四年级奥数教案

小学生做奥数不失分的四大秘诀小学生的孩子现在几乎都在学习奥数，为了小升初而准备着。奥数怎样学才能考取高分呢？一、注意习惯的养成

我们经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识本身重要得多，它是学好知识的前提。学习奥数更是如此。

奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。有些题往往是一字之差，谬之千里。习惯的养成不是一朝一夕之功。

要养成好的学习习惯，首先，需要学生对这个问题有个正确的认识，有些同学往往错误地认为。只要是题目理解了，出点小错没关系。这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。

学生做题出错了，应该找出错误原因并不断积累，是知识方面的，要牢记。是习惯方面的，要改正。

相信久而久之，好的习惯必能养成。

二、重视题目的每一个环节

有些奥数题步骤很多，很多学生掌握了其中的某些环节，就认为没问题了，而恰恰是某些重要的环节没有去认真考虑，只知其然，不知其所以然。这势必造成解题时脱节，而有时正是这小小蚁穴，毁了千里之堤。

因此一定要让养成严谨求实的习惯。

三、通过练习逐步形成技能既要注意已有知识的练习，又要注重利用所学知识去解决实际问题；既要注意根底知识的积累，又要注重知识的深化与提高。

这样的练习后，学生的知识是扎实的；方法是灵活的；思维是敏捷的。

四、及时回忆

知识的遗忘是正常的。关键是我们怎样去解决这一问题。

养成按时复习所学知识的习惯对所学知识有一个及时的回忆与提高。但光做了这些题，以后就对所学知识不闻不问，以为万事大吉了，这是错误的。因为有些题，当过了一段时间，你再拿过来做，可能有些思路已淡忘了。

这就要求大家养成定时复习的好习惯。

一般十几天后，大家就要对原来所学知识有目的的复习一下，这样做，你用时不会太多，但效率是极高的。

学习奥数知识点的掌握是一方面，态度谨慎，集中精神又是另一项得分的关键。不急躁、不马虎才能在做奥数题时不失分，得高分。第01讲，计算问题第03讲

整数与数列

【内容概述】

等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂项来实现求和。按照给定的法那么进行定义新运算。较为复杂的整数四那么运算问题。【典型问题】2．计算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．

＝〔1000＋999－998－997〕＋〔996＋995－994－993〕＋…＋〔108＋107－106－105〕＋〔104＋193－102－101〕＝4＋4＋…＋4＋4＝［〔1000－101〕÷1＋1］÷4×4＝9004．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×〔n＋1〕×〔2×n＋1〕÷6，计算：15×15＋16×16＋…＋21×21．

＝21×〔21＋1〕×〔2×21＋1〕÷6－14×〔14＋1〕×〔2×14＋1〕÷6

＝3311－1015＝22966．计算：3333×5555＋6×4444×2222．

＝3×1111×5×1111＋6×1111×4×2×1111＝15×1111×1111＋2×3×1111×1111×4×2

＝1111×1111〔15＋48〕＝1111×1111×63＝1111×1111×9×7

＝9999×7777＝〔1000－1〕×7777＝77770000－7777＝7776222310．求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．

解：通过这个题，学“裂项〞。看：

1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝〔2×3×4－1×2×3〕÷3；

3×4＝3×4×3÷3＝〔3×4×5－2×3×4〕÷3……

可以发现：n×〔n＋1〕×3÷3＝［n×〔n＋1〕×〔n＋2〕－〔n－1〕×n×〔n＋1〕］÷3

于是原式＝〔1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10〕÷3

＝9×10×11÷3＝330

注意隔位抵消

12．在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：13?5=3，6?2=0．试计算：〔2000?49〕?9．

解：2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以结果是4。14．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积〔例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1〕．问：这100个乘积之和为多少?

