时，一元二次方程无实根.知识点四：一元二次方程与新定义所谓新定义，就是指新定义通过类比、引申、拓展给出新的数学概念(数学公式);或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”,通过阅读材料呈现给初中学生,让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来,正确理解其内容、思想和方法,把握其本质,通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题,1．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考阶段练习）[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.1]=-3，[3.2]=3，如果x2=2x+3，-A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【难度】中等题【考点】新定义、一元二次方程解法【易错点】新定义的理解与应用【分析】当-2<x<3时，先确定[x]的取值，然后再依次验证是否满足x【详情解析】解：当-2<x<3时，[x]=-2，-1，0，1∵x∴[x]=当[x]=-2时，x2-32当[x]=-1时，x2-32=-1，得：x2=1，解得：当[x]=0时，x2-32=0，得：x2当[x]=1时，x2-32=1，得：x2当[x]=2时，x2-32=2，得：x2=7，解得：∴x=-1或x=符合条件的x的值有2个．故选：B．【提优突破】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论．2．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B=a2x2+（1）代数式：-2x2+3x的“（2）若8mx2+nx-5与6nx（3）当b1=b2=0时，无论x取何值，“同心式（4）若A、B互为“同心式”，A-2B其中，正确的结论有（

）个.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【难度】难题【考点】新定义、一元二次方程解法、根的判别式和实数的性质【易错点】新定义的理解与应用【分析】根据定义分别判断即可．【详情解析】解：（1）代数式：-2x2+3x的“同心式”为（2）若8mx2+nx-5与6nx2+4x+5互为“同心式∴m=-3，∴(m+n)2023=1（3）当b1=b2=0∵a1+∴a1=-∴A=-B，∴无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故（3）正确；（4）若A、B互为“同心式”，∴A-2B=(=(=3a∵有两个相等的实数根，∴Δ=(-∴b12=36故选：C．【提优突破】本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质，正确理解新的定义是关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的一半，那么称这样的方程为“半根方程”．例如，方程x2+2x(1)方程x2-x-(2)若关于x的方程x2+mx+1=0是“半根方程【答案】(1)不是，理由见解析(2)m=32【难度】难题【考点】新定义、一元二次方程解法、根的判别式和实数的性质【易错点】新定义的理解与应用【分析】（1）解出x2-x-6=0的两根，利用“（2）根据“半根方程”定义，设出方程的两根分别为a，2a，利用根与系数的关系求出【详情解析】（1）由x2-x-6=0，得：x-3因为-2≠12×3，由“半根方程”的定义知道x2（2）解，设x2+mx+1=0的两根分别为a，2a，根据韦达定理可得：a+2a=-ma⋅2a=1即3a=-m2故m=322【提优突破】本题综合考查了因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系，关键是掌握因式分解法的基本步骤，以及灵活运用根与系数的两种关系：两根之和、两根之积分别与系数的关系．4．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k=169，因为62=4×1×9，所以169是“(1)已知一个“喜鹊数”k=100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a、b、c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式____________(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c=0①与cx2+(3)在（2）中条件下，且m+n=-2【答案】(1)b2-4ac=0(2)mn=1(3)121，242，363，484【难度】难题【考点】新定义、一元二次方程解法、根的判别式和实数的性质【易错点】新定义的理解与应用【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m、n互为倒数，又m+n=-2得出m=-1，n=-1，求出b=a+c，a=c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详情解析】（1）解：∵k=100a+10b+c是喜鹊数，∴b2=4ac，即∵42=16，4×2×1=8，∴241不是喜鹊数；∵22=4×1×1∴121是喜鹊数，故答案为：b2-4ac=0（2）解：∵x=m是方程①ax2+bx+c=0的一个根，x=n是方程∴am2+bm+c=0将cn2+bn+a=0，两边同除以n将m，1n看成是方程a∵b2∴方程ax∴m=1∴mn=1，故答案为：mn=1；（3）解：∵m+n=-2，mn=1，∴m=-1，n=-1，∴a-b+c=0，∴b=a+c，∵b2∴a+c2=4ac解得a=c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；故答案为：121，242，363，484．【提优突破】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．5．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根为x1，x2(1)若关于x的一元二次方程为x2①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；②直线l1:y=x+5与x轴交于点A，直线l2过点B1,0，且l1与l2相交于点(2)是否存在b，c，使得不论kk≠0为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点【答案】(1)①见解析；②0<m<2(2)存在，b=-9，c=18【难度】难题【考点】新定义、一元二次方程解法、根的判别式和实数的性质、数形结合思想【易错点】新定义的理解与应用、数形结合思想【分析】（1）①计算判别式Δ=4>0，得到该方程总有两个不等的实数根，再通过因式分解法解一元二次方程得到其两根，从而得到该方程衍生点M的坐标；②由Mm-2,m，令m-2=x，m=y，知点M在上直线y=x+2，由直线y=x+2与△ABC的边BC交于点0,2，AB交于点-2,0得到-2<m-2<0（2）分析出不论kk≠0为何值，直线y=kx+32-k过定点M3,6，即为关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点【详情解析】（1）①x2∵Δ=-∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，x2x-解得：x1=m-2，方程x2-2②∵直线l1:y=x+5与x轴交于点∴A-由①得，Mm-2,m令m-2=x，m=y，∴y=x+2，∴点M在直线y=x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点0,2，令y=0，则x+2=0，∴x=-2，∴-2<m-2<0∴0<m<2；（2）存在．