新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第30讲长方体四面体旋转体模型教师版

第30讲长方体，四面体，旋转体模型一．选择题（共18小题）1．（2021•天津校级期中）空间四边形的两条对角线，的长分别为4，5，则平行于两条对角线的截面四边形在平移过程中，其周长的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：如图所示，设，，，，周长．又，周长的范围为．故选：．2．（2021•余姚市校级模拟）在正四面体中，，分别是棱，的中点，，分别是直线，上的动点，是的中点，则能使点的轨迹是圆的条件是A． B． C． D．【解答】解：如图所示，正四面体中，取、、、的中点、、、，因为、分别是棱，的中点，所以的中点也为定点；由对称性知，和的中点都在中截面上；由，所以；又在正四面体中，对棱垂直，所以；所以，即；若点的轨迹是以为圆心的圆，则为定值．故选：．3．（2021•浙江开学）在正四面体中，，分别是棱，的中点，，分别是直线，上的动点，且满足，是的中点，则点的轨迹围成的区域的面积是A． B． C． D．【解答】解：在正四面体中，取，，，的中点，，，，如图所示，因为，分别是棱，的中点，所以的中点也为定点，由对称性可知，和的中点都在中截面（正方形）上，由，所以，设，在中截面上的投影分别为，，所以，所以点是线段的中点，作，，如图所示，则，因为，所以，取，则，两式相减可得，过点作，所以，所以，所以的中点在上，同理的中点在，，上，因为，故定点的轨迹是边长为的正方形，所以其轨迹围成的区域的面积为．故选：．4．（2021•3月份模拟）在棱长为的正四面体中，点，分别为直线，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足，若，则长度为A． B． C．3 D．2【解答】解：将正四面体放在棱长为4的正方体中，则，为正方体的中心，设，分别为，的中点，则是的中点，所以，，连结，设的中点为，连结，，，因为是的中位线，所以，，同理可得，，，因为，所以，则，即，所以，则，因为，所以，又，，，，平面，所以平面，又平面，所以，在中，．故选：．5．（2021春•岳麓区校级月考）如图所示，在中，，．若平面外的点和线段上的点满足，，则四面体的体积的最大值为A． B． C． D．1【解答】解：由题意可知，，可以看成是绕轴旋转形成的．点在边上每选定一个位置，则底面的面积就为定值，此时，当平面垂直于底面时，四面体的体积就取得最大值．此时过点作的垂线，则该垂线即为三棱锥的高，且高等于中边上的高线，如图所示．在中，，，则．设，则．在中，由余弦定理，可得．，，所以四面体的体积，设，则，因为函数在，上单调递减，所以当，即，即点为边的中点时，取得最大值，最大值为．故选：．6．（2021•河南二模）如图，在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为A． B． C． D．【解答】解：由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，由翻折的特征知，连接，则，故点的轨迹是以为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当与重合时，，取为的中点，得到是正三角形．故，，其所对的弧长为，故选：．7．（2021春•鹿城区校级月考）单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为A． B． C． D．【解答】解：要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球的内接四面体的体积的最大值，球的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为．故选：．8．（2021•桐乡市一模）如图，已知，为的角平分线，沿直线将翻折成△，所成二面角的平面角为，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：①当时，，，②当时，如图，点投影在上，，连结，，，，即‘．综上，，．故选：．9．（2021•上海模拟）已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折的过程中A．存在某个位置，使得直线和直线垂直 B．存在某个位置，使得直线和直线垂直 C．存在某个位置，使得直线和直线垂直 D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直【解答】解：对于，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，，平面，平面平面，过点作平面的垂线，则在上，当在平面上的射影在上时，．故正确；对于，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，作，则平面，，显然这是不可能的，故错误；对于，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，，，即，显然这是不可能的，故错误．故选：．10．（2021•榆社县校级期中）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，沿直线将翻折成△，使二面角为直角，点，分别在线段，上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则线段A． B． C．1 D．2【解答】解：设，翻折后，与重合，，，，，，，取的中点，连接，二面角为直角，，，平面，在中，，，，由余弦定理可得，，，，，解得，故选：．11．（2021•滑县期末）在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C．0 D．【解答】解：如图所示，把直三棱柱，补为正方体．由正方体的性质可得：．异面直线与所成角的余弦值为0．故选：．12．（2021•浙江月考）设点是长方体的棱的中点，，，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为A．椭圆的一部分 B．抛物线的一部分 C．一条线段 D．一段圆弧【解答】解：建系，如图，设，5，，，0，，，0，，，设平面的一个法向量为，则，不妨取，则，故，而平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，即，即，为一个平面，故点的轨迹为一条线段．故选：．13．（2021•海淀区校级月考）若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是A．一定与垂直 B．一定与平行 C．一定与共面 D．与的位置关系可能是平行，相交，或异面【解答】解：如图所示，与的位置关系可能是平行，相交，或异面．故选：．14．（2021•百色模拟）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是A． B．， C．， D．，【解答】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，1，，，2，，，0，，设，0，，，，，则，0，，1，，，，，，异面直线与成的角，，，，，解得，，，线段长的取值范围是，．故选：．15．（2021•宁波二模）在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）．设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则A． B． C． D．【解答】解：如图，由选项可知，该题可以使用特殊值法，设正四面体的棱长为2，取为的中点，连接，，则，，又，平面，则，由平面，平面，则平面平面，且平面平面，则，由余弦定理可得，，设底面中心为，过作，则底面，．则．．，．故选：．16．（2021•平湖市模拟）已知矩形中，，，为线段上一动点（不含端点），现将沿直线进行翻折，在翻折的过程中不可能成立的是A．存在某个位置，使直线与垂直 B．存在某个位置，使直线与垂直 C．存在某个位置，使直线与垂直 D．存在某个位置，使直线与垂直【解答】解：设，所以，当时，直线与垂直，，当时，直线与垂直，，当时直线与垂直，所以在翻折的过程中不可能成立的是：存在某个位置，使直线与垂直，故选：．