解：从1，2，…，9，的乘积的数字和是45；

从11，12，…，19的乘积的数字和是1×45；

从21，22，…，29，的乘积的数字和是2×45，

…，

从91，92，…，99，的数字和是9×45；

而10，20，…，90，的数字和是45，

100的为1，故，其总和为：

〔1＋1＋2＋3＋…＋9＋1〕×45＋1＝47×45＋1＝2116【教学内容】

涉及4个或4个以上的对象，数量关系，不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题。【典型问题】

1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？

解答：用131+134=265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3=88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四个班的和是88+89=177人.2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？

解答：大家想想，我如果把4个数全加起来是什么？实际上是每个数都加了3遍！大家一定要记住这种思想！〔45+46+49+52〕÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用64减去52〔某三个数和最大的〕就是最小的数，等于12.3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。

解答：对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是0或5！先看0，很快发现不行，因为20×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是几十乘以9，结果百位总比十位小，所以各位只能是5。略作计算，不难发现：15，25，35，45是满足要求的数4.某班买来单价为0.5元的练习本假设干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?

解答：对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简单了，但工程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假设班上有2个女生〔动动脑筋，为什么不假设成有1个女生？〕，那么就一共有30个练习本，进而推出有3个男生，用30÷〔2+3〕=6，说明每人应该有6个练习本，所以每人要付3元钱.5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，那么每只猴子可得12粒；如只分给第二群，那么每只猴子可得15粒；如只分给第三群，那么每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？

解答：和上个题目一样我想找到1个数，它既是12的倍数，又是15的倍数，还要是20的倍数。你能找到吗？可以找到最小的是60，那么我就假设共有60粒花生，那么可以算出来第一群猴子有5个，第二群猴子有4个，第三群猴子有3个，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每个猴子是5粒.6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？

解答：首先，被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以在这个题里，余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个，检验一下，很快得到结果是154+4×2=162.7.假设干名家长〔爸爸或妈妈，他们都不是老师〕和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

解答：家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，也就是不超过10人，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人，但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必须是10个〔9个女老师，1个男老师〕，家长12个人中，有7个妈妈，那么爸爸就有12-7=5人.8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？

解答：20个题，如果全部做对的话，可以得20×2=40分。如果不答1道题的话就要少2分，如果做错一道的话就要少3分。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没有做的题是偶数，所以我们可以先想想如果有0道题没答的话，17分都是做错了少的，可是17÷3=5…2，不可能！再考虑如果有2道题没做的情况，2道题没做就少4分，还有17-4=13分是因为做错了少的，13÷3=4…1，也不可能！考虑4道题没做的话，就少了8分，还有17-8=9分是因为做错了少的，9÷3=3，所以有3道题是做错的.9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？

解答：先在脑袋里算一下，是不是九个7分钱最合算啊？先看小赵：50÷9=5…5，所以他有5×7+4=39分钱；再看小李：500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分钱，那么小李就比小赵多389-39=350分钱。千万不要认为用〔500-50〕÷9×7=350就可以了，比方我把500换成400，方法就不对了！10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。假设每人分19个，那么桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人？〔此题是本讲中最难的问题！！！〕

解答：首先桔子的个数在1250〔=25×50〕和1500〔=25×60〕之间。下面大家帮我看以下两种分桔子的方法的区别是多少？〔1〕大班每人a+1个，中班每人a个，小班每人a-1个；〔2〕无论大中小班，每人a个。在第一种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来1个去补给小班的孩子，每人补1个，因为大班人比小班多6人，所以最后就还多6个桔子。如果我从所有桔子中拿出6个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法。因为桔子的总数个位是7，减去6后的个位是1，这么多桔子可以分给所有的孩子，并且让每人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！！但很明显每人19个是不够的，所以只能是每人17个，15个，13个等等，15个当然不可能了〔因为任何数乘以15后，各位不是5就是0〕，下面我们来看看可不可能是13个或更少：至少有1250个桔子，1250÷13=96…2，那么至少有96人，那么大班与小班和起来就至少96-27=69人。可是小班人最少不会超过中班的27人，所以大班小班和起来不应该超过27+〔27+6〕=60人，这与我刚刚的结果是矛盾的！所以每人不可能是13个或者更少，这就说明了每人应该是17个苹果。现在总的苹果数个位是7-6=1，每人17个苹果，所以总的人数个位应该是3！！再看：1250÷17=73…9，1500÷17=88…4，这时就可以找到总人数一定是83。因为如果是73的话，桔子还没有分完。所以大班小班共有83-27=56人，用和差问题的公式可以很快得到小班人数是：〔56-6〕÷2=25人.11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？

