科学哲学导论04浑沌与

刘华杰

非线性动力学浑沌

NonlinearChaos目录引子：“非”字科学与“蝴蝶效应”文明史中的浑沌概念科学中的浑沌（chaos）与分形概念因果性、分离规则Modusponens非线性科学的启示延伸阅读引子：“非”字科学与“蝴蝶效应”引子：“非”字当头的科学并非想入非非(据郝柏林)

非标准分析…非牛顿流体力学…非史密斯地层学…非平衡统计力学…非线性科学……非线性与线性

数学家乌拉姆说：非“大象”动物浑沌出自非线性系统非线性动力学（nonlineardynamics）浑沌(chaos)非线性系统的“蝴蝶效应”洛仑兹：巴西一只蝴蝶，美国德州一场龙卷风？1972.12.29,AAAS,139次会议微小事件的放大过程，但有那么玄吗？若真的能如此放大，为什么是这只蝴蝶，而不是那只蝴蝶或者“两只蝴蝶”？科学隐喻，哲学三部电影《侏罗纪公园》(JurassicPark)《蝴蝶效应》(ButterflyEffect)《乱战》（Chaos）文明史中的浑沌概念1、Chaos词源简述希腊神话《神谱》中的卡俄斯《庄子》内篇“应帝王”中的浑沌意义与指称：古代：宇宙氤氲，有指称近代：没有指称（由于机械论自然科学的发展，康德，拉普拉斯），chaos→gas现代：普里高津的两种用法：热力学平衡态与非线性动力学2、非线性动力学E.A.Jackson的书：Inthebeginning…1.1…therewasPoincaré

庞加莱（彭加勒）(模仿《圣经》开头一句)Ifmodernnonlineardynamicshasafather,itisHenriPoincaré(1854-1912)奥斯卡国王设奖N体问题全局通解庞加莱1889年1月21日获奖1890庞加莱158页变到270页的长文发表于《数学学报》。拓朴学，分岔理论，遍历理论，同宿轨道《天体力学的新方法》三卷本但庞加莱并不为同时代人所理解，他与三次科学革命的接触！伯克霍夫,莫尔斯,李特尔伍德,斯梅尔3、二十世纪60年代的两个突破保守系统：KAM定理Kolmogorov-Arnold-Moser,333阶导数，阿诺德扩散，标准映射,耗散系统：洛仑兹(E.Lorenz)1963年《确定性的非周期流》一文中的微分方程，10年后才为人所知。

一维非线性映射，杜芬方程，范德坡方程。以上研究都发现了chaos

Lorenz方程(1963)Lorenz系统相空间几何示意图(I)Lorenz系统相空间几何示意图(2)浑沌故事多1963,1972-73,74,75,Lorenz-Feller-Jorke-Li-RobertMay1975年12月《美国数学月刊》“周期三则浑沌”，经典论文洛仑兹，上田与导师林千博“浑沌与流行的乐观主义背道而驰”。Duffing振子与Ueda吸引子ChihiroHayashi（林千博）,YoshisukeUeda（上田皖亮）上田吸引子（Y.UedaAttractor)：

三维流的一个二维截面(庞加莱截面)，具有分形（fractal）结构。几何上，“面团”拉伸折叠多次。想像兰州牛肉拉面的制作过程。分形：具有复杂自相似的几何体。1970-1980年代

一维非线性麻雀源于实际的种群生态学问题非线性映射的数学分析：符号动力学（起源更早，MSS，DGP）麻雀虽小。。。Feigenbaum常数

Li-Yorke定理：假设

f是从实数空间R到实数空间R的连续函数，同时假设

f有一个周期3点，则存在一个不可数的子集

S，对于S中的任何两点x，

y，有

一维逻辑斯蒂映射Logistic映射0参数空间相空间准备放大此部分Logistic映射右侧放大图伯努力移位映射(Bernoullishift)展示对初始条件的敏感依赖性(SDI)

（以下据朱照宣，1984，1992）福特教授，浑沌福音传教士，组织科莫会议。

普里高津，郝柏林

R.May,JeffXia(夏志宏),G+P算法，浑沌控制，圣菲研究所4、浑沌淘金热（1980年代后）在信息科学技术中的应用(I)NonlinearInstabilityinTCP-REDRandomEarlyDetection，CongestionControl，Anonlineardeterministicpacket-levelmodelofaTCP-REDgatewayisdevelopedanditsdynamicalbehaviorisanalyzed.byP.Ranjan,E.H.AbedandR.J.La,2004(2)TheChaoticNatureofTCPCongestionControlTCPcongestioncontrolcanshowchaoticbehaviour,includingunpredicability,extremesensitivitytoinitialconditionsandoddperiodicity.WehaveprovedthatTCPcongestioncontrolcreatesself-similartrafficwithHurstparameters.byA.VeresandM.Boda,2000(3)ApplicationofNonlinearPredictionMethodstotheInternetTraffic