17．（2021•越城区校级期末）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：过作的垂线交与，交于，于，设在平面内的投影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，设由题意，，由，，，，，令，可得解得，所以；故选：．18．（2021春•浙江月考）如图，棱长为2的正方体的顶点在平面上，棱与平面所成的角为，点在平面上的射影为，正方体绕直线旋转，则当直线与所成角最小时，侧面在平面上的投影面积为A． B． C． D．2【解答】解：依题意，显然当平面平面时，能使直线与所成角最小，此时直线平面，所以平面，因为平面，平面，平面，所以，，又因为平面平面，，平面，平面，所以为二面角的平面角，又，所以平面在平面上的投影面积．故选：．二．多选题（共4小题）19．（2021春•滨湖区校级期中）已知正方体，下列命题正确的是A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对 B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体 C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对 D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种【解答】解：先找出与棱所在直线异面其它棱所在直线：，，，共4条，相互异面的共（对，故对；从8个顶点取4个顶点的组合数为：，由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种组合，可得到（个不同的四面体，故错；与面对角线成的面对角线有：，，，，，，，共8条，所有面对角线构成共对，故错；当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有（种方法．当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有．共（种涂色方法，故对．答案故选：．20．（2021•大连期末）如图所示，已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成△，下列说法正确的是A． B． C．直线与成角余弦的最大值为 D．点到平面的距离的最大值为【解答】解：如图：由平面四边形，，，，，取中点为，则，，，故．取为基底向量，由已知得，，设．结合图形以及诱导公式可知：（当半平面与半平面反向时取最小值，同向时取最大值）．故，故对；，故错；，，设直线与成角余弦为，则，当时，分母最小，故的值最大为，故正确；当点绕着转到，即时，点到平面的距离小于或等于，结合，可知平面，而此时，有，故平面不存在，故选项错误．故选：．21．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值可以是A． B． C． D．1【解答】解：设，，则，，平面平面，平面平面，平面，平面，，由勾股定理知，，，，，化简整理得，，在上单调递增，，故的取值范围为，．故选：．22．（2021•番禺区期末），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论中正确的是A．当直线与成角时，与成角 B．当直线与成角时，与成角 C．直线与所成角的最小值为 D．直线与所成角的最小值为【解答】解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，直线的方向单位向量，1，，，直线的方向单位向量，0，，，设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，其中为与的夹角，，，在运动过程中的向量，，，，，设与所成夹角为，，则，，，，正确，错误．设与所成夹角为，，，当与夹角为时，即，，，，，，，此时与的夹角为，正确，错误．故选：．三．填空题（共6小题）23．（2021•黄浦区校级模拟）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为．【解答】解：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有8条，而正方体有12条对角线，所以共有（对对角线所成角为，而有一半是重复的，所以从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对，所以概率为．故答案为：．24．（2021春•桃城区校级月考）若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则①③④．（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【解答】解：由题意可知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则④正确．故答案为：①③④．25．（2021•浦东新区校级期中）已知三棱柱的底面的三边长分别是，，，侧棱且与底面所成角为，则此三棱柱的体积为．【解答】解：由，，，得，则是以为直角顶点的直角三角形，．又侧棱且与底面所成角为，到底面的距离为，即三棱柱的高为．此三棱柱的体积为．故答案为：．26．（2021•3月份模拟）在棱长为的正四面体中，点分别为直线，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足，若，则长度为．【解答】解：如图，将正四面体放置在棱长为4的正方体中，则，为正方体的中心，设、分别是、的中点，则是的中点，，，连接，设的中点为，连接，，，为的中位线，，，同理，，，，，，即，则，，，，，，，平面，可得，在中，．故答案为：．27．（2021春•西城区校级期末）已知，是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面，使直线平面，直线平面；②一定存在平面，使直线平面，直线平面；③一定存在无数个平面，使直线与平面交于一个定点，且直线平面；④一定存在平面，使直线平面，直线平面．则所有正确结论的序号为②③．【解答】解：（1）假设①正确，则存在直线平面，使得，又，故，，显然当异面直线，不垂直时，结论错误，故①错误；（2）设异面直线，的公垂线为，平面，且，均不在内，则，均与平面平行，故②正确；（3）在直线上取点，显然过点有无数个平面均与直线平行，故③正确；（4）假设④正确，则由，可得，显然这与，是异面直线矛盾，故④错误．故答案为：②③．28．（2021•迎泽区校级月考）有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为1，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于2或．【解答】解：有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为1，，另一块三角板的两条直角边的长均为，这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，如图一：直角中，，，，直角中，，，且平面平面，平面，，不重合的两个顶点间的距离；如图二：直角中，，，，直角中，，，且平面平面，，平面，，不重合的两个顶点间的距离．综上，不重合的两个顶点间的距离等于2或．故答案为：2或．四．解答题（共3小题）29．（2010•浙江）如图，在矩形中，点，分别在线段，上，．沿直线将翻折成△，使平面平面．（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）点，分别在线段，上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长．【解答】解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，因为及是的中点，所以，又因为平面平面．如图建立空间直角坐标系则，2，，，8，，，0，，，0，．故，2，，，0，．设，，为平面的一个法向量，，取，则．又平面的一个法向量，故．所以二面角的余弦值为（Ⅱ）设，则，0，，因为翻