解答：大家先想想，我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和？是4个侧面和2个顶面的和！四个侧面的和应该是：13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：〔18+24-26〕÷2=8，于是底面的数是：13-8=5.ABC东北12.左图是一个道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口ABC东北解答：自己先尝试一下假设A处有1个孩子，2个孩子时有什么问题，发现后来就会出现半个孩子的情况，这是不行的，所以再假设有4个，8个，16个孩子，发现后来还是会出现半个孩子，于是我们就假设A处有32个孩子吧！〔自己动动脑筋：为什么是1，2，4，8，16，32这些数？这些数有什么规律吗？〕最后经过计算能发现C处有8个孩子经过，B处有10个孩子经过。但事实上B处有60个孩子经过，所以原来A处就应该是6个32个孩子！所以就有8×6=48个孩子经过C点.13.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边那么与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球外表上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？

解答：先算黑皮子共有多少条边：12×5=60条。这60条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边那么与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20，所以共有20块白皮子.14.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？

解答：大致上可以这样想：先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶还可以换回32瓶〔161÷5=32…1〕汽水，然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算，就发现实际上只需要买161-32=129瓶汽水。可以检验一下：先买129瓶，喝完后用其中125个空瓶〔还剩4个空瓶〕去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水.15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，那么第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？

解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是1份苹果，那么第一堆就是3份苹果，差2份苹果。再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少2份苹果，所以这个2份应该比34个要少〔大家自己考虑一下为什么不能相等？〕所以一份最多就16个，于是在第二个条件时，第二堆还有34-16×2=2个，第三堆还有2÷2=1个，所以回到第一个条件时，第二堆应该是1份16个苹果，第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16×3=48个苹果，所以在最开始分别有49，17，16个，总共有49+17+16=82个.【典型问题】1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，那么这个数是多少？

解答：〔6×6+6〕÷6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？

解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

解答：先算出最后各挑几块：〔和差问题〕哥哥是〔26+2〕÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来复原：1.哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16块.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？

解答：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始复原：1.甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆假设干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？

解答：先假设后来三个人都是4份，复原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51÷3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？

解答：如果最后的1份只有1个的话，我们很快就可以发现前面的11份就是〔1×3+2〕÷2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：〔2×3+2〕÷2×3+2=23个.7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？

解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷〔4-1〕=5岁，父亲今年是5×5=25岁.8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。

解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比拟一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？

解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是〔65+3〕÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我已经39岁了。〞求老师与学生的年龄。

解答：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄－学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：〔39-3〕÷3=12，所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？

解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄〔=哥哥当年年龄〕，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄〔=哥哥当年年龄〕就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。〞问陈老师有多少子女。

解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否那么年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女。此题推荐使用方程求解！13.今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？

解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×〔弟+兄〕+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁〔以上都是4年后的年龄，即公元2000年〕，很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？

解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×〔17+a〕，再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×〔17+a〕-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，〔113-59〕÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？

解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60〔当然不可能是120，180等等〕，今年小明的年龄是：60÷〔6-1〕=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.【典型问题】1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，那么这个数是多少？

解答：〔6×6+6〕÷6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？

解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

解答：先算出最后各挑几块：〔和差问题〕哥哥是〔26+2〕÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来复原：1.哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16块.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？

解答：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始复原：1.甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆假设干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？

解答：先假设后来三个人都是4份，复原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51÷3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？

解答：如果最后的1份只有1个的话，我们很快就可以发现前面的11份就是〔1×3+2〕÷2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：〔2×3+2〕÷2×3+2=23个.7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？

解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷〔4-1〕=5岁，父亲今年是5×5=25岁.8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。

解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比拟一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？

解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是〔65+3〕÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我已经39岁了。〞求老师与学生的年龄。

解答：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄－学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：〔39-3〕÷3=12，所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？

解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄〔=哥哥当年年龄〕，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄〔=哥哥当年年龄〕就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。〞问陈老师有多少子女。

