(高中试题课件)2022届高三数学一轮复习讲义-向量极化恒等式专题

2021-2022学年高三一轮复习向量--极化恒等式公式推导在△中，是边的中点，则.如图，由得证.类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。注：平行四边形中AD2+BC2=2(AB2+AC2)极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。与课本的渊源课本上有：在中，是课本上出现的2个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非是这两个公式的逆用，说明极化恒等式源与教材；向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换已经深入人心，而与几何的运算练习略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示的淋漓尽致。【典型例题】【例1】已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是．【答案】【解析】【例2】(江苏高考题)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是________.【答案】解得：，所以.【例3】（苏州市2020年高三上学期期中）如图，在四边形中，，，为的中点.（1）若，求的面积；（2）若，求的值.【解析】解：（1），，，.（2）以E为原点，AC所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2,0)，设D，由，可得，则∴.【极化恒等式的解法】第二问【例4】如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.【解析】取的中点，连接，则，在中，，【例5】如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点M为边BC上的动点，则的最小值为▲．用极化不等式的解法如下：设是的中点，作于，延长交的延长线于，由题意可得：.则，所以.【例6】在△中，已知，，则的最大值为.解析：设是的中点，连接，点是△的外心，连接并延长交圆于，由△是等边三角形，，则所以.【例7】（全国III卷理科真题）已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，则所以.【例8】如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为.解析：取的中点，连接，，由,，由四点共圆，且直径为.则所以.【例9】(2020南通押题密卷11)如图，已知点O为△ABC的重心，OAOB，AB，则的值为．【解析】法1：连结CO并延长交AB于点M(如图1)，则，因为，所以．法2：以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系(如图2)，则，，设，则易得，因为OAOB，所以，从而，化简得，，所以．法3：极化恒等式.【例10】在平面四边形中，为的中点，且，．若，则的值是．【答案】9【解析】【例11】如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________.【解析】如图，中点，因为【例12】（2020南京29中模拟考）在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.【解析】取中点【例13】如图，已知正方形的边长为2，为的中点，以为圆心，为半径，作圆交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值是____________.【解析】当三点共线时最小，此时【巩固训练】在中,若,,在线段上运动，的最小值为已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为_________3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为4．在，，已知点是内一点，则的最小值是.5.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．6.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.7．在锐角中，已知，，则的取值范围是．8.正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为9.已知是单位圆