新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第29讲外接球与内切球问题教师版

第29讲外接球与内切球问题一．选择题（共20小题）1．（2021春•润州区校级期末）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：正方体外接球的球心在体对角线的中点，设半径为，则，即，所以球的表面积为．故选：．2．（2021•泉州二模）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球的球面上，若十四面体的棱长为1，则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，该十四面体的棱长为1，正方体的棱长为，该正方体的外接球球心坐标为，设十四面体上一点，则，故十四面体的外接球的半径为，球的表面积为．故选：．3．（2021•三模拟）如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球（其中球心在圆锥内），则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面圆心为，连接，，，，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积．故选：．4．（2021•甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．【解答】解：因为，，所以底面为等腰直角三角形，所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，在中，，则，在中，，故三棱锥的体积为．故选：．5．（2021春•让胡路区校级期末）一块边长为的正方形铁片如图所示，将它的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积A． B． C． D．【解答】解：根据题意，可知正四棱锥的底面边长为6，斜高为5，（如图）从而可得正四棱锥的高，底面外接圆．正四棱锥的外接球的半径，解得，可得外接球的表面积．故选：．6．（2021•晋中三模）在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为A． B． C． D．【解答】解：取的中点，则有，，因为，所以，，则，为正三角形，球心在平面上的投影即为的中心，则，球的半径，在中，则截面圆的半径，在正三角形中，以点为圆心，作半径为的圆，圆与三角形截得的三个部分，圆心角都为，故球的球面与侧面的交线长度为截面圆周长的，所以该球的球面与侧面的交线长度为．故选：．7．（2021•河南模拟）如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，，点，，，，，在同一个球面上，则该球的体积是A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，交与，则，连接、，设，则，连接，则，，平面平面，平面平面，平面，则，即为点，，，，，所在球的球心，半径．所求球的体积是．故选：．8．在半径为的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为A． B． C． D．【解答】解：由已知中四个半径都是的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，连接四个球的球心，得到一个棱长为的正四面体则该正四面体的外接球半径为若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径为，另有一个更大的球与这四个球都内切，更大球的．，故选：．9．（2021春•三明期中）在三棱锥中，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：三棱锥中，若球是三棱锥的外接球，如图所示：在平面中，过点作于点，由于平面平面，故平面，所以，由于．故平面，所以．由于，，故，所以，进一步求出，设的中心为，设，利用，解得，所以该三角形的中心在三角形的外部，即，由于三角形为直角三角形，点为的中点，所以，过点作平面，所以，即外接球的半径为，故．故选：．10．（2021•白山三模）如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，，取的中点，连接，，过作于，可知底面，设，则，，，设球的半径为，半球的半径为，则，，在等边三角形中，求得，由，可得，故．故选：．11．（2021•鼓楼区校级模拟）已知矩形，，，点为边的中点将沿翻折，得到四棱锥，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：如图所示，取，中点分别为，，连结，作，且，设外接球球心为，半径为，由平面平面，易知平面，则有平面，且易知球心在上，四边形为矩形，设，则有，解得，所以，此时点与点重合，外接球表面积为．故选：．12．桌面上放着3个半径为1的球，两两相切，在它们上方的空间里放入一个球使其顶点（最高处）恰好和3个球的顶点在同一个平面上，该球的半径为A． B． C． D．【解答】解：问题转化为摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，设三个半径为1的球的球心分别为，，，与桌面三个切点分别为，，，如下图所示：则三棱柱，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则小球球心在底面上的投影必为的中心，设小球半径为，在中，，则又，解得，故选：．13．（2021•龙岩模拟）如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是A． B． C． D．【解答】解：由题意，棱长为10的正方体，当球的半径最大时，即是正方体内切球的时候，可得球半径，那么球的体积．故选：．14．（2021•桂林三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得，解得：．球的表面积为．故选：．15．（2021•聊城一模）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为A． B． C． D．【解答】解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为，球的表面积为．圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．故选：．16．（2021•5月份模拟）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为A． B． C． D．【解答】解：因为，，可知，又，，所以，故，取的中点，则，，又平面平面，且平面平面，所以平面，设的外接圆的圆心为，则在的延长线上，因为，，所以，所以，设为的外接圆的圆心，则为的中点，，连结，，由球的性质可知，平面，所以，，同理可得，，，所以四边形为正方形，所以球的半径为，所以，则球的体积为．故选：．17．（2021•广西模拟）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，与平面所成的角为，则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：如图，由平面，得平面平面，取中点，连接，，则，可得平面，则，，，得，求得，则为底面三角形的外心，过作底面，且在球内部），则为三棱锥的外接球的球心，可得．