2014年华约自主招生全真模拟-数学AAA(含答案以及详解)

#/99.答：815令u=12，原方程化为(X3.y3)u2+(3x+y)u+—--=0. ①X-y 1A=(3X+y)2—4(X3—y3). x—y=5X2+2xy—3y2=(5X—3y)(x+y).X<y，X<y，国<3或||y|<3,(5x—3y)(x+y)>0,3x+y<0.分，其面积为X<y，|x|<3,|y|<3，点集N所成区域为图中阴影部(5x—3y)(x+y)点集N所成区域为图中阴影部S=S+SAABO ABCO124.1 _81=_x——x3+—x6x3=—25 2 510.答：2兀16因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且4F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为x二改+1，与椭圆方程联立得Qm2+4)y2+6my—9=0，设P(x,y)，Q(x,y)，则y+y=6m—，11 22 123m2+4y1y2=—3m9+4，于是5"PQ=#/2”y1—y21rO值=12感当。因为m2+1= 1 = 1 <1，所以内切圆半径(3m2+4/9m2+15+-^―9m2+9+-^―+616m2+1 m2+1r=巴皿<3,因此其面积最大值是1兀。8 4 16二、解答题解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且内)在区间(2,3］上的最大值只能在闭端点取得，故有f(2)Wf(3)=1，从而b>—5且c=—3b―8.若f(x)=0有实根，则A=b2-4c三0，在区间［一2,2］有」(-)21即|-2WbW2, 1[ 24-2b+c引04+2b+c20：消去。，解出1-4WbW4,bw-4,bW-4,-4WbW4,即b:-4，这时c:4，且A=0・若山):0无实根，则a=b2-4c<0，将c=-3b-8代入解得-8<b<-4*综上-5wbW-4-所以b2+c2=b2+(-3b-8)2=10b2+48b+64，单调递减"故(b2+c2) =32,(b2+c2) =74*min注重分类讨论max解：(1)设c为椭圆的焦半径，则c4a2 25—=—.——=——。a5c4于是有a=5，b=3。(2)解法一：设B点坐标为(s,t)，P点坐标为(x,y)。AB=(s-6，t)AP=(x-6，y)。因为AB1AP，所以有 一 一,(s-6，t)(x-6，y)=(s-6)(x-6)+ty=0。又因为ABP为等腰直角三角形，所以有AB=AP，即(s-6)2+12=(x-6)2+y2。由(A1)推出s6=-y―n(s-6)2=-上匕，代入32)x-6 (x-6)212=(x-6)2从而有y2=(s-6)2，即s=6+y(不合题意，舍去)或s=6-y。代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程于是有(A1)(A2)2525(X—6)2(V—6)2 1 +- = 1。解法二:为设B（号yj,P（羽V）,|”=r，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程x=6+rcosa。y=rsina设AB与x轴正方向夹角为0,B点的参数表示为X=6+rcos0i ，y=rsin0iP点的参数表示为x=6+rsin0y=—rcosx=6+rsin0y=—rcos0y=rsin(900—0)从上面两式，得到x=6—yy=x—6

i又由于B点在椭圆上，可得TOC\o"1-5"\h\z(^+(^\i。

9 25此即为P点的轨迹方程。三（I）解：方程X2—（3k+2k）X+3左产二。的两个根为x=3k，x=2k，1 2(分)S=a+a++a=(3+6+ +3n)+(2+22+ +2n)2n 1 2 2n3n2+3n _= +2n+i—22（分）(II证明:i+ aa34i +aa56(—1)f(n+1)+- ，aa2n—12n所以T1aa121+ aa3，————・：244（分）1 +aa56(―1)f(n+1)aa2n―12n1 +aa56111+——2n（分）同时，T—9-，n24aa561 +aa78(―1)f(n+1).5+- W——一aa242n―12n1 +aa561 +aa7811 +—9121综上，当ngN时，1WT+ 6n分）249F〃v5工——・245<——・

24四、解：椭圆过定点A<3

3联立方程Jy四、解：椭圆过定点A<3

3联立方程Jy=x(x>0)，解得x-y-<1+b2(1，0)，则a—1,c—11―b2,e—v1—b2,2•-<e2<1，••0<b<3由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y—x（X>0）的交点，就必过椭圆与射线y―—x（x>0）的交点。设抛物线方程为:设抛物线方程为:y2――2p(x一m)，p>0,m>1。y2=(1―m)(x―m)代入①得x2+4(m-1)x一4m(m一1)—0，m>1，0<x<2令f(x)—x2+4(m-1)x一4m(m―1)，m>1，0<x<—，2

:f(x)在,，j内有根且单调递增，f(0)=—4m(m-1)<0 m>1或m<0•,，/111 n，a_75f-=-+2(m—1)—4m(m—1)>0 3"〈m(3±1〔12；4 〔4 4综上得：1<m<3+"2。4五、(1)由题意知L工的可能取值为0,2,4二0”指的是实验成功2次，失败2次TOC\o"1-5"\h\zs 1 1 24P&=0)=C2()3(1--)2二一43 3 81笛二2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.1 1 1 1 40.•.P&=2)=C3()3(1—)+C1()(1—)3=3 3 43 3 81笛二4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.1 1 17Pd=4)=C4()4+C0(1——)4=-43 4、 3 8124 40 17148，E匕=0义一+2义一+4义一=一81 81 81 81故随机变量己的数学期望为理.81(2)由题意知：“不等式行2-5+1>0的解集是实数R”为事件A.当己二0时，不等式化为1>0,其解集是R,说明事件A发生；当己二2时，不等式化为2x2