NonlineartimeseriespredictionmethodsareappliedtotheInternettraffic.byM.Hasegawa,GangWu,M.Mizuno,2001有chaos就有fractal(分形)分形(fractal)一词：B.B.Mandelbrot(1924-)起英文名。

李荫远院士译成中文名。

惠勒(费曼的老师)的类比：熵与分形月印万川

玄觉《永嘉证道歌》一性圆通一切性，一法遍含一切法。一月普现一切月，一切水月一月摄。华严宗：狮子，[唐]康法藏《华严金师子章》现象界中每一事物都是本体的完整体现：

“师子眼耳支节，一一毛处，各有金师子；一一毛处师子，同时顿入一毛中。一一毛中，皆有无尽师子；又复一一毛，带此无尽师子，还入一毛中。如是重重无尽，犹天帝网珠，名因陀罗境界门。”

注：师=狮理一分殊1宋明理学

“理”=“理念”=“整体”=“一”=“太极”

“殊”=“万物”=“部分”=“多”=“具体”［宋］朱熹(1130-1200)：

“万物之理实为一理，一理之实而万物分之以为体，故万物之中有一太极。”理一分殊2［明］罗钦顺(1465-1547)：

“盖一物之生，受气之初，其理惟一；成形之后，其分则殊。其分之殊，莫非自然之理，其理之一，常在分殊之中，此所以为性命之妙也。”

分念成形

《性命圭旨》分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。出有入无成妙道，分形露体共真源。分形作为现代科学概念提要：先驱者，分形概念海岸线有多长整数维到分数维数学实例若干应用分形先驱者Cantor,Hilbert,Koch,Hausdorff,Levy,Peano,Steinhaus,WeierstrassB.B.Mandelbrot与

赵凯华教授定义：分形fractal部分与整体之间具有某种自相似的几何体。注1：可以是严格自相似，也可以是统计自相似。注2：自相似要有多个不同的层次。数学上是无穷层次，物理上至少有4个层次。海岸线有多长？Mandelbrot在《科学》上的短文海岸线等是无标度对象：用多大刻度的尺去量？长度已经不是一个很好的测度方式，寻找新的不变量：测度维。山重水复疑无路，

分数维数新测度。

幂律关系显结构，

标度变换双对数。对于一维对象：N=3，L=3，d=1对于二维对象：N=9，L=3，d=2对于三维对象：N=27，L=3，d=3.

其中N为小体的个数，L为放大倍数，d为维数。图示从放大的方向看测度维数其中d为维数，N为小体的个数，L为放大倍数。从缩小的方向看测度维数N=小块体个数分形体的构造1：谢氏三角分形体的构造2：谢氏垫分形体的构造3：柯赫分形体的构造4：皮亚诺分形体的构造5：希尔伯特分形体的构造6：丢勒股市的相似性分形体具有一种对称性

自相似是尺度(标度)变换下的一种不变性，是一种对称性。参照：与空间平移不变性对应的是动量守恒定律；与时间平移不变性对应的是能量守恒定律；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒。在弱相互作用中，“宇称”不守恒，自然界在C或P下不是对称的，在CP下也不是对称的，但却是CPT对称的。

其中，C表示电荷变号操作，P表示镜像反射操作，如人照镜子，T表示时间反演操作。MandelbrotSetCover分形封面

概念小结：“中央之帝”为ChaosTherearesystemswhosetrajectoriesdonotmonotonicallyapproximateanyidealstate.Theyaresensitivedependencetoinitialconditions.浑沌轨道在相空间中：回复而不殆，周行而不闭。浑沌轨道在轨道意义上不稳定，在结构意义上可以稳定：局部上总也安顿不下，整体上又跑不掉。浑沌依然是相对简单的！世界比此更奇妙。浑沌哲学之一：因果性与分离规则MPMP与MT：作为有效推理Modusponens:Latinfor“modethataffirms”

，简称MP。肯定模式。

若p则q，p，

所以q.Modustollens:Latinfor“modethatdenies”

，简称MT。否定模式。

若p则q，～q，

所以～p.休谟(DavidHume,1711-1776)说：Hi:“Ihavefoundthatsuchanobject(物象)hasalwaysbeenattendedwithsuchaneffect,”Hii:“Iforeseethatotherobjectswhichareinappearancesimilarwillbeattendedwithsimilareffects.”“Thesetwopropositionsarefarfrombeingthesame.”

(Hume，AnInquiryConcerningHumanUnderstanding,TheLibraryofLiberalArts,Bobbs-Merrill,1955/1748,p.48)

休谟认为，由Hi不可能必然地得到Hii。那么Hi∧？→Hii？要加点儿什么？要补充什么条件？自然的均一性、归纳原理？联想律？休谟论浑沌的影响休谟谈到了两种相似性初始条件的相似性，这属于测量问题，与经验论的假设有部分关系。条件句蕴涵关系的相似性，这才涉及因果必然性的问题、归纳推理可靠性的问题。两种相似性的澄清Hiii：此一原因必导致此一结果（A→B）Hiv：相似的原因导致相似的结果（A+δA→B+δB）前一种相似性用“δ”刻画，后一种相似性用“→”刻画。Hi∧？→Hii或者

