专题2.3 几何动点问题（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）

专题2.3几何动点问题【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cms的速度移动，经过多少秒后【思路点拨】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．【解题过程】（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm根据题意得：AP=xcm,∴BP=6-x∴126-x⋅2x=8，解得x故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm（2）解∶设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．∵S△ABC∴S△PBQ=1∵Δ=∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．（3）解：设y秒后，△PBQ的面积为1cm分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上0<t<4，如图所示，依题意得：126-y即y2解得y1经检验，y1=5+∴y=5-2②点P在线段AB上，点Q在射线CB上4<t<6，如图所示，依题意得：12即y2解得y1经检验，y=5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上t>6，如图所示，依题意得：12即y2解得y1经检验，y2∴y=5+2综上所述，经过5-2秒或5秒或5+2秒后，△PBQ的面积等于1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．【思路点拨】过点Q作QE⊥PB于点E，设时间t，根据面积列方程即可求出答案．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于点E，则∠QEB=90°，∵∠ABC=30°，∴2QE=QB，设经过t秒后ΔPBQ的面积等于4则AP=tcm，QB=2t(cm)当点P在线段AB上运动时，BP=(6-t)cm根据题意：12∴t1=2当点P在AB的延长线上运动时，BP=(6-t)cm根据题意：12∴t1=3+17，故经过2秒或4秒或3+17秒后，ΔPBQ的面积等于故答案为：2秒或4秒或3+172．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为【思路点拨】设经过t秒后，P，Q两点间距离为42厘米，先根据运动路程和速度求出t的取值范围，再分0<t<32、32≤t<6和t=6【解题过程】解：设经过t秒后，P，Q两点间距离为42由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为AB1点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为BC2因此，分以下三种情况：（1）当点Q到达点C之前，即0<t<32时，则AP=t厘米，∵AB=6厘米，∴BP=AB-AP=6-t则在Rt△BPQ中，BP2+B整理得：5t解得t=25或（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即32≤t<6时，则由BP2+B整理得：t2解得t=6+23>6或（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即t=6时，则PQ=BC=3厘米，不符题意；综上，经过25秒后，P，Q两点间距离为4故答案为：253．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，当t=________时，以点P、Q、【思路点拨】分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解题过程】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝3±7如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝12DQ，∠PED＝90°∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，∴DE＝6-t2∴2t＝6-t2解得：t＝65如图3，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝-6+2333，t2＝综上所述：t＝3+72，3-72，故答案为：3+72，3-72，4．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cms的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cms的速度运动，（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为：12×4×8=16，△PCQ的面积为（2）由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出【解题过程】解：（1）∵S△PCQ=1∴12∴t2解得：t=2．答：当t=2s时，△PCQ的面积为△ABC面积的14（2）△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．理由如下：当S△PCQ12整理得：t2∵Δ=∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝cm2；（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？【思路点拨】本题可设P出发xs后，SΔQPC在（1）中，AP=xm，PC=(6-x)m，QC=2xm，得出SΔQPC=1在（2）中，AP=xm，PC=(6-x)m，QC=2(x-2)m，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，PC=(6-x)m，QC=2xm，BQ=8-2x，利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，求出答案．【解题过程】解：（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，SΔQPC当x=2，SΔQPC故答案是：8．（2）设P出发ts时SΔQPC=4cm2，则12∴x解得：x因此经4秒点P离A点1×4=4cm，点Q离C点2×(4-2)=4cm，符合题意．答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，SΔQPC（3）设经过x秒钟后PQ=BQ，则PC=(6-x)m，QC=2xm，BQ=8-2x，(6-x)2解得x1=-10+82答：经过-10+82秒钟后PQ=BQ6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以（1）△PQB的面积能否等于9cm（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm【思路点拨】（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-11<0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，结合当t=4时，【解题过程】（1）解：△PQB的面积不能等于9cm∵5÷1=5s，8÷2=4s，∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，根据题意可得：AP=tcm，BP=5-tcm，BQ=2tcm假设△PQB的面积等于9cm则12整理得：t2∵Δ∴所列方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于9cm（2）解：由（1）得：AP=tcm，BP=5-tcm，BQ=2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4∵四边形APQC的面积等于16cm∴1整理得：t2解得t1=1，当当t=4时，C，∴t=1，答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的16．