专题04 实数综合经典解答题（六大题型）（解析版）

专题04实数综合经典解答题（六大题型）重难点题型归纳【题型1根据平方根性质求参数】【题型2算术平方根和算术平方根的综合运算】【题型3实数实际应用】【题型4实数的化简求值】【题型5二次根式的化简求值】【题型6二次根式规律题综合应用】【题型1根据平方根性质求参数】1．（2023春•庄浪县校级期中）若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．【解答】解：3a+1+4﹣2a＝0，解得a＝﹣5，3a+1＝3×（﹣5）+1＝﹣14，则这个正数为（﹣14）2＝196．2．（2023春•张湾区期中）已知2a﹣1的平方根是±3，2a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝（±3）2＝9，∴a＝5．∵2a+b﹣1的平方根是±4，∴2a+b﹣1＝（±4）2＝16，则2×5+b﹣1＝16，解得b＝7．∴a+2b＝19，∵19的平方根为，∴a+2b的平方根为．3．（2023春•哈巴河县期中）已知一个正数的两个平方根分别为2a﹣1和﹣a+2，求这个正数．【解答】解：由一个正数的两个平方根分别为2a﹣1和﹣a+2，得2a﹣1+（﹣a+2）＝0．解得a＝﹣1，乘方，得（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．4．（2023春•富川县期中）已知一个正数的平方根分别是（a﹣6）和（3a﹣2），求这个正数．【解答】解：∵一个正数的平方根分别是（a﹣6）和（3a﹣2），∴a﹣6+3a﹣2＝0，∴a＝2，∴a﹣6＝2﹣6＝﹣4，∴这个正数是（﹣4）2＝16．5．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．6．（2022春•鼓楼区期中）一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a．（1）求ab的值；（2）求关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a，∴a﹣2+1﹣2a＝0，解得a＝﹣1，当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3，∴b＝9，∴ab＝﹣9，答：ab的值为﹣9；（2）当a＝﹣1时，原方程可变为﹣2x2+5＝﹣3，即x2＝4，∴x＝＝±2，答：关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解为x＝±2．7．（2022春•宁晋县期末）一个正数x的两个平方根是2a﹣3与5﹣a，求x的值．【解答】解：∵一个正数x的两个平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴x＝（﹣7）2＝49．【题型2算术平方根和算术平方根的综合运算】8．（2023春•凉州区期中）已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2．（1）求a，b的值；（2）求a+2b的平方根．【解答】解：（1）∵a的平方根为±3，ab的算术平方根为2，∴a＝9，ab＝4，∴b＝；（2）∵a＝9，b＝，∴a+2b＝9+2×＝9+＝，∴a+2b的平方根为：±＝±．9．（2023春•建阳区期中）已知a的平方根为±3，a+b的算术平方根为2，求a﹣b的平方根．【解答】解：∵a的平方根为±3，∴a＝9，∵a+b的算术平方根为2，∴a+b＝4，∴b＝﹣5；当a＝9，b＝﹣5时，a﹣b＝14，∴a﹣b的平方根为．【题型3实数实际应用】10．（2023春•庆云县期中）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形．（1）大正方形的边长是4cm；（写出解答过程）（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×（）2＝16（cm2），∴拼成的大正方形的面积是16cm2，∴大正方形的边长是4cm；故答案为：4；（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，则3x•2x＝12，解得：x＝，3x＝3＞4，所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．11．（2023春•孝义市期中）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为225cm2的正方形贺卡，小宇自制了一个长宽之比为3：2，面积为420cm2的长方形信封．小旭自制的贺卡能放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断（贺卡不可折叠和弯曲）．【解答】解：能．∵小旭正方形贺卡的面积为225cm2∴正方形的边长为cm设小宇的长方形信封的长为3acm，宽为2acm，依题得3a•2a＝420，∴6a2＝420，∴a2＝70∵a＞0，∴a＝，2a＝2，∵cm＞15cm∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．12．（2023春•海珠区期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．（1）正方形的边长是多少？（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，∴正方形的边长是＝20（cm）；（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，则5x•4x＝360，解得：x＝3，则5x＝15＞20，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．13．（2023春•焦作期末）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题．（1）求长方形硬纸片的宽；（2）小梅想用该正方形硬纸片制作一个体积512cm3的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积．【解答】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，∴x＝2y，且x2＝900∴x＝30，∴y＝15，（2）该正方体的棱长为：＝8cm，共需要5个边长为8cm的面，总面积为：5×82＝320，∴剩余的纸片面积为：900﹣320＝580cm2，14．（2023春•东莞市校级期中）列方程解答下面问题．小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．（1）求长方形的长和宽；（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．【解答】解：（1）设AB＝xcm，则BC＝（10+x）cm，依题意有：2[x+（10+x）]＝100，∴x＝20，答：长方形的长为30cm，宽为20cm．（2）设新长方形的长为5acm，宽为4acm，则5a×4a＝520，∴，即新长方形的长为cm，宽为cm，∵26＞25，∴＞5即＞20，故小丽不能成功．答：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．15．（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．（1）求原来正方形场地的周长；（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．【解答】解：（1）＝20（m），4×20＝80（m），答：原来正方形场地的周长为80m．（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．