单自由度模态分析理论

1．1引言模态分析的理论根底是在机械阻抗与导纳的概念上进展起来的。虽然机械阻抗的概念早在20世纪30年月就已经形成，但进展成为今日这样较为完整的理论与方法，却经受了较长的岁月。近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动掌握理论中的有关“养分”，结合自身内容的进展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的进展奠定了理论根底。1．2单自由度频响函数分析单自由度系统是最根本的振动系统。虽然实际构造均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能提醒振动系统很多根本的特性。由于他简洁，因此常常作为振动分析的根底。从单自由度系统的分析动身分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的根本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为很多单自由度系统特性的线性叠加。下面我们分别对粘性阻尼和构造阻尼系统的频响函数理论进展争论，并推导他们的表达式。一、粘性阻尼系统对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即

〔1—1〕式中：及均为时间的函数。对于自由振动〔〕，上式可以写为：其解的形式为:

式中：为复数；为不依靠时间的量。〔1—3〕系统的力学模型如下图。其振动运动方程为：〔1—2〕〔1—4〕对〔1—2〕式两边进展拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得式中：为拉氏变换因子；为的拉氏变换，而则为的拉氏变换。对自由振动而言，可得由上式可解得的两个根，式中：，系统的无阻尼固有频率；为阻尼比。为无量纲因子。一般钢构造属于小阻尼，对的阻尼称为欠阻尼。

〔1—5〕〔1—6〕〔1—7〕〔1—8〕则模态解的形式为：这是带复固有频率的振动单模态，可分为两局部：X0t衰减振荡周期指数衰减虚部(或振动局部)，频率为：实部(或衰减局部)，阻尼比为：前面的，为共轭复数，他们的实部为衰减因子，反映系统的阻尼；其虚部表现有阻尼系统的固有频率。模态模型两局部的物理意义表示在典型自由响应图中，〔如图〕〔1—5〕式中的具有刚度特性，故称为系统的动刚度。在肯定的鼓励作用下，其数值与系统的响应成反比。他具有阻挡系统振动的性质。因此称为系统的机械阻抗，简称阻抗〔与电学中的阻抗有类似之处〕，现令其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数，〔1—9〕〔1—10〕假设对〔1—2〕式在付氏域进展变换，即，则阻抗与导纳公式可写为：式中又称为频率响应函数，简称频响函数。位移导纳，传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度。在实际应用上〔对稳定线性弹簧质量系统而言〕这三个名称并不严格加以区分。〔1—11〕〔1—12〕由〔1—10〕式及〔1—12〕式可见，传递函数与频响函数均为复数。〔1—12〕式还可以表示为式中，称为频率比。〔1—13〕由〔1—11〕式可见，系统的位移阻抗由三局部组成，即质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为质量阻抗——;阻尼阻抗——

;刚度阻抗——

他们的位移导纳分别为各自的倒数，即质量导纳——

刚度导纳

——刚度导纳

——上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。假设系统的输出为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。对于不同的阻尼器，其阻抗与导纳的表达式亦不同。表1给出了单自由度系统各元件的各种阻抗与导纳的表1达式。表一单自由度系统元件的阻抗与导纳大家可以觉察表1的规律，假设由左边项求右边项时，对阻抗则除。对导纳则乘；假设由右边项求左边项时，则对阻抗则乘，对导纳则除。对无阻尼系统，可由〔1—11〕及〔1—12〕式很便利地求出其阻抗与导纳的表达式：〔13b〕；〔13c〕二、构造阻尼〔滞后阻尼〕系统对于实际金属构造，常常不能用粘性阻尼来描述他们的衰减特性。实际构造的阻尼主要来源于金属本身材料的内部摩擦〔内耗〕及各部件连接界面〔如螺钉、铆钉、忖垫等〕之间的相对滑移。因此构造阻尼主要由材料内部阻尼与滑移阻尼两局部组成。构造阻尼的阻尼力与振动位移成正比，相比照位移超前900，即与速度方向相反，即式中为结构阻尼系数，他与刚度成正比，〔1—14〕〔1—15〕式中为结构损耗因子，或称结构阻尼比，是无量纲因子。对构造阻尼系统而言，运动方程可写成由〔1—15〕式，上式可改写为〔1—16〕对上式两边进展拉氏变换，可得(1—17〕因此传递函数及频响函数分别为〔1—18〕将上式写为实部与虚部，〔1—19〕〔1—16〕式中的称为复刚度。由〔1—13〕式与〔1—19〕式比较可见，对粘性阻尼和构造阻尼，频响函数表达式具有相像的形式，只要将与相互置换，便可得到各自的频响函数表达式。其中：为加速度频响函数；为速度频响函数；为位移频响函数.