若存在，求t【思路点拨】（1）利用勾股定理求出AC=6cm，然后根据AP=2t（2）分两种情况：①当点P在线段AC上，即0≤t≤3时，②当点P在线段AC的延长线上，即3<t≤8时，分别根据△PQC的面积是△ABC面积的16【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8∴AC=10∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s∴AP=2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为6-2tcm故答案为：6-2t；（2）解：S△ABC①当点P在线段AC上，即0≤t≤3时，∵PC=6-2t，QC=t，∴S△PQC整理得：t2∵Δ=∴该一元二次方程无实数根，∴此情况不存在；②当点P在线段AC的延长线上，即3<t≤8时，∵PC=2t-6，QC=t，∴S△PQC整理得：t2解得：t=4或-1（舍去），综上所述，存在，当t=4时，△PQC的面积是△ABC面积的168．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？（2）当t为何值时，PQ的长度等82cm？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于32cm2？【思路点拨】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，0≺t≤8，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，8≺t≤12，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，12≺t≤16，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【解题过程】解：（1）BP=AB-AP=12-t,BQ=2t，.根据三角形的面积公式，得12即12(12-t)•2t=35整理，得t2-12t+35=0解得t1=5,故当t为5或7时，ΔPBQ的面积等于35cm2（2）根据勾股定理，得PQ2整理，得5t2解得t1故当t为45或4时，PQ的长度等于8（3）①当0≺t≤8时，PB=12-t,CQ=16-2t，由题意，得12(16-2t)(12-t)=32解得：t1=4,②当8≺t≤12时，PB=12-t,CQ=2t-16，由题意，得12(2t-16)(12-t)=32③当12≺t≤16时，PB=t-12,CQ=2t-16，由题意，得12解得：t1=16,综上所述，当t为4或16时，ΔPCQ的面积等于32cm9．（2022秋·广东东莞·九年级统考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以2（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后△PCQ的面积等于8cm（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1cm【思路点拨】（1）设t0<t<4s后△PCQ的面积等于8cm2，根据题意设CP=6-tcm，（2）根据题意分类讨论：当运动时间为t0<t<4s时，CP=6-tcm，CQ=8-2tcm，利用三角形面积公式可得126-t8-2t=1，解出t的值即可；当运动时间为【解题过程】（1）解：6÷1=6s，8÷2=4设t0<t<4s后△PCQ的面积等于8cm2，则∴根据题意，得12∴整理，得t2解得t1=2，∴2s后△PCQ的面积为8（2）解：存在．当运动时间为t0<t<4s时，CP=6-t∴根据题意，得12∴整理，得t2解得t1=5-2当运动时间为t4≤t<6s时，CP=6-t∴根据题意，得12∴整理，得t2解得t3∴当运动时间为5-2s或5s时，△PCQ10．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t【思路点拨】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4P（2）设x秒后ΔDPQ的面积是24cm2，利用矩形面积-Δ【解题过程】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD=2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=A∵PD①0<t≤5时，∴8解得：t1=3，∵t=7时10-2t<0，∴t=3，②5<t≤8时，PD=A∵PD=2PQ，∴PQ=41∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t=41答：3秒或41秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后ΔDPQ的面积是22cm∵S∴12整理得x2∵该方程无解，∴不存在时间t使得ΔDPQ的面积是22cm11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【思路点拨】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP=4cm，AQ=4cm，利用面积公式求解；（2）设经过t秒ΔAPQ的面积是ΔABC面积的一半，则BP=2tcm，CQ=2tcm，进而表示出AP=(12-2t)cm，AQ=(8-t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解题过程】解：（1）∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，∴AP＝4cm，AQ＝4cm，∴S△APQ=12×4×4（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．根据题意得：12S△ABC=12×1当0＜t＜6时如图1：S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣t）＝整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12（舍去）或t＝2．当6＜t＜8时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝整理得t2﹣14x+72＝0，△＜0，无解．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝整理得t2﹣14x+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【思路点拨】（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上时；③当点P在CD边上时，分别求解即可．【解题过程】解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=62cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=24∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当点P在AB上时，0≤y≤163，则PB=16-3y∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）解得y=4；②当点P在BC边上时，163＜y≤223，则BP=3y-AB=3y-16，QC=2∴12BP•CQ=12（3y-16）×2y解得y1=6，y2=-23（舍去）；③当点P在CD边上时，223＜y≤8，则QP=CQ-PQ=22-y∴12QP•CB=12（22-y）解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．13．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-8,0)，点C3,4BC交y轴于点D.动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________