解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否那么年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女。此题推荐使用方程求解！13.今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？

解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×〔弟+兄〕+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁〔以上都是4年后的年龄，即公元2000年〕，很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？

解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×〔17+a〕，再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×〔17+a〕-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，〔113-59〕÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？

解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60〔当然不可能是120，180等等〕，今年小明的年龄是：60÷〔6-1〕=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.四年级上学期

第02讲

应用题第07讲

和差倍问题之三1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人〞得到131+134=265，这265人包括1个甲班和1个丁班，以及2个乙班和2个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙班和3个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是88人，那么，甲、丁两个班的和就是88+1=89人。所以，四个班的和是88+89=177人。2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于〔45+46+49+52〕÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，那么个位只能是0或5。如果是0，显然不行。因为20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是5。试验得到：15，25，35，45是满足要求的数。4.某班买来单价为0.5元的练习本假设干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱〞，我们可以用设数法来求解。假设班上有2个女生，那么就是一共有30个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得10本〞，说明男生有3个。那么，分给全部按同学，每人得30/〔2+3〕=6本，因此每人应该付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，那么每只猴子可得12粒；如只分给第二群，那么每只猴子可得15粒；如只分给第三群，那么每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生12*15*20粒，那么第一群猴子有15*20只，第二群猴子有12*20只，第三群猴子有12*15只，即共有〔15*20+12*20+12*15〕只猴子，12*15*20/〔15*20+12*20+12*15〕=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为60粒，这样，计算就方便很多。

6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？解答：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个。经试验，结果是162，154+4×2=162。7.假设干名家长〔爸爸或妈妈，他们都不是老师〕和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？解答：家长比老师多，所以老师少于22/2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12/2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？解答：20个题如果全部做对的话，总分是20*2=40分。绻?淮?道题的话就要在40分中扣除2分，而做错一道的话就要扣除1+2=3分〔因为在40分中我们假设它是做对的，给了2分，实际是不但不能给，反而要扣1分〕。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没有做的题是偶数，最小的偶数是0，如果是0道题没答的话，那么17分就都是做错被扣的，但17/3=5…2，所以不可能。同理2道题没做也不可能。结果只能是4道题没做，17-2*4=9分=3*3。所以答错3题。9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？解答：由“每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱〞我们可以知道，九个7分钱是最廉价的，是最多的买法。那么，50÷9=5…5，小赵应该有5×7+4=39分钱；500÷9=55…5，小李应该有55×7+4=389分钱。那么，小李的钱要比小赵多389-39=350分。10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。假设每人分19个，那么桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人。解答：首先，总人数不超过27*3+6=87人；其次，桔子的个数在25×50=1250和25×60=1500之间；现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出6个，让大班中的6个人先少拿一个，拿和中班一样多，这样就变成平均都和中班的拿一样多，〔1250-6〕/87>14，所以，每人至少分15个，但至多分18个；再那么，桔子总数的个位数字是7，所以只能是每人17个或15个；但15个显然不可能，因为任何数乘以15后个位只能是5就是0。所以每人应该是17个桔子，即大班每人17+1=18个。〔1250-6〕/17=73......3，总人数应多于73人，74*17=1258，个位不是1，要使个位为1需加个位为3的17的倍数，17*9=153，所以，桔子总数为〔1258+153〕+6=1417个，总人数74+9=83人。小班有〔83-27-6〕/2=25人。11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和都等于13，那么四个侧面的数字和应为13*2=26，由此可知顶面数字为〔18+24-26〕/2=8，那么贴着桌子的这一面的数就是13-8=5。12。图2-1是一张道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走。如果先后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少个孩子到过路口C？解答：13.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边那么与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球外表上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？解答：12块黑色正五边形皮子共有12×5=60条，这60条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说，每块6条边，其中有3条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有3条边那么是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数就是黑皮子的边的总数的2倍，即共有60×2=120条边。那么，共有120/6=20块白皮子。14.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？解答：这里给出一种思路：我们可以先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需要购置的数量。161个空瓶可以换回161/5=32…1，即32瓶，那么实际上只需要买161-32=129瓶汽水。检验：先买129瓶，喝完后用其中的125个空瓶〔还留有4个空瓶〕可以换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶又可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶还可以换1瓶汽水，最后用这个空瓶和开始留下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，那么第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？解答：华数思维训练导引----复原与年龄四年级上学期