以上所述的频响函数是位移

为对象推导而得。频响函数还可以用速度与加速度来表示。〔1—20〕在实际应用中，由于测量加速度比较便利〔主要是传感器的缘由〕，故加速度导纳应用比较普遍。与上述三种导纳相对应的有三种阻抗，即位移阻抗〔又称动柔度〕、速度阻抗〔又称机械阻抗〕、加速度阻抗〔又称视在质量〕。他们是相应导纳的倒数。1.3单自由度系统频响函数数据曲线表现方式、特性及描述有了单自由度系统根本位移导纳频率函数表达式之后，我们转而留意这些数据的各种显示或表达方法。首先争论频响函数根本形式的变化，然后探究用图形表示其特性的不同方法，最终，探讨所形成的图形中某些有用的几何性质。频响函数数据的图形表示频响函数数据绘图的简单性在于导出的频响函数是复函数，他们有三个量，即频率、复函数的实部、虚部。而这些量不能全部展现在一张标准的x—y图上。由于平面曲线只能表示两个变量，从而描述频响函数就有各种不同的组合。下面我们争论三种最常见的表达形式：〔1〕、频响函数的模〔幅值〕作为频率的函数〔简称幅频图〕图；相位作为频率的函数图〔简称相频图〕〔又称波德图B0de〕。〔2〕、频响函数的实部作为频率的函数图〔简称实频图〕；虚部作为频率的函数图〔简称虚频图〕。〔3〕、实部作为虚部的函数图〔尼奎斯特图Nyquist〕,〔一个不含频率信息的图〕。相位3601800位移导纳141050频率Hz(a)无阻尼单自由度系统的导纳图020406080100我们下面来争论一下这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：典型的无阻尼单自由度系统位移导纳的经典波德图〔如图(a)所示〕。该系统响应的速度导纳和加速度导纳分别见如图(b),(c)。〔见所发的图〕相位3601800速度导纳151050020406080100频率Hz(b)无阻尼单自由度系统的导纳图相位3601800加速度导纳210频率Hz(c)无阻尼单自由度系统的导纳图020406080100由于振动数据很多，表示频响函数特性的可能问题之一，是数据分布在较宽的数据范围内，无论使用上述频响特性图的何种形式，总有一些数据不能包括在内。承受对数坐标可解决这个问题。(a)无阻尼单自由度系统的对数—对数导纳图10kg100kg1000kg位移导纳（0Db=1m/N）-100-120-140-160110100频率105N/m106N/m107N/m10000kg我们下面来争论一下这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：现将上面列出的三个频响函数图的频率轴和幅值轴都承受对数坐标，并重新画出曲线图〔如图〕。10kg100kg1000kg速度导纳（0DB=1m/N）-60-80-100-120110100频率(b)无阻尼单自由度系统的对数—对数导纳图107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度导纳（0DB=1m/N）-20-40-60-80-100110100频率(c)无阻尼单自由度系统的对数—对数导纳图坐标变换的结果可把每张图分成三局部：1、低频直线图；2、高频直线图；3、带有陡崤的幅值和相位变化的共振区。用对数——对数坐标的另一好处是，他把有关的频响函数特性分别成单个的质量元件和弹簧元件。从图中可以看出这些质量和刚度特性在对数坐标中呈直线。质量和刚度元件的频率响应〔2〕、小粘性阻尼单自由度系统的一对实频和虚频图见如图。我们已给出了全部三种类型的频响函数图，从这些图中可以看出共振区相位的变化状况——其特点在于，一个图上曲线的零点总是另一图上的曲线峰值〔最大或最小〕处发生。这里必需留意，在用实频和虚频表示频响函数特性时，不能用对数坐标，由于对数坐标不能兼容正值和负值。30-3位移导纳（实部）02040频率30-5-10位移导纳（虚部）02040频率位移导纳图0.50-0.5速度导纳（虚部）02040频率(Hz)速度导纳（实部）10.50-302040频率(Hz)速度导纳图加速度导纳图500-50加速度导纳（实部）02040频率(Hz)100500-50加速度导纳（虚部）02040频率（Hz）〔3〕、尼奎斯特图即矢量端图，是被工程广泛使用并能有效地显示共振区细部的方法。如下图。ReImReImReIma位移导纳b