由题意有：3a×5a＝315，解得：a＝，∵3a表示长度，∴a＞0，∴a＝，∴这个长方形场地的周长为2（3a+5a）＝16a＝16（m），∵80＝16×5＝16×＞16，∴这些铁栅栏够用．答：这些铁栅栏够用．16．（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）．（1）原小正方形的边长为2cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∴小正方形的面积是大正方形面积的一半，∴小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），设小正方形的边长为a，则a2＝8，∴a＝±（舍去负值），∴a＝2．∴小正方形的边长为cm，故答案为：2．（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，依题意得2x•x＝12，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴长为2＞4，∴不能剪出符合要求的长方形纸片；（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，画出示意图如图，【题型4实数的化简求值】17．（2023春•东城区期末）计算：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）．【解答】解：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）．＝1﹣3+4+7＝9．27．（2023春•瓦房店市期末）计算：．【解答】解：＝2+2﹣﹣3＝1﹣．18．（2023春•临潼区期末）计算：|﹣3|+×（﹣1）﹣．【解答】解：|﹣3|+×（﹣1）﹣＝3+﹣1×﹣2＝3+2﹣﹣2＝3﹣．19．（2023•茅箭区一模）计算：．【解答】解：＝﹣1+3+1﹣（2﹣）＝﹣1+3+1﹣2+＝4﹣2．20．（2023春•金安区校级期末）计算：．【解答】解：原式＝＝．21．（2023春•盘龙区期末）计算：．【解答】解：原式＝2﹣5+2﹣+＝﹣1．22．（2023春•长沙期末）计算：．【解答】解：＝﹣1﹣4+3﹣﹣（﹣2）＝﹣1﹣4+3﹣+2＝﹣．23．（2023春•淮滨县期末）计算：．【解答】解：原式＝2+3﹣2+2﹣﹣1＝+2．24．（2023春•北京期末）计算：++|1﹣|﹣．【解答】解：原式＝7﹣3+﹣1﹣＝3．25．（2023春•东莞市期中）计算：．【解答】解：原式＝2+（﹣4）﹣3﹣+1＝﹣4﹣．26．（2023春•南陵县期末）计算：．【解答】解：＝＝＝．27．（2023春•泸县校级期末）计算：．【解答】解：原式＝﹣1+4﹣4×3＝﹣1+4﹣12＝﹣9【题型5二次根式的化简求值】28．（2023春•大观区校级期末）已知，，求下列代数式的值．（1）a2+b2+2ab；（2）a2﹣b2．【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝（2）2＝28；（2）∵a＝+2，b＝﹣2，∴a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．29．（2023春•米东区期末）已知，求下列各式的值．（1）x2+xy+y2；（2）x2﹣y2．【解答】解：∵，∴x+y＝，x﹣y＝2，xy＝1，∴（1）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（2）2﹣1＝8﹣1＝7；（2）x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝2×2＝4．30．（2022秋•祁阳县期末）已知，，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣2ab+b2．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32．31．（2023春•乌鲁木齐期末）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2b+b2a；（2）a2﹣b2．【解答】解：∵a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝+2﹣+2＝4，ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝3．（1）a2b+b2a＝ab（a+b）＝3×2＝6；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．32．（2023春•水磨沟区期末）已知：a＝+2，b＝﹣2．（1）求ab．（2）求a2+b2﹣ab．【解答】解：（1）ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；（2）∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，∴a2+b2﹣ab＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝17．33．（2023春•东莞市校级期中）已知a＝+1，b＝﹣1，求下列各式的值：（1）a2+2ab+b2；（2）a2﹣b2．【解答】解：（1）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（+1+﹣1）2＝12；（2）a2﹣b2．＝（a+b）（a﹣b）＝（+1+﹣1）[（+1）﹣（﹣1）]＝2×2＝4．34．（2023春•广信区期中）若a＝，b＝，求下列代数式的值．（1）a2b+ab2；（2）a2﹣ab+b2．【解答】解：∵a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝4，a+b＝（）+（）＝2，（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2＝8；（2）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣12＝20﹣12＝8．35．（2023春•公安县期中）已知，，，求下列格式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2b﹣ab2．【解答】解：（1）∵，∴a+b＝4，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝；（2））∵，∴a﹣b＝2，ab＝10，a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝10×2＝20．【题型6二次根式规律题综合应用】36．（2023春•呈贡区期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：，．解答下列问题：（1）的有理化因式是，的有理化因式是（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝．，，…（3）利用上面的方法，请化简：．【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是，故答案为：；；（2）∵，，，…，∴＝，故答案为：；（3）＝+…+＝．37．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式：①；②；③；…（1）写出④x4＝；（2）猜想：xn＝；（3）由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022﹣2023的值．【解答】解：（1）观察可知：x4＝．故答案为：．（2）观察等式规律可得：xn＝＝＝1+．故答案为：＝＝1+．（3）由（2）可得xn＝1+＝1+，x1+x2+x3+…+x2022﹣2023＝（1+﹣）+（1+﹣）+（1+﹣）+