第03讲

应用题第08讲1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，那么这个数是多少？解答：〔6×6+6〕÷6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数是99。十位数字增加5，个位数字增加1，那么原来的加数是99-51=48。3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑2块，这是一个和差问题，哥哥挑的块数=〔26+2〕÷2=14块，弟弟=26-14=12块；然后再复原：哥哥还给弟弟5块：哥哥=14-5=9块，弟弟=12+5=17块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18块，弟弟=17-9=8块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟弟原来是8+8=16块。4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，那么每人都是81÷3=27元；复原：甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就是原来的3倍，那么甲和乙都是27/3=9元，丙是27+2*2*9=63元；甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3元，丙=63/3=21元，乙=9+2*3+2*21=57元；乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19元，丙=21/3=7元，甲=3+2*19+2*7==55元。所以，三人原来的钱分别是55、19和7元。5.甲、乙、丙三人各有糖豆假设干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？解答：假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，复原：丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2份，甲=4+2=6份；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2份，丙=2+2=4份；甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3份，乙=2+3=5份；即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。所以，如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有〔51/3〕*5=85粒6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？解答：因为要求至少多少个，所以我们可以先假设最后的每一份只有1个苹果。那么，第三次没有操作前的两份就有1*3+2=5个，2汾是5个显然不对。我们再假设最后的每一份有2个苹果。复原：第三次取出的两份有2*3+2=8个，每份8/2=4个；第二次取出的两份有4*3+2=14个，每份14/2=7个；原有7*3+2=23个。7.今年，父亲的年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍。问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父亲的年龄是儿子年龄的5倍，即父亲的年龄比儿子的年龄4倍；15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，即多一倍，说明儿子现在年龄的四倍等于儿子15年后时的年龄，那么，儿子今年的年龄=15/〔4-1〕=5岁，父亲今年就是5×5=25岁。8.有老师和甲、乙、丙3个学生，现在老师的年龄恰为3个学生的年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又3年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。问：现在各人的年龄分别是多少岁？解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙的年龄是9岁；老师+12=甲+12+丙+12，乙的年龄是12岁；老师+15=乙+15+丙+15，丙的年龄是15岁；所以，老师是9+12+15=36岁。9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄之和是58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄分别是多少岁？解答：四个人四年共应增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，说明弟弟在4年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是3岁；姐姐就是3+2=5岁，父母的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，得到父亲是〔65+3〕/2=34岁，母亲是65-34=31岁。10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。〞求老师与学生现在的年龄。解答：根据年龄差不变，39-3=36正好是3倍的年龄差，所以，年龄差=〔39-3〕/3=12岁。那么，学生现在年龄是3+12=15岁，老师现在年龄是15+12=27岁。11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？解答：哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，假设哥哥与弟弟的年龄差为1份，哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥现在的年龄与弟弟当年的年龄相差他们年龄差的2倍，那么，哥哥现在的年龄是年龄差的3倍，即3份，弟弟现在的年龄是年龄差的两倍，即2份；而哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，所以，每一份为30/〔3+2〕=6岁，那么哥哥现在3*6=18岁。12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。〞问陈老师有多少子女。解答：现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍，即多5倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍，即多9倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍，即多2倍。如果是2个子女，5*9*2=90，显然不符合常理。如果是三个，将子女现在的年龄和看作一份，那么，每一份=〔18*3-12〕/3=14，即子女现在年龄和14岁，父母现在年龄和6*14=84岁，符合要求。所以，陈老师有3个子女。13.今年是1996年。父母的年龄之和是78岁，兄弟的年龄之和是17岁。四年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥的年龄的3倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=4*弟，母=3*兄，那么父+母=3*〔弟+兄〕+弟，所以弟弟是11岁，哥哥是25-11=14岁，父亲是11*4=44岁，母亲是14*3=42岁。显然，再过1年后父亲45岁，哥哥是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍。所以，当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是4=1=5年后，即公元2001年。14.甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁。那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是x岁，乙就是2x岁，丙38岁；当甲17岁的时候，乙是17+x岁，那么丙是乙的2倍，就是2*〔17+x〕，由甲、丙的年龄差得到：38-x=2*〔17+x〕-17，所以，x=7。因为当甲7岁、乙14岁、丙38岁时，三人的年龄和是7+14+38=59岁，〔113-59〕/3=18，即从那时到现在经过了18年，所以乙现在的年龄是14+18=32岁。15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？解答：根据年龄差不变，今年祖父比小明多5倍，几年后，祖父比小明多4倍，又过几年，祖父比小明多3倍。3、4、5最小公倍数是60，所以年龄差是60。再用差倍问题：今年小明是60/(6-1)=12，祖父是12*6=72。第05讲数字谜问题第07讲