速度导纳c

加速度导纳具有结构阻尼单自由度系统的尼奎斯特图从图中可以看出各个图形很象一个圆。事实上，除粘性阻尼的速度导纳以及构造阻尼的位移导纳为一个准确圆，其他则只是一个近似圆。其阻尼愈小，则图形愈圆。〔如图〕图中表示了单自由度粘性阻尼系统的尼奎斯特形式的频响函数图。这种图的特点是将离开共振区的点彼此靠的很近，这样就突出了共振区，故尼奎斯特图对试验模态具有很大的吸引力。单自由度系统频响函数的特性〔图形的数学形式不讲〕下面争论一下单自由度系统频响函数的两种典型状况的一些根本几何特性。〔1〕、粘性阻尼系统尼奎斯特速度导纳图当频率从零扫描到无穷大的时，两个轨迹都是准确的圆。现争论粘性阻尼状况从〔1—7〕式和〔1—13〕式得速度导纳为：(2—24)故；令和于是〔1—25〕因此，在

对的曲线图上，当

变化时，将画出半径为，圆心在处的圆，如图(b)所示。〔2〕、构造阻尼系统尼奎斯特位移导纳图对于迟滞〔构造〕阻尼的状况，可从方程〔1—9〕得到略有差异的频响函数表达式：〔1—26〕故也就是说，对于一个有构造阻尼的单自由度系统来说，其位移导纳尼奎斯特图将是一个半径为，圆心在见图(a)的圆。〔见发的图表〕虽然没有得到象上述粘性阻尼那样的表达式，但可以看出：〔1—27〕1.6各种不同鼓励下频响函数的表达式频响函数〔或传递函数〕反映系统输入、输出之间的关系，并表示系统的固有特性。它与鼓励力的形式与大小〔限于线性范围以内〕无关。但是在不同类型鼓励力的作用下，它的表达形式常不同。下面我们对正弦、周期、瞬态及随机等几种鼓励类型，确定频响函数的表达式。一、简谐鼓励对于线性时不变系统，在简谐鼓励力作用下，系统的运动为简谐运动，并且频率与力频率一样。鼓励力为：位移响应为：式中，及分别为鼓励与响应的相位角；，为鼓励力与响应的复数幅值。因此，位移频响函数〔位移导纳〕为：〔1—28〕在实际工程构造分析与测量时，应变常常是特别重要而且易于测量的一个量。应变片作为一种传感器亦常常被承受，由于它的体积小、质量轻，对试件的约束小，而且可通过它测量应变，从而计算应力。此时，系统的输入为力，输出为应变，因此应变阻抗及导纳可分别表示为：

另外目前工程中还有应变导纳的概念，这对实际测量很有好处。应变阻抗:

；应变导纳:

式中~是对应物理量的傅立叶变换。二、周期鼓励周期鼓励力具有周期性，但不肯定是正弦力，例如方波、锯齿波鼓励力等属于此类周期鼓励力。此时系统的频响函数不再具有如〔2—14〕式所示的简洁形式。但是，众所周知，任何周期函数，总可以用傅立叶分析方法开放成一系列具有频率、幅值与相位的正弦级数。设鼓励力为，则可写成，这样，便可得到力函数的各个频率重量。同理，对响应亦可写成对周期函数而言，频响函数定义为各频率点上响应与鼓励力之复数幅值比，〔1—29〕响应与激励的级数具有相同的离散频率，他们都等于的整数倍。式中、

均包含幅值与相位两个成分。三、瞬态鼓励对瞬态振动而言，鼓励与响应均非周期函数。但是他们常常是确定可积的力函数〔如脉冲力、阶跃力等〕，他们满足狄利克雷〔D〕条件，因此其傅立叶变换可由下式计算：同理，对响应亦有此时，系统的频响函数定义为系统的输出〔响应〕与输入〔鼓励〕之傅立叶变换之比，〔1—30〕

我们亦可以在拉氏域中定义频率响应函数，此时频率响应函数又称为传递函数。它定义为系统的输出与输入的拉氏变换之比。〔1—31〕傅氏域及拉氏域的频响函数和传递函数的描述如下图。传递函数与频率响应函数图O

曲面曲线由上式可知:对上式进展傅立叶逆变换，得：令鼓励为脉冲鼓励，即此处表示在时作用得单位函数，又称为D函数。此时得系统响应为单位脉冲响应，以表示。故〔1—32a〕〔1—32b〕他们互为傅立叶变换对。由上式可见，单位脉冲响应为频响函数的傅氏逆变换。而的傅氏变换为频响函数四、随机鼓励(不讲)随机振动是一种非确定性振动，它无法用一个确定的函数来描述，它的时间历程信号有随机的性质，它不满足狄利克雷条件。因此，无论是鼓励还是响应信号都不能进展傅立叶变换，只能用概率统计的方法来处理。在此，引入两个很重要的描述随机信号的参量函数，即相关函数和功率谱密度函数。前者是一个时