球的表面积为．故选：．18．（2021•厦门模拟）如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为A． B． C． D．【解答】解：由平面图形还原原四棱锥如图，该四棱锥底面为正方形，边长为2，侧面底面，，则．取的中点，则为的外心，连接、，相交于，则平面，可得，即为四棱锥的外接球的球心，延长交于，则为的中点，连接，在中，有，，设到的距离为，则，即．则四棱锥外接球的球心到面的距离为．故选：．19．（2021•江苏模拟）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，所以，为中位线，又，，，，平面平面，，且则，，两两垂直如图将补成一个正方体外接球半径，，故选：．20．（2021春•扬中市校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为A． B． C． D．【解答】解：如图，平面，、平面，，，，，，又，，即，取中点，则为的外心，设球的半径为，三角形的外接圆半径为，则，，球的表面积为．故选：．二．填空题（共18小题）21．（2021•蚌埠模拟）有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为．【解答】解：将四个球的球心两两连线，可得出棱长为2的正四面体，正四面体的外接球球心即为球心，如图所示，设点在底面的射影点为，则球心在线段上，设正四面体的外接球半径为，由正弦定理可知，正△的外接圆半径为，而，由题意可得，，即，解得，，球的半径为．故答案为：．22．（2021•榆林一模）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于．【解答】解：设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，在中，，，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，，在中，，，，，直三棱柱的外接球的表面积为：，故答案为：．23．（2021•安徽模拟）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为．【解答】解：设，球的半径为，则，由球的表面积为，得．在△中，，即，解得，故圆锥的侧面积为．故答案为：．24．（2021秋•唐山期末）已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球的表面积为．【解答】解：设圆锥的底面半径，则，，圆锥的侧面积为，解得．圆锥的高为9，设球的半径为，，由勾股定理得：，解得，球的表面积为：．故答案为：．25．（2021春•青羊区校级期末）已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为．【解答】解：如图，设两三角形外心分别为，，球心为，中点为，由题意知，，，球半径，四面体的外接球的表面积为．故答案为：．26．（2021•沈阳三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为．【解答】解：是以为斜边的等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，则，可得、、两两相互垂直，且，以为顶点，以、、为过点的三条棱构造正方体，可得四面体外接球的半径，四面体的外接球的表面积为．故答案为：．27．（2021春•包河区校级期中）把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为．【解答】解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为、、，半径为19的球的球心为，连接、、、、、，则在平面上的射影为底面正三角形的外心，可得，三棱锥为正三棱锥，侧棱，则．再设大球的球心为，由对称性可得，在线段上，要使大球与四个小球都内切，则，设，则，，则，解得．大球的半径为．故答案为：．28．把半径为的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为．【解答】解：当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，如图所示：四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体，该正四面体的边长为，则正四面体的高为，则正四面体的外接球半径为，大球半径最小为：，故答案为：29．（2021•饶阳县校级模拟）如图，在三棱柱中，，为棱上一点，且，平面，则三棱锥的外接球的表面积为．【解答】解：如图，取的中点，连接，．平面，，平面，，，，，又，，平面，平面，，则，得为三棱锥的外接球的球心．，，三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．30．（2021•普陀区模拟）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．【解答】解：设内切球的半径为，则利用轴截面，根据等面积可得，，该圆锥内切球的表面积为，故答案为：．31．（2021•奉贤区校级二模）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则球的体积为；到平面的距离为．【解答】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：；所以，解得，球的体积为：，所以到平面的距离为：．故答案为：，1．32．（2021•渝水区校级模拟）阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的正多边形为面构成的凸多面体．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为，则该阿基米德多面体外接球的表面积为．【解答】解：设阿基米德多面体的棱长为，则，解得，显然正四面体的棱长为3，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为．如图：，则，，，设，则，在直角三角形中，，即，解得，在直角三角形中，在三角形中，，由余弦定理得，，．所以这个半正多面体的外接球的半径为．则该阿基米德多面体外接球的表面积为故答案为：．33．（2021•泰州模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体，则该阿基米德八面体的外接球的表面积为．【解答】解：如图，截去4个小正四面体后得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体，可知阿基米德八面体的所有棱长都相等，等于原正四面体棱长的，为，原正四面体外接球的球心，就是阿基米德八面体的外接球的球心，设球心为，半径为，一个正六边形的中心为，则与正六边形所在平面垂直，的长度为原正四面体内切球的半径，由等体积法可知，等于原正四面体高的，即，，，则该阿基米德八面体的外接球的表面积为．故答案为：．34．（2021•潍坊三模）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为．【解答】解：设圆锥去的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，作出圆锥的轴截面如图所示，设，由于，则，，，，又，，，，则圆锥表面积为，圆锥内切球表面积为，所求比值为，令，则，当时，取得最大值为．故答案为：．35．（2021