海天2012年考研《数学》真题

第三节一、三重积分的概念

二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第九章一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限〞解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回结束定义:是空间有界闭区域将区域其中表示第个小闭区域，也表示它的体积，在每个上任取一点作乘积并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，和式的极限总存在，那么称此极限为函数在闭区域上的三重积分，记作即上的有界函数,任意分成n个小闭区域:积分区域被积函数积分表达式体积元素积分和其中叫做积分变量。注意：定义中的极限是否存在且等于I与区域的分法和点的取法无关。在直角坐标系下性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理.在有界闭域

上连续,V为的体积,

那么存在使得二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二〞,然后化为三次积分)方法2.截面法(“先二后一〞)机动目录上页下页返回结束方法1.投影法(“先一后二〞)机动目录上页下页返回结束假设平行于z轴的直线穿过闭区域

时与的边界曲面S只有两个交点。把闭区域

投影到得投影区域以区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，此柱面闭与区域的交线把边界曲面S分成上下两片，其方程分别为：其中和都是区域上的连续函数。此时闭区域可以表示为：那么有类似地，如果平行于x轴(或y轴)的直线穿过闭区域

时与的边界曲面S只有两个交点，把闭区域

投影到面上。然后化三重积分为三次积分。假设方法2.截面法(“先二后一〞)记作机动目录上页下页返回结束那么有：其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束例2.

计算三重积分解:

用“先二后一〞机动目录上页下页返回结束2.利用柱坐标计算三重积分

，就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束如下图,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域外表用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相别离.机动目录上页下页返回结束其中

为由例3.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束例4.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分

为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动目录上页下页返回结束从正z轴看自x轴按逆时针方向转到的角为就称如下图,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域外表用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相别离.机动目录上页下页返回结束例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中

与球面机动目录上页下页返回结束例6.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz

机动目录上页下页返回结束内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可别离.围成;机动目录上页下页返回结束1.

将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,机动目录上页下页返回结束2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动目录上页下页返回结束3.

设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束作业P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节目录上页下页返回结束备用题

1.计算所围成.其中由分析：假设用“先二后一〞,那么有计算较繁!采用“三次积分〞较好.机动目录上页下页返回