（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

（3）当△BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．【思路点拨】（1）根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，即可求得BE=5−t，OF=2t；（2）分两种情况讨论：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF；②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，列方程求解即可；（3）分三种情况讨论：①当BF=EF时；②当EB=FB时；③当BE=FE时，分别列方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，点A(-8,0)，C(3,4)∴BD=BC-CD=8-3=5，BE=BD-DE=5－t；OF＝2t故答案为BE=5-t，OF=2t．（2）解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF，

即8-2t=5-t，解得t=3，②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，即5-t=2t-8，解得t=13（3）解：当△BEF恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，BE=5-t，EF=EKBF=BJ有以下三种情况：①当BF=EF时，有42+(2t-t)5-2t=t，解得t=5②当EB=FB时，有(5-t)2△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；③当BE=FE时，有(5-t)2解得t=9所以，当t=53或t=914．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t值，若不存在说明理由．【思路点拨】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5-13，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=23，此时△PBQ的面积是否为12S也可以直接计算平分面积的时间，平分周长的时间，看这两个时间是否一样，若两个时间一样则存在，若不一样则不存在．【解题过程】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，12×2t×（6﹣t）=13×12解得：t=2或4，∵0≤t≤4，∴t=2或4符合题意，答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，∴62=（2t）2+（6﹣t）2，解得：t1=0（舍），t2=125答：125秒钟后，P、Q相距6（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，S△PBQ=12S△ABC12（6﹣t）（8﹣2t）=12×1解得：t1=5+13，t2=5﹣13，∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+13＞4，∴t1=5+13不符合题意，舍去，当t2=5﹣13时，AP=5﹣13，BP=6﹣（5﹣13）=1+13，BQ=8﹣2（5﹣13）=213﹣2，CQ=2（5﹣13）=10﹣213，PQ将△ABC的周长分为两部分：一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣13+10﹣213=25﹣313，另一部分：PB+BQ=1+13+213﹣2=313﹣1，25﹣313≠313﹣1，②当PQ平分△ABC周长时，AP+AC+CQ=PB+BQ，10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，t=23当t=23时，PB=6﹣23=BQ=8﹣2×23=20∴S△PBQ=12×163×203=综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为5？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49，此时点P应在AB上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．【解题过程】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的4CQ=t，PB=AB-AP=6-2t，S四边形解得：t=∴两动点运动23秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的4（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为5，①当0＜当点P在点Q上方时，则6-2t＞t，即过Q点作QE⊥AB于点E，则AP=2t，PB=6-2t，CQ=t，∴PE=6-3t，在Rt△PEQ中，∵PE=6-3t，EQ=2，PQ=5∴PE∴(6-3t)2解得t1=7当点P在点Q下方时，则6-2t＜t，即过P点作PF⊥CD于点F，则AP=2t，PB=6-2t，CQ=t，∴FQ=3t-6，在Rt△PFQ中，∵FQ=3t-6，PF=2，PQ=5∴PF∴(3t-6)2解得t3=7②当3＜∵AB=6，AB+BP=2t，∴BP=2t-6，∴CP=2-(2t-6)=8-2t，在Rt△PCQ中，∵CP=2-(2t-6)=8-2t，CQ=t，PQ=5∴P有(8-2t)2得方程：5tΔ=此方程无实根．综上所述，当点P运动73s或53s时，点P与点Q之间的距离为16．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；（3）当0<t<10.5时，点P向点C运动，使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．【解题过程】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21，∴16﹣t＝2t﹣21，解得：t＝373∴当t＝5或373秒时，四边形PQDC（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，12（DQ＋CP）•AB＝60即12（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60解得：t＝9（秒），若点P返回时，CP＝2t﹣2，则12（16﹣t＋2t﹣21））×12＝60解得：t＝15（秒）．故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵QH＝HD＝12QD＝12（16﹣∵AH＝BP，∴2t＝12（16﹣t）＋t∴t＝163当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，∵QD2＝PQ2＝t2＋122，∴（16﹣t）2＝122＋t2，解得t＝72当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2，即3t2﹣32t＋144＝0，∵△<0，∴方程无实根，综上可知，当t＝163秒或72秒时，△17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝43cm，∠ABC＝30°．点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B出发以每秒3cm的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t．（1）当t＝2秒时，求△BPQ的面积；（2）PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；（3）△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）过点P作PE⊥BC于E，由含30度角的直角三角形的性质可求PE的长，即可求解；（2）分三种情况讨论，由