二次函数与几何结合 公开课教学设计

一、运用几何变换（平移、对称、旋转、位似等）求解析式【例1】已知抛物线与抛物线关于y轴对称，求的解析式.练习：1.抛物线向左平移p个单位，向上平移q个单位后经过点（1,3）和（4,9），求平移后的抛物线的解析式.2.已知抛物线，求：（1）关于y轴对称的抛物线的解析式；（2）关于x轴对称的抛物线的解析式；（3）关于原点对称的抛物线的解析式；（4）关于直线x＝1对称的抛物线的解析式；（5）绕着点（1,1）旋转180°后抛物线的解析式；（6）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式.二、利用简单的数量关系或几何关系求解析式【例2】抛物线与x轴仅有一个公共点A，求抛物线的解析式.练习：1.抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，，求抛物线的解析式.2.抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），AB＝4，抛物线顶点为E，tan∠ABE＝2，求抛物线的解析式.三、二次函数中的公共点问题【例3】如图，抛物线与y轴交于C（0,3），D为顶点，延长DC交x轴于点E，若将抛物线沿对称轴向下平移m个单位或向上平移n个单位，使抛物线与线段DE总有公共点，求m，n的取值范围.练习：1.（2016三明改）如图，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：，当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围.2.抛物线与x轴交于点A、B，A点在B点左边，抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D.若直线与，共有3个不同的公共点，则m的取值范围是.3.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC＝AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD＝8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA＝°；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？三、二次函数中的面积问题【例4】已知直线与抛物线交于A，B两点，在抛物线上求点P，使.练习：1.（2015福州改）如图，抛物线与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线与对称轴交于点Q.若两个三角形的面积满足,求m的值.四、二次函数中的角问题【例4】在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点，（1）求的正切值；（2）点在平移后抛物线的对称轴上，联结、，当时，求点坐标.练习：1.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO—OC—CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。2.如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO＋∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，求点P的坐标．3.如图，抛物线C1：的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2.抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.①当k＞1时，求k的值；②当k＜－1时，请你直接写出k的值，不必说明理由.四、二次函数中的存在性问题【例5】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）求出A、B的坐标和△ABC的面积；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1.如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿轴向左平移m（m＞0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD．（1）判断△PAD能否为直角三角形，若能，求m的值；若不能，说明理由；（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似时，求m的值.2.抛物线:的顶点为,抛物线开口向下且顶点在轴上，若、两点关于点(，)对称.（1）求的值；（2）若抛物线与轴的正半轴的交点是,当为直角三角形时，求抛物线的解析式.3.抛物线，若a，b，c满足b＝a＋c，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线C1：y＝（x＋m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y＝﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m＝．①当OC＝2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP＝BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB＝2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．5.已知抛物线（）的顶点为，点、、在该抛物线上．（Ⅰ）当，，时，①求顶点的坐标；②求的值；（Ⅱ）当恒成立时，求的最小值．6、如图，抛物线F，顶点为D（2，－1），且交x轴于点A(1，0)、B，交y轴于点C.(1)求F的解析式；(2)点P、Q均在对称轴上，满足：PA＋PC最小建立几何模型，化归为方程问题！.求P的坐标.建立几何模型，化归为方程问题！(3)如图2，点M在x轴上，点N在抛物线上，满足以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形解析设点后，再结合这个条件【用平移规律解题】，化归方程问题.求点N的坐标；解析设点后，再结合这个条件【用平移规律解题】，化归方程问题(4)如图3，点P在抛物线上，满足面积相等模型存在两种情形：平行线下构造同底等高；三角形中线平分面积再化归为解方程问题.求面积相等模型存在两种情形：平行线下构造同底等高；三角形中线平分面积再化归为解方程问题(5)如图4，将抛物线F向右平移m个单位得到抛物线F1，且两抛物线交于点Q，满足∠QCB＝∠ACB角相等模型可联想：角平分线（内心）折叠（轴对称）三角形相似（全等）三角函数同弧所对圆周角（共圆）角平分线＋平行=等腰.求m角相等模型可联想：角平分线（内心）折叠（轴对称）三角形相似（全等）三角函数同弧所对圆周角（共圆）角平分线＋平行=等腰(6)如图5，点M为BC下方抛物线上的动点，过点M作MN⊥x轴，交BC于点N，过点M作MK⊥BC于K.