横式问题1、□，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？分析：150*3-8-97-5=340

所以3个数之和为3+4+5=12。2、在以下各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：

〔1〕12×23□=□32×21，

〔2〕12×46□=□64×21，

〔3〕□8×891=198×8□，

〔4〕24×2□1=1□2×42，

〔5〕□3×6528=8256×3□。分析：〔1〕12*231=132*21

〔2〕12*462=264*21

〔3〕18*891=198*81

〔4〕24*231=132*42

〔5〕43*6528=8256*343、在算式2×□□□=□□□的6个空格中，分别填入2，3，4，5，6，7这6个数字，使算式成立，并且乘积能被13除尽。那么这个乘积是多少？

分析：2*273=5464、在以下算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：

〔1〕6□□4÷56=□0□，

〔2〕7□□8÷37=□1□，

〔3〕3□□3÷2□=□17，

〔4〕8□□□÷58=□□6。分析：〔1〕6104/56=109

〔2〕7548/37=204

〔3〕3393/29=117

〔4〕8468/58=1465、在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399...98。6、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学

在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐〞分别代表的4个不同的数字。如果“乐〞代表9，那么“我数学〞代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6

，81619*81619=66616611617、□÷〔□÷□÷□〕=24

在上式的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。分析：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

当a=1时，有6*8/2=24，8*9/3=24；

当a=2时，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，满足要求的等式有：1÷〔2÷6÷8〕=24，1÷〔3÷8÷9〕=24，2÷〔3÷4÷9〕=24，2÷〔4÷6÷8〕=24，2÷〔6÷8÷9〕=24。8、〔□＋□＋□＋□〕÷〔□＋□＋□〕=□

将2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立。分析：将第一个括号内的和〔即被除数〕用a来代替，第二个括号内的和〔即除数〕用b来代替，等式右边〔即商〕用c来代替，那么：a÷b=c，即a=b×c，a+b+c=44；b×c+b+c=44，〔b+1〕×〔c+1〕=45=3*15=5*9；c=2、b=14或c=4、b=8，由于2+3+5=9>8，因此只能c=2、b=14；那么，3+4+7=14、3+5+6=14，

所以，满足要求的等式有：〔5＋6＋8＋9〕÷〔3＋4＋7〕=2、〔4＋7＋8＋9〕÷〔3＋5＋6〕=29、○×○=□=○÷○

将0，1，2，3，4，5，6这7个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式。问填在方格内的数是多少？分析：考察上面的等式，共需填入5个数，而0~6共有7个数字，因此必有两个地方是两位数；又0必定只能作为两个两位数中的一个的个位；因此，分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是12。10、□×□=5□

12+□－□=□把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，那么余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。11、迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛〞等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445；

所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。12、迎+春×春=迎春，〔迎+杯〕×〔迎+杯〕=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯〞等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有〔8+1〕*〔8+1〕=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2

在上面两个算式的各个方框中填入1至9中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？分析：最直接的方法，写出1~9的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2，

这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。14、A，B，C，D，E，F，G，H，L，K分别代表0至9中的不同数字，且有以下4个等式成立：

