专题25 圆锥曲线与垂心问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题25圆锥曲线与垂心问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（

）A． B． C． D．【解析】由点是抛物线上的两点，且，根据抛物线的对称性，可得关于轴对称，设直线的方程为，则，因为的垂心恰好是抛物线的焦点，所以，可得，即，解得，即直线的方程为.故选：C.

2．已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【解析】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)，故选：B3．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】如图所示：双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或，所以，，因为的垂心为的焦点，所以，即，即，所以，故选：A4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】抛物线的焦点的坐标为，设所在的直线方程为所在的直线方程为，由得∴点的坐标为，∵是的垂心，∴，∴∴﹒故选：C﹒5．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（

）A． B． C． D．【解析】设点，则点，设点在第一象限，抛物线的焦点为，设的垂心为，由于，则点的横坐标为，可得点，，则，，，，解得，所以，点的坐标为，所以，，.故选：B.6．设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（

）A．存在唯一的，且B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内C．存在唯一的，且D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内【解析】由题意可设，设的垂心，则，，由可得，解得，故.因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，即，化简可得，设，则.作出与的图象，因为当时，，当时，，故存在唯一的，且，使得当.即存在唯一的，且，使得.故选：A.7．已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心、为半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（

）A． B．C． D．【解析】连接交于，由题意知，，，，，，在中，，，，所以，，因为，，所以，，，所以，整理得，即，整理得，设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.故选：B.8．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】椭圆的左右焦点为，，由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，对两边同时求关于的导数，得，则，则椭圆在点处的切线斜率为，则椭圆在点处的切线方程为，即，即；同理，椭圆在点处的切线方程为，由得，则，所以，即；又的垂心为，则，，即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，由得，所以，则，因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（

）A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2B．若点恰为的垂心，则的周长为C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为D．若，则点纵坐标的取值范围是【解析】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，，所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误；对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以，则，，又由可得，所以，则，，所以，，则的周长为，B正确；对于选项C，若与倾斜角互补，则，即，所以，则，故C错误；对于选项D，若，由可得，即，即（，与2互不相等），将看作关于的一元二次方程，令，解得，又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确，故选：BD.10．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（

）A．点的中点在轴上B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当的垂心在抛物线上时，D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，设点，则点，所以，线段的中点为，A对；对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形，因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上，，则直线的方程为，联立可得，则，所以，直线与抛物线相切，B错；对于C选项，设点为第一象限内的点，若的垂心在抛物线上时，设点，其中，将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点，由题意可知，、、三点共线，，，由可得，整理可得，解得，所以，，即点，所以，，，C对；对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则，此时，为直角三角形，D错.故选：AC.11．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（

）A．外心的轨迹是一条直线B．当变化时，外心的轨迹方程为C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上D．若分别是中点，则的外接圆过定点【解析】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.设.当点在双曲线上时：设直线与双曲线交两点

当直线与双曲线相切时，此时切点满足：切线设直线与渐近线交两点

切点正是线段的中点，∴；线段中垂线是.中垂线与轴交于点，且.可设一方面，；另一方面，线段中点是考虑到∴，点

确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！依（1）设线段中点是线段中垂线是，即线段中垂线是，即∴，即外心的轨迹方程为.故选项B错！（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而化简得∴把代入并化简得：考虑到不在渐近线上得，故∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；（4）设共圆！的外接圆过定点原点，选项D对.故选：AD12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A． B． C． D．【解析】设，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，，化简得，此时双曲线的离心率；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得或，此时双曲线的离心率或，若为重心，为垂心、为外心，则，所以，化简得或都不成立.综上所述：或或或.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为．【解析】把代入中，得，即，假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，设，显然直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得：，即∵的垂心为，∴即，或当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，∴存在这样的直线，其方程是14．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为．【解析】由题意知，,设，，则，故，则，∴15．已知点在椭圆C：上，过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是．【解析】（1）当直线斜率不存在时，设，此时，则，∴，又，联立解得或（舍去），∴.（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）联立化为，则，，，∴，，代入（*）可得．∴，解得，综上可知：实数m的取值范围为．16．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为．【解析】易知，，直线的斜率为，因椭圆的右焦点恰好为的垂心，则，从而直线的斜率为2．设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有，消去y得：．由，得，设，，由韦达定理有：，．右焦点恰好为的垂心，故．又，则.解得或．当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．故直线的方程为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）依题意得，，即，则，又，则，所以所求椭圆的方程为．（2）由（1）知，故直线MF的斜率为．若符合题意的直线l存在，可设直线，由，消去y整理得，则，即．又，则，由F点恰为的垂心等价于，即．由于，故，所以或．当时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去．故直线l的方程为．18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)【解析】（1）由题意可知，椭圆C1的离心率，设椭圆C2的方程为，则，，解得，所以椭圆C2的方程为.（2）证明：设，则由得，把带入椭圆，得，因为在轴的同侧，所以，所以，所以,所以，又，所以H为△PA1A2的垂心．19．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.

(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【解析】（1）设直线l的方程为，，.由得.所以，.由抛物线定义，得.当直线l的倾斜角为30°时，，.所以，即抛物线C的标准方程为.（2）由（1），得，.因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.所以直线AP的方程为，即.同理可得，直线BP的方程为.联立方程解得即.所以点P在定直线上.20．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，由的垂心为，得，所以，则，解得，所以.由点在椭圆上，得，解得，故椭圆的方程为.（2）假设存在定点满足题意，其坐标为，易知直线的方程为，代入，消去，得，，设则，所以，由已知得对任意的恒成立，所以，解得，此时点的坐标为.所以存在定点满足题意，其坐标为.21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，所以双曲线的方程为，联立直线与双曲线的方程，消去得，即，因为与双曲线C仅有一个公共点，所以，解得,故双曲线的方程为.（2）设，，则满足消去得，所以，，如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，则AH的方程为.代入得，即（舍去）或.所以点H为.所以，，所以，故为的垂心，得证.22．已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线