专题3.8 抽象函数问题（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题3.8抽象函数问题题型一抽象函数的定义域题型二抽象函数的值域题型三求抽象函数的解析式题型四抽象函数的奇偶性题型五抽象函数的周期性题型六抽象函数求解不等式题型一 抽象函数的定义域例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若函数的定义域为，则复合函数有意义要满足.【详解】因为函数的定义域为，则有意义要满足，解得，故选：D例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】解：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为.故选：C练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果.【详解】因为函数的定义域为，所以要使有意义，则，解得且，所以原函数的定义域为，故选：C．练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.故选：B.练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______.【答案】【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.【详解】因为函数的定义域为，所以，即，解得故函数，则函数的定义域是故答案为：练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.【答案】【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即，所以对于，有，即，由的单调性得，解得，所以的定义域为.故答案为：.练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可.【详解】∵函数的定义域为，即，∴，又∵，解得，∴的定义域为,故选：.题型二 抽象函数的值域例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解【详解】当，时，，，则当，时，即，，所以；当，时，即，，由，得，从而，；当，时，即，，则，．综上得函数在，上的值域为，．故选：D．例4．（2021·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域.【答案】（1）f(1)=1，f(4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）可令解得，再令，可得f（4）；（2）函数在上为增函数，可令，运用条件和单调性的定义，即可得证；（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.【详解】（1）可令时，=-；令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；（2）函数在上为增函数.证明：当时，有，可令，即有，则，可得，则在上递增；（3）由在上为增函数，可得在递增，可得为最小值，为最大值，由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，则的值域为.练习6．（2022·全国·高三专题练习）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．【答案】【分析】利用函数奇偶性的定义结合的值域即可求出的值域.【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数得到，因为函数的值域为即所以又，得所以的值域为：.故答案为：.练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据的值域为，即，即可求出，，，以及的范围，从而可求解．【详解】的定义域为，值域为，即；对于A,，即的值域为，故A错误；对于B,，即的值域为,故B错误；对于C,，即的值域为，故C正确；对于D,，即的值域为，故D错误．故选：C．练习8．（2022·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为RC．函数的定义域和值域都是RD．函数的定义域和值域都是R【答案】B【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；对于③，因为，则，③满足条件；对于④，因为，，则，④满足条件.故选：B.练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.【答案】【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是.故答案为：题型三 求抽象函数的解析式例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.【答案】【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.【详解】中，令，解得，令得，故，不妨设，满足要求.故答案为：例6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且，时，，，则（

）A．B．函数在区间单调递增C．函数是奇函数D．函数的一个解析式为【答案】ABD【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.【详解】A项：因为，当时，，令，则，解得，A正确；B项：任取：，则，因为当时，，所以，，所以，即，所以函数在区间单调递增，B正确；C项：令，则，解得或，当，且时，令，则，若为奇函数，则，即，解得，与题意矛盾；当时不为奇函数．综上所述，函数不是奇函数，C错误；D项：当，则，，所以，易得在上单调递增，所以时，，，故函数的一个解析式为，D正确．故选:ABD练习11．（2023秋·江苏南京·高三统考期末）（多选）已知函数，对于任意，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.【详解】令，故A正确；由已知，①令满足题干要求，则，故B错误；由①可知，令，则，又因为，则，所以，故C正确；因为，所以，又由①，令，则，所以，故D正确.故选：ACD.练习12．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.【详解】如：，则，，又，则，此时在区间上单调递增，满足题设.故答案为：（答案不唯一）练习13．（2019秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，.（1）求证：；（2）求证：对任意的，都有；【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【分析】（1）令，即可求得；（2）令，由以及即可证得结论；【详解】（1）令，则，（2）令，则，.【点睛】本题主要考查抽象函数的函数值，解题的关键是根据题干赋恰当的数值，属于基础题练习14．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）【答案】【分析】由题意猜想，验证满足条件.【详解】若，满足.若，满足.故答案为：，答案不唯一.练习15．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件“①函数为增函数，②”的一个函数_____．【答案】(答案不唯一)【分析】由指数函数及幂运算性质即可判断.【详解】由题意，指数函数均满足①②.故答案为：(答案不唯一)题型四 抽象函数的奇偶性例7．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件得到函数的对称性，根据对称性求值，即可求解.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以函数关于点对称，且因为是定义域为的偶函数，所以，所以函数关于直线对称，所以，即.故选：A例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数【答案】BD【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.【详解】令，则，∴或1．令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.故选：BD．练习16．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．【答案】AC【分析】令可得，从而可判断B；令可判断A；令，可得，令可判断C；由AC的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.【详解】在中，令，可得，即，解得，故B错误；令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；令，则，故，令，可得,故，故C正确；因为是偶函数，所以，故,即，所以,所以，故函数的周期为2，因为，，所以，.所以，故D错误.故选：AC.练习17．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.【详解】的定义域关于原点对称，因为，，，故令时，，令时，，令，时，，，即，∴是偶函数，又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数.故选：B.练习18．（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（

）A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】AB【分析】对于A项、B项，令，令代入计算即可；对于C项、D项，举反练习判断即可.【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.故选：AB.练习19．（2022秋·高三单元测试）若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是_________________.【答案】③【分析】令，得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.【详解】对任意，有，令，得，令，，得，整理得，故为奇函数，无法判断的奇偶性.故答案为：③.练习20.（2023春·广东广州·高三统考开学考试）（多选）若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的，D选项是正确的.故选：ABD.题型五 抽象函数的周期性例9．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（

）A．2022 B．2018 C．4036 D．4044【答案】D【分析】由赋值法可得，构造，说明为奇函数，由可得结果.【详解】对任意有，则令，令，令，则，故为上的奇函数，故.故选：D.例10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.【详解】令，则或，故A错误，若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，令，则，所以关于中心对称，故C正确，由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，令，则，故，进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.故选：BC练习16．（2023·河南开封·统考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的对称性得到函数的周期为，得到，根据条件，解出.【详解】解：因为函数的定义域为，为奇函数，所以，又因为为偶函数，所以的对称轴为，则为周期函数，周期为.则有，设，根据对称性，且，所以，所以，即，因为，所以，即.故选：.练习17．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．【答案】2【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函数的周期为.因为是定义域为的奇函数，所以，即.令，则，解得，所以.故答案为：.练习18．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得，再结合已知值及周期性求解作答.【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，又为偶函数，则，即，于是，则，即是以为周期的周期函数，由，得，，，，所以.故选：D练习19．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以，因为，所以.故选：C.练习20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；对于B，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，代入已知等式得，可得，结合得，，再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，，所以，所以，故D正确.故选：D.题型六 抽象函数求解不等式例11．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.【详解】对任意,恒有，令可得，因为当时,故，所以，令可得，所以，当时,,根据已知条件得,即，所以.故选：ABC.例12．（2023·高三课时练习）已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件赋值求出，结合函数的单调性解不等式.【详解】因为，，令，易得．因为是定义在上的减函数，且，所以，解得．故选：A．练习21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．【答案】【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【详解】解：不等式等价为或，则，或，故不等式的解集是．故答案为．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．练习22．（2022秋·高三课时练习）已知函数的定义域为，函数的定义域为．若不等式的解集为，则不等式的解集为_______