课程导入数列的概念

课程导入—数列的概念一、教材内容分析，找准发展学生数学核心素养的教学资源本节内容是“数列”的第一节第一课时，主要研究数列的概念、数列的分类、数列和函数之间的关系等.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，本节通过实际问题引入数列概念后，让学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情境的数学模型.本节课在基本知识的形成过程中，蕴含着特殊到一般的思想、类比思想和归纳思想，是培育学生数学建模、数学抽象和逻辑推理等学科素养的知识载体.主要表现在：（1）数列是反映自然规律的基本数学模型，从实际问题中，构建数列模型，利用数列模型解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养.（2）在实际情境中发现数列“序”的关系，观察数列的项与序号之间的关系，创造性地应用函数知识和方法去认识数列，培养学生逻辑推理的核心素养.（3）从实际情境中直接抽象出数列的概念，从函数的角度理解数列的概念，对数列进行合理分类，这正是数学抽象的具体表现.二、教学目标分析，将数学核心素养融入课堂教学目标中（一）目标设置1.通过对具体实例的观察、辨析、分化、抽象、概括的过程，发现数字间“序”的特征，描述出数列的概念，构建数列模型，培育学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养；2.根据数列概念举出具体数列的例子并加以辨析，结合具体的数列例子发现、提出、分析、解决数列分类问题，培育学生数学抽象、逻辑推理的核心素养；3.通过课堂探究活动，引导学生通过分析几个特殊数列项与序号之间的关系，归纳出般数列项与序号之间的关系，认识到数列是一种特殊的函数，渗透特殊到一般的思想和归纳的方法，培育学生数学抽象、逻辑推理的核心素养.（二）目标解析目标1：通过大自然中树木分叉的现象、我国古代文学家的经典语录、古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题，以及学生身边的实例（数学考试成绩），体现了数列与生活密不可分的关系，渗透数学文化，激发学生的学习兴趣.通过探究这几个实例中数之间的关系，发现“序”的特征，从而描述出数列的概念，抽象出数列的模型，这正是培养学生数学抽象和逻辑推理的水平1（数学抽象水平1：能够在情境中直接抽象出数学概念，能够在特例的基础上归纳并形成简单的命题；逻辑推理水平1：能够在情境中用归纳的方法，发现数量和图形的规律；数学建模水平1：了解数学模型的实际背景及其数学描述）.目标2：根据数列的概念让学生举出具体数列的例子，引导学生对例子进行辨析，加深学生对数学概念“有序性”的理解，这一过程培育了学生数学抽象的核心素养（能够用恰当的例子解释数学概念和规则，理解概念的内涵是数学抽象核心素养水平2的要求）；结合具体的数列例子发现、提出、分析、解决数列分类问题，这一过程培育了学生逻辑推理的数学核心素养（能发现情境中的数学规律，提出不同的假设前提，推断结论，形成命题是数学逻辑推理核心素养的水平2）.目标3：课堂中通过《开心辞典》节目中曾经出现过的题目：已知一列数中的某些项，去猜测未知项的过程，组织学生小组活动，交流探讨，然后分享自己小组的成果，说出括号中的数以及获得结果的过程和方法，通过分析这几个特殊数列的项与序号之间的关系，进而归纳出一般数列项与序号之间的关系，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系，培育学生数学抽象、逻辑推理核心素养（数学抽象水平3：能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的语言表达，能够理解数学结构的一般性，感悟高度概括、有序多级的数学知识体系；逻辑推理水平3：能够理解相关概念之间的逻辑联系，初步建立网状的知识结构）.教学重点：理解数列的概念.教学难点：将数列作为一种特殊的函数去认识，了解数列与函数之间的关系.三、教学策略分析，选择恰当的策略发展学生数学核心素养根据本节课的内容安排和学生的实际情况，主要采用“情境问题+做数学”、和笔者倡导的“挖思路、亲体验、用表达”的教学模式促进学生数学核心素养的提升.1.问题引领：以问题作为教学的出发点和落脚点，引导学生在具体的情境中用数学的眼光去观察现象，发现问题，在此基础上引导学生采用恰当的数学语言抽象出数列的概念.2.互助互学：教学中以学生为主体，通过探究活动，采用分组交流，合作学习的方式，促进生生交流，师生交流，真正做到以学定教.3.外化共享：给予学生思考、探究和表达的机会，鼓励学生共享探究的成果.四、教学流程分析，搭建培育学生数学核心素养的框架【设计意图】如图所示，直观展示了整节课的教学重点和难点，清晰反映课堂中各个要素之间的关系，浓缩了整个教学过程，为培育学生数学核心素养搭建框架.五、教学过程分析，达成培育学生数学核心素养的目标（一）生活实例，激发兴趣1.展示一些图片并引导学生进行解读，涉及自然界、古代文学、西方数学和学生身边的实例等各方面青景，说明数列模型在现实生活中是大量存在的.（1）大自然中树木的分叉，如图所示.（2）古语：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.（3）古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：三角形点阵，如图所示：（4）学生身边的实际问题（数学考试成绩）在高一上学期的5次数学考试中，小郑同学的成绩如下，见表1：表1