直线y=kx+32-k=kx-3∴x2+bx+c=0两个根为x1∴3+6=-b，3×6=c，∴b=-9，c=18．【提优突破】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题．6．（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax(2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b【答案】(1)见解析(2)ab=8【难度】难题【考点】新定义、一元二次方程解法、根的判别式、勾股定理【易错点】新定义的理解与应用【分析】（1）结合勾股定理证明一元二次方程的根的判别式Δ≥0即可；（2）把x=-1代入方程可得a+b=2c，进而可求出c=4【详情解析】（1）证明：根据题意得：Δ=2∵a∴2c即Δ≥0，∴勾系一元二次方程ax（2）当x=-1时，有a-2c+b=0，即∵2a+2b+2c=122∴32∴c=4，∴a2+∵a+b∴32=16+2ab，∴ab=8.【提优突破】本题考查了一元二次方程的根的判别式、勾股定理以及完全平方公式的变形等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键.知识点五：方程与几何/函数一元二次方程与几何和函数都是紧密联系在一起，时常把方程作为解决这类题的工具，要巧妙的学会把方程和函数及几何联系在一起的思想考点五：方程与几何/函数1．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴负半轴上的一点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为m,3，则m的值为（

A．-433 B．-2213【答案】D【难度】难题【考点】方程与函数、辅助线问题、等边三角形、旋转性质【易错点】辅助线、旋转的性质【分析】过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A(0,2),C(m,3)，可表示出CE=-m=OD,CD=3,OA=2，用勾股定理表示出有关线段的长，根据OB+BD=OD列方程求解即可．【详情解析】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∠DOE=90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB=AC,∠BAC=60°∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵A(0,2),C(m,3)，∴CE=-m=OD,CD=3,OA=2，∴AE=OE-OA=CD-OA=1，∴AC=A在Rt△BCD中，在Rt△AOB中，∵OB+BD=OD=-m，∴m2化简变形得：3m解得m=533∴m=-5故选：D．【提优突破】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．2．（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）如图，矩形ABCD的边在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=3x的图像经过A，E两点，若点E的横坐标为m，则点A的坐标为（用含m的代数式表示），当∠ABD【答案】m2,【难度】难题【考点】数形结合思想、函数的性质、解一元二次方程【易错点】函数的性质、数形结合解题思路【分析】过点E作EG⊥BC交BC于点G，易知BG=CG，求出AB即可求出点A的纵坐标，代入y=3x即可求出点A的横坐标；当∠ABD=45°时，AB=AD，将AB、【详情解析】解：如图，过点E作EG⊥BC交BC于点G，∵点E的横坐标为m，且点E在函数y=3∴点E的纵坐标为y=3∵点E是对角线BD的中点，四边形ABCD是矩形，∴点E是AC与BD的交点，∴EB=EC，∴BG=CG=1∴AB=2EG=6m，即点A的纵坐标为代入y=3x得点A的横坐标为∴Am当∠ABD=45°时，AB=AD，∵点A的横坐标为m2，点E的横坐标为m∴BG=m∴BC=m，∴AD=m，则6m=m，即解得：m1=6∴m=6故答案为：m2,6【提优突破】本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，一元二次方程的解法等知识，解题应用了数形结合的思想；函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上，这是在解答函数问题经常用到的知识点，需理解掌握，并能在解题中进行灵活运用．3．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在x轴的上方作正方形OABC，其对角线交点Pm,n在第一象限，双曲线y=kxx>0经过点【答案】5【难度】难题【考点】数形结合思想、函数的性质、解一元二次方程、全等问题【易错点】函数的性质、数形结合解题思路【分析】过点C作x轴的垂线垂足为点N，过点A作x轴的垂线垂足为点M，连接PM、PN，则∠AMO=∠ONC=90°，证明△CON≌△OAMAAS，则OM=CN,AM=ON，∠AOM=∠OCN，则∠POM=∠PCN，证明△POM≌△PCNSAS，∠MPO=∠NPC,PM=PN，得到∠MPN=90°，则△PMN是等腰直角三角形，作PH⊥ON于点H，可得PH=n,OH=m，PH=MH=NH=12MN=n,得到ON=m+n,CN=OM=n-m，则点C的坐标是m+n,n-m，由双曲线y=kxx>0【详情解析】解：过点C作x轴的垂线垂足为点N，过点A作x轴的垂线垂足为点M，连接PM、PN，则∵四边形OABC为正方形，∴AO=OC,∠AOC=90°，AC⊥OB,PO=PC，∴∠OPC=90°，∵∠AOM+∠CON=180°-∠AOC=90°，∠AOM+∠OAM=90°，∴∠CON=∠OAM，∴△CON≌△OAMAAS∴OM=CN,AM=ON，∠AOM=∠OCN，∴∠AOM+∠AOP=∠OCN+∠PCO，∴∠POM=∠PCN，∵PO=PC,OM=CN，∴△POM≌△PCNSAS∴∠MPO=∠NPC,PM=PN，∴∠MPO+∠OPN=∠NPC+∠OPN=∠OPC=90°，即∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，作PH⊥ON于点H，∵Pm,n∴PH=n,OH=m，则PH=MH=NH=∴ON=OH+NH=m+n,C