连接CM，设M的横坐标为m：①用含m的代数式表示MN；②求m为何值时，线段MK最长代数式配方思想的考察！？代数式配方思想的考察！③问：是否存在这样的m，使得NM把△MKC分成面积比为3:4的两个三角形由面积比，结合面积公式，转化为线段比，其中线段为平行于坐标轴的线段，方可结合解析设点将线段比问题化归为坐标关系（化斜为直），最后列出相关方程！PS：注意分类讨论！？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.由面积比，结合面积公式，转化为线段比，其中线段为平行于坐标轴的线段，方可结合解析设点将线段比问题化归为坐标关系（化斜为直），最后列出相关方程！PS：注意分类讨论！(7)如图，将抛物线F向左或向右平移，得到抛物线F2，记抛物线F2的顶点为R.若∠RCA＝45°角=45°，这个条件的处理，结合几何模型！.求F2的解析式.角=45°，这个条件的处理，结合几何模型！xxyOABCD图2xyOABCD图3xyOABCD图4xyOABCD图5MNKxyOABCD图5MNKxyOABCD图17、如图①，在直角坐标系中，抛物线交x轴于A(－3，0)、B(－1，0)，交y轴于C点，且cos∠CAB＝。【原创】求该抛物线的解析式；如图①，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与A、C重合），P的横坐标为p，以PC为边作正方形CPMN，若顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求p的值；如图②，将抛物线平移，当顶点至原点时，过点Q（0,3）作直线EF交抛物线于E、F两点（EF不与x轴平行），问：在y轴负半轴上是否存在点K，使得△KEF的内心落在y轴上？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由。8、如图（1），抛物线（≠0）与x轴交于A(－2,0)、B（5,0），与y轴交于点D，且经过点C（2,2）.（1）(2分)求该抛物线的解析式；（2）连接BD，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，交BD于点G，点P从B点出发以1个单位每秒的速度向O运动，运动时间为t秒：①（4分）如图（1），连接CP交BD于点F，若△BFP∽△CFG，求此时t的值；②（6分）如图（2），抛物线上取点K（－1,1），连接AK，OK，OC，AC，PK。AC交OK于点M，PK交OC于点N，连接MN，当t＝1秒时，求证：MN∥OA，并写出此时MN的长为。9、如图，抛物线F：y＝ax2＋bx＋3与x轴交于两点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C；（1）（2分）求抛物线F的解析式；（2）（4分）M在抛物线F的对称轴上运动，满足：∠AMB≥90°.求点M的运动轨迹长；（3）（6分）将抛物线F向右平移m个单位得到新的抛物线F1，F1与F的交点记为P，若∠PCB＝∠ACB，求抛物线F1的解析式.CC0yxBACC0yxBA10、如图，某抛物线与x轴交于点A、B（6,0）两点，与y轴交于C（0，－8），且tan∠BAC＝4.（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）点P是BC上的一个动点，过P作PM∥x轴交y左侧的抛物线于点M，作PN⊥x轴交x轴于点N：ABCOPMNxyDE（5分）①若ABCOPMNxyDE（6分）②若△BOC的内心落在直线BM上，求P的坐标.11、如图，抛物线与直线AB交于A(－3，0)、B(0，3)两点，与x轴的另一交点为C，(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点H，使得？若存在，求点H的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若平移直线AB交抛物线于M、N两点，且.求直线MN的解析式.(4)记抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.取点F(0，1)，连接BC，平移直线BC交抛物线于点P，交直线l于Q.若∠FQP＝45°.求P的坐标.12、抛物线F：经过点(1，3).且a、b、c满足：abc＝0，ab＋bc＋ca＝－4，a＜b＜c.设抛物线F与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C.(1)求抛物线F的解析式；(2)若点Q(m，n)是第一象限内抛物线上一点：①设△AQC的面积为S，求S与m之间的函数关系式；②求当m为何值时，△AQC为直角三角形？(3)将抛物线F向左或向右平移r个单位长度，得到抛物线F1.设F、F1交于点P.过P作PH⊥AC于H.若△CPH与△ACO相似.求r的值.13、定义：我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)若点P()，直线l为经过点P的“蛋圆”切线：①请求出直线l的解析式；②若将直线l向右平移m个单位之后，与“蛋圆”交于K、L两点（K在y轴左侧），且KL＝.求m的值.xyxyOABPCDMxyOABPCDM14、已知：如图抛物线F：的顶点为A.将抛物线F沿着OA延长线方向平移得到新的抛物线F1，且抛物线F1的顶点为B，与x轴交于C、D两点.(1)求直线OA的解析式；(2)在平移过程中：①若.求抛物线F1的解析式.②过点B作BQ⊥y轴于点Q.问：抛物线F1的对称轴上是否存在点P，使得△QCP为等边三角形？若存在，请求出抛物线F1的解析式；若不存在，请说明理由.xxyOABCDFF1yO备用图xFA15、如图(1)所示，抛物线F：经过点A(1，0).且a、b、c满足：a＞b＞c，abc＝0，ab＋bc＋ca＝－1.(1)求抛物线F的解析式；(2)将抛物线F向右平移m个单位(m＞1)，得到新抛物线F1，且F1交y轴正半轴于点C：①过点C作直线CQ交x轴于点Q(7，0).若tan∠ACQ＝.求抛物线F1的解析式.②取P(9，0).问：是否存在这样的m，使得∠ACP最大？若存在，请求出m及tan∠ACP的值；若不存在，请说明理由.yyxyOACQFF1图(1)xOACPFF1图(2)xyOAF备用图16、如图(1)，已知抛物线交y轴于点B(0，－8)，且交x轴正半轴于点A(6，0).(1)求该抛物线的解析式；(2)经过原点O的直线l在第三象限内交抛物线于点P，连接PA：①若∠BAP＝45°，求直线PA的解析式；②问：是否存在这样的直线l，使得∠POB＝∠BAP？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由.xxyOBAC图(1)PxyOBAC图(2)P17、定义：将抛物线F上的点的横坐标和纵坐标都变为原来的k倍，得到新抛物线F1.则称抛物线F1为F的“k倍位似抛物线”.如图所示，已知抛物线F：交x轴于A、B两点，交y轴于点C.抛物线F1为F的“k倍位似抛物线”（k＞0），且抛物线F1交x轴于点L、M两点（点L在M左侧）.(1)直接写出抛物线F1的解析式：.（用含k的式