小郑的成绩表考试序号第1次第2次第3次第4次第5次考试成绩8890859580抛开这4个实例的实际背景，将其中蕴含的数字提取出来，即可得到四列数：（1）（2）（3）（4）今天我们将通过数学的角度重新认识这4列数，就是我们今天将要学习的内容——数列（板书课题）【设计意图】情境（1）说明大自然是懂数学的，大千世界蕴含着无数的自然规律，让学生体会数学是生动的，激发学生学习、探究的兴趣；情境（2）古代文学家庄子的经典语录，暗含了丰富的数学知识，向学生渗透了浓厚的数学文化，揭示了数学与其他学科领域密不可分的关系；情境（3）培养学生在具体的数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形直观理解数学问题，能够用图形描述和表达数学问题，体会图形和数量的关系，体会数形结合的思想；情境（4）通过学生身边的实际问题，让学生体会到数学是无处不在的，数学与生活是密不可分的，数学是来源于生活，并服务于生活的.这4个情境问题的引入，让学生在贴近生活的实际问题中探索新知识，能够用数学语言刻画实际背景中的问题，能够在实际情境中抽象出数学问题，最终解决一些实际问题.（二）合作探究，引入新知问题1：结合实例中这4列数的特点，你能用自己的语言说出数列的概念吗？活动：教师启发学生观察这几列数之间的关系，重点让学生体会这些数的顺序关系.学生可能会有不同的表述，只要合理，就要给予肯定，由教师引导学生归纳出数列的概念.【设计意图】能够在这几个特例的基础上归纳出它们的数学规律（“序”的特征）并形成数学命题，在实际情境中直接抽象出数列的概念.1.数列的相关概念数列：按照一定顺序排列的一列数.【设计意图】学生在教师的启发下建立并完善数列的定义，能够用准确的语言表达数列的概念，加深学生对数列概念的理解.数列的项：数列中的每一个数叫数列的项，数列的各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…，数列的一般形式：，简记为.【设计意图】培养学生用数学语言和数学符号来表达数学问题的能力.问题2：你能举出身边数列的例子吗？活动：分组合作，小组探究，要求每组举出一到两个数列的例子，教师注意归纳总结这些数的共同特征——按照一定顺序排列，并将有代表性的例子板书在黑板上.【设计意图】让学生体会数列问题是现实生活中存在的，加深对数列概念的理解，能够用具体的例子解释抽象的概念.问题3：针对引例中的4个数列以及大家举出的数列例子，你能按照合适的标准对它们进行分类吗？活动：小组讨论交流，学生发言，教师及时给出点评.【设计意图】在具体的数学情境中，能够发现蕴含的数学规律，确定合理的分类标准，对数列进行分类，加深学生对数列概念的深层次理解.2.数列的分类（1）根据数列项数的多少分：有穷数列、无穷数列；（2）根据数列项的大小分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.活动：让学生发言，说出自己的分类标准，教师针对学生表述不准确的地方及时指导.【设计意图】在交流的过程中，让学生能够合理地运用数学语言和思想来表达和交流.3.数列与函数的关系问题4：中央电视台《开心辞典》节目中，曾经出现过这样的题目：观察各题中几个数的特点，按照其中的规律，你能写出括号里的数吗？（1）2，4，（

），16，32，…

（2）1，2，3，5，8，（

），21，…活动通过课堂探究活动，学生小组讨论交流，引导学生通过分析该数列已知项与序号之间的关系推导出括号中的未知项.【设计意图】通过问题情境，引导学生思考：数列中的项和它的序号之间是什么关系？能够用归纳或类比的方法，发现数量之间的关系，提出新的问题.问题5：如果我们把这两个特殊的数列一般化，数列中的项与它的序号之间是什么关系？活动：教师引导学生将数列的序号和它的项分别看作两个集合，将序号写在左边，右边的相应位置写上数列的各项数列中的每一个序号对应着一个项，反过来，每个项也都对应着一个序号.【设计意图】在具体数学情境中，模仿学过的数学方法解决问题，由特殊情形推广到一般情况，体会一般数列之间的变量依赖关系，了解数列的项与序号之间的对应关系，如图所示.问题6：你能联想到以前学过的哪些相关内容？活动：引导学生说出左右两边是两组变量，分析这两组变量之间的关系，认识到数列是函数，然后让学生从函数的角度来认识数列，体会到数列是一种特殊的函数，了解数列和函数之间的关系：数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应一列函数值.反过来对于函数，如果有意义，则可以得到一个数列.【设计意图】体会数列与函数之间的紧密联系，理解数列是一种特殊的函数.（三）应用新知，深化提高例

判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.（1）“北京，上海，天津，重庆”可以构成一个数列.（

）（2）1，2，3，4与4，3，2，1是同一个数列.（

）（3）1，-1，1，-1，1，-1不能构成数列.（

）（4）1，2，3，4与1，2，3，4，…不是同一个数列.（

）（四）总结提升，升华主题通过今天这节课的学习，你有什么收获？一、知识：二、方法：三、体验：【设计意图】通过对本节知识的梳理，把握本节课的重、难点，明确知识间的相互联系，帮助学生构建自己的知识体系，形成知识的正向迁移.（五）随堂检测，适时反馈1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（

）.A.

B.C.

D.2.观察下面数列的特点，用适当的数填空，试着写出各数列的第n项与序号n之间的一个关系式.（1）

（2）【设计意图】通过学生当堂检测的方式，强化和巩固本节课所学的知识，及时反馈本节课教学目标达成的情况