K个H

D－K×L=F，E×E=HE，C÷K=G，H×H×……×H=B，求A+C。分析：考察4个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或6×6=36；

如果是5×5=25，那么E=5、H=2；

再看第4个算式，只能是：2×2×2=8，于是K=3、B=8；

再看第三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是6*6=36，于是：E=6、H=3；

再看第4个算式，只能是：3×3=9，于是K=2、B=9；

再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4；

最后看第一个算式，只有7-2×1=5，于是：D=7、L=1、F=5；

那么，A=0，A+C=8。15、a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？分析：分析发现，c只能是9，g只能是0；那么，最大时：8497-6503=1994，最小时：3496-1502=1994；

所以，两数之和最大为：8497+6503=15000，最小为：3496+1502=4998思维训练导引》四年级数字谜问题第06讲

破译字母竖式

1．在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢〞这两个汉字所代表的两位数是多少？分析：首先看个位，可以得到“欢〞是0或5，但是“欢〞是第二个数的十位，所以“欢〞不能是0，只能是5。再看十位，“欢〞是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人〞就应该是偶数，因为结果的百位也是“人〞，所以“人〞只能是2；

由此可知，“喜〞等于8。所以，“喜欢〞这两个汉字所代表的两位数就是85。2．在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜〞所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜〞相加的结果个位还是等于“谜〞，“谜〞必定是5〔0显然可以排出〕；接着看十位，四个“字〞相加再加上进位2，结果尾数还是“字〞，那说明“字〞只能是6；再看百位，三个“数〞相加再加上进位2，结果尾数还是“数〞，“数〞可能是4或9；再看千位，〔1〕如果“数〞为4，两个“解〞相加再加上进位1，结果尾数还是“解〞，那说明“解〞只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧〞等于6与“字〞等于6重复，不能；〔2〕如果“数〞为9，两个“解〞相加再加上进位2，结果尾数还是“解〞，那说明“解〞只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“数字谜〞代表的三位数是965。3．在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．

分析：首先万位上“华〞=1；再看千位，“香〞只能是8或9，那么“人〞就相应的只能是0或1。但是“华〞=1，所以，“人〞就是0；再看百位，“人〞=0，那么，十位上必须有进位，否那么“港〞+“人〞还是“港〞。由此可知“回〞比“港〞大1，这样就说明“港〞不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香〞等于9的；再看十位，“回〞+“爱〞=“港〞要有进位的，而“回〞比“港〞大1，那么“爱〞就等于8；同时，个位必须有进位；再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港〞=5，“回〞=6，“归〞=7。这样，整个算式就是：9567+1085=10652。4．图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，RS，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？

分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。5．在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少？分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。6．王老师家的号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的号码．分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的号码是8371692。7．一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，这两个数的差正好是原来的三位数．求原来的三位数．

分析：8．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，那么d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。9．〔1〕有一个四位数，它乘以9后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．

〔2〕有一个四位数，它乘以4后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．分析：还是用abcd来代表原来的四位数：〔1〕abcd*9=dcba，四位数乘9不进位，显然a=1、d=9；

再看百位，百位也没有进位，易得b=0，c=8。所以，原四位数为1089。〔2〕abcd*4=dcba，先看千位，因为没有进位，且a是偶数，所以，a只能是2；那么，d=8；再看百位，百位没有进位，b只能是0、1、2，分别试验可得b=1、c=7。所以，原四位数为2178。10．图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？

分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。11．某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？

分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；

4*2+2=10，原万位为0；1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。12．在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么符合题意的数“迎春杯竞赛赞〞是多少？

分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好〞只有3和6可选：

好=3，那么：142857*3=428571；好=6，那么：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞〞可能是428571或857142。13．在图4-8所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．

分析：还是利用1/7的特点：142857*7=999999。14．在图4-9所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么被除数是多少？

分析：15．JF，EC，GJ，CA，BH，JD，AE，GI，DG每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中A代表5，并且上面的9个数恰好是7的1倍至9倍，这里把一位数7记作07．求JDFI所代表的四位数．分析：由A=5易得，C=3，那么，E=6；剩下：JF，GJ，BH，JD，GI，DG，