八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：实数的有理化（强化）（解析版）

专题2.3实数的有理化【例题精讲】在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：；（一；（二；（三以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：；（四（1）化简（2）请用不同的方法化简．①参照（三式得②步骤（四式得（3）化简：．【解答】解：（1），．故答案为：，；（2）①原式．故答案为：；②原式．故答案为：；（3）原式．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，，使且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简．解：，．请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1），；（2），．【题组训练】1．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．【解答】解：（1）原式；（2）原式2．阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果为；（2）利用上面提供的解法，请化简：．【解答】解：（1）；（2）原式．3．阅读下面计算过程：；请解决下列问题（1）根据上面的规律，请直接写出．（2）利用上面的解法，请化简：．（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．【解答】解：（1）．（2）；（3）．故答案为：．4．阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）的值；（3）为正整数）的值．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．5．观察下列分母有理化的计算：，，，，在计算结果中找出规律，用含有字母表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计算以下列式子的值：的值．【解答】解：由题意得：，，，；即的值是2009．6．观察下列等式：①；②；③；回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：；（2）计算：．【解答】解：（1）原式；（2）原式．7．阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子；（2）利用上面所提供的解法，请化简：的值．【解答】解：（1）；（2）由题意可知：．8．我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化简：；（3）比较的大小，说明理由．【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）原式；（3）；；，．9．阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）为正整数）的值．（3）计算：．【解答】解：（1）；（2）；（3）原式．10．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．根据上述材料，（1）化简：（2）计算：（3）．【解答】解：（1）；（2）；（3）．11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（一（二（三以上这种化简的步骤叫做分母有理化．化简：．【解答】解：原式．12．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：．【解答】解：（1）．（2）原式．13．（一阅读下面内容：；；．（二计算：（1）；（2）为正整数）．（3）．【解答】解：（二（1）原式；（2）；（3）原式．15．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成，从而使得．化简：．．．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【解答】解：（1），；（2）．16．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．例如，，．请仿照上例解下列问题：（1）；（2）．【解答】解：（1），；（2），．17．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：解决问题：①在括号内填上适当的数：②根据上述思路，试将予以化简．【解答】解：①，故答案为：，；②．18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，．（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）化简【解答】解：（1），，故答案为：，．（2）设则，若令，，则，故答案为：21，4，1，2．（3）20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，；（2）若，且、、均为正整数，求的值；（3）化简：．【解答】解：（1），，，．故答案为，；（2），，，，、均为正整数，、或，，或7；（3），则．21．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：，．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1）（2）（3）．【解答】解：（1）；（2）；（3）原式，，，，．22．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：反之，求：（1）；（2）；（3）若，则、与、的关系是什么？并说明理由．【解答】解：（1）；（2）；（3），．理由：，，，，．23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得以化简．例如，因为，所以．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）；（2）．【解答】解：（1），，（2），．24．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例