Hiii∧？

→Hiv

分离规则MP的地位与性质逻辑学的基石之一Modusponens：

（1）若A则B

（2）已知A

（3）所以B从卡罗尔悖论。我们没办法直接否认MP，但可以问：在现实中它是否可操作？演绎逻辑与归纳逻辑不对称性及其在现实世界推断过程中的恢复。（HuajieLiu）关于演绎不确定性（1）演绎推理中可能犯错误，由于不小心。（2）演绎过程不稳定性，由于非线性。这两者加起来就决定了现实版的演绎与理论版的演绎可能完全不同，使得演绎推理与归纳推理性质相近！麦克斯韦（1831－1879）于1873说：“从同样的前件得出同样的后件，这是一个形而上学教条。没有人能否定这一点。但是，实质上它并无很大用处，在这个世界上，同样的前件从不再出现，任何事物也不发生两次，……物理学公设与此有类似之处：‘从类似的前提得出类似的结果。’然而，在这里我们从相同过渡到了相似，从绝对的精确性过渡到了多少有些粗糙的近似。对于某些类现象，数据中小的误差在结果中只引起小的误差。在这些情形中，事件的进程是稳定的。也可以出现不稳定性，随着变量数目的增加，这些情形的数量以极快速的方式增长。”

麦克斯韦还说：“若事物之状况使得当前状态(state)的无穷小的改变，对某个未来时间的状态将只改变一个无穷小量，那么，此系统的态势（condition）,无论是静止还是处于运动中，都称作稳定的。若当前状态的一种无穷小的改变，在有穷时间内可以引起系统状态的一种有穷的差别，则系统的状态称作不稳定的。现已明确，不稳定态势的存在性，使得对未来事件的预测变得不可能，如果我们对目前状态的知识只是近似的而非精确的。”

布里渊(L.Brillouin）1964年说：“翻开一本纯数学书，看一个定理，总会见到这样的叙述：给定某些条件A、B、C,假定它们被确切地满足，则可以严格证明结论Q正确。物理学家不禁要问，我们怎么知道条件A、B、C已被确切地满足？”“我们所知道的唯一东西是，A、B、C可以在一定范围内被近似地满足。那么，定理证明了什么呢？或者A、B、C的很小的误差可以导致结果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破坏了Q。”稳定性条件？无论是麦克斯韦、庞加莱还是布里渊，都远远走在时代的前列（约超前50－80年）。浑沌系统对初始条件具有敏感依赖性，不满足稳定性假设，因而对于这样的系统，由Hiii无法得到Hiv。这里非常重要的一点是，初条件的行为具有奇异性，不具有“单调性”

。打个比方，由北京天安门前的国旗杆处出发，到达上海浦东的东方明珠塔这个目标。朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭“《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和统计力学之间没有不可逾越的界线。……不仅大量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣1987,第1-2页)费格尔（HerbertFeigl,1902-1988）定义因果性：“AcausesB”or“AisthecauseofB”meansthatwhereverandwheneverAoccursitisfollowed(orattended)byB.SinceapreciserepetitionofAmaynotbefeasible(ordiscoverable),alessstringentformulationwouldusesomethinglikeamathematicallimitprocess:ThemoretheactualconditionA'approximatestheconceived(ideal)conditionA,themoreactualeffectB'willapproximatethe(ideal)effectB.

(H.Feigl,NotesonCausality,inReadingsinthePhilosophyofScience,1953,pp.408-418.)续HerbertFeigl汉语大意为：“A引起B”或“A是B的原因”意味着，B总是跟随A。由于精确重复A不可能实现或不可测量，就要用到一种不太严格的类似数学极限过程的形式：实际条件A′越趋近于给定理想条件A，实际的结果B′就将越趋近于理想的结果B。评：但是，极限可能不存在！可能不存在单调的趋近过程（参见Li-Yorke定理）但是科学哲学家迪昂和波普尔是知道动力学不稳定性带来的问题的。因果分析因果性的必然性问题，不是一个纯逻辑学问题，不可能只通过逻辑论证得到彻底解决。的确，是人的活动奠定了因果性的基础。因果律天然具有任意性、模糊性。它也不是在经验论框架内可以解决的。休谟采用怀疑论与人性论的双重标准。康德用先天综合真理“解决”了此问题，但是与自然科学不符！想象中的必然性在哪里？必然性、偶然性等都只是人类建构的观念，用来模拟自然过程，自然过程没有必要一定要符合人的此类模拟。人的认识介于偶然与必然两极中间的广阔地带。非线性科学的若干启示非线性与浑沌无处不在非线性动力学是一种抽象的数学，它原则上可用于任何经验对象，讨论各学科提出的各种问题，当然也适用网络问题。在自然科学层面，chaos告诉我们，简单的非线性作用也能导致复杂的结果；而复杂结果的原因也可能是简单的。（I）寻找不变性，但世界在变化休谟的怀疑是千真万确的，发展科学，就是要寻找各种各样具体的稳定性、对称性、不