抛物线及其标准方程 (2)

抛物线及其标准方程喷泉34请同学们思考一个问题我们对抛物线已有了哪些认识？想一想？【课题引入】

大家知道二次函数的图像是一条抛物线，斜抛物体在没有阻力的情况下其轨迹为抛物线，如铅球足球的运行轨迹，有些拱桥、雷达的天线等也都是利用抛物线原理所制成的。请同学们观察这样一个小实验？

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。（定点F不在定直线l上）

点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。（一）抛物线的定义lFKMN想一想：定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么?l·F一条经过点F且垂直于l的直线········FMlN想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？（二）抛物线的标准方程yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：

抛物线是一个怎样的对称图形？如图所示，以经过点F且垂直于l的直线为x轴,x轴与直线l交于点K，与抛物线交于点O，则O是线段KF的中点，以O为原点,建立直角坐标系。设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为(,0),准线l的方程为x=－。p2p2xyO··FMlNK设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d=|MN|想一想：p的几何意义？求抛物线的方程为什么？xyO··FMlNK由抛物线的定义，∵化简后得:∴抛物线的标准方程为它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是，准线方程是注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。13

方程

y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数，它的几何意义是:

焦点到准线的距离！

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？yoxyxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图象开口方向标准方程焦点准线向右向左向上向下想一想：

如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系？第一：一次项变量决定对称轴。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。（三）例题讲解例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。

解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上，坐标为，2p=6，所以焦点坐标是，准线方程是.(2)∵抛物线焦点坐标为F(0,-2)，∴抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为x2=-2py,并且∴2p=8，∴抛物线的标准方程为x2=-8y.18例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（-2，0）（2）准线方程是x=（3）焦点到准线的距离是2解：y2=-8x解：y2=x解：y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程

由例1.和例2.反思研究已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程先定位，后定量变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）

；(2)准线是；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2

；(2)x2+8y=0；x2=-12yy2=2x焦点，准线焦点，准线感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线解：∵焦点到准线的距离为2∴p=2又∵焦点的位置不确定∴该抛物线标准方程有四种形式

y2=±2px，

x2=±2py

此抛物线的标准方程有四种情况：y2=±4x，

x2=±4y

解：∵标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；又∵抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，∴焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，﹣3），∴焦点坐标为（4，0）或（0，﹣3）；当焦点为（4，0）时标准方程为y2=16x,当焦点为（0，﹣3）时标准方程为x2=﹣12y,综上，抛物线标准方程为y2=16x或x2=﹣12y

例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=2）设抛物线的标准方程为y2=-2px，把A（-3，2）代入，

得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。课堂练习已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1

a4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：

x=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：

x=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向右p2=14a课后练习25例3、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点

M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是

————————————X0+—2pOyx．FM．这就是抛物线的焦半径公式!262、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x（2）x2=y

（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2（四）课堂小结平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线l不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)441.已知抛物线

则它的焦点坐标是（

）

A.

B.

C.

D.

抛物线的标准方程为

焦点在y轴上，其坐标为（0,

），选D.

易错点：研究抛物线的几何性质时，方程必须是标准方程.D452.若抛物线

的准线过双曲线

的左焦点，则p的值为（

）

A.4

B.-4

C.2

D.-2

双曲线

的左焦点为（-2,0），抛物线y2=2px的准线方程为所以有

所以p=4，选A.A463.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点F的距离为（

）A.2

B.3C.4

D.5D47

解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1），由两点间距离公式知距离为解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.484.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线的标准方程为

.

当焦点在y轴上时，方程可设为x2=

my，因为过点P（-1,2），所以m=

，方程为x2=

y；当焦点在x轴上时，方程可设为y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方程为y2=-4x.填x2=

y或y2=-4x.

易错点：求抛物线的标准方程，应分析焦点所在的位置.495.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的中点,则弦长

=

.

显然直线l的斜率必存在，设l：y-2=k（x-2），

y-2=k（x-2）

y2=4x，则由，消去x得

y2-y+2-2k=050设A（x1,y1）,B（x2,y2），M是线段AB的中点，所以

得k=1，则

y2-y=0，得y=0或y=4.所以A（0,0）,B（4,4），所以

填51讨论题：1若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离则点M的坐标是2已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x,F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使PA与PF

的距离之和最小，并求出这个最小值。

52小结：1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法；2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程；3、注重数形结合的思想。53课外作业：课本P73习题2.4A组T1，2（1）补充1.求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点P(4，-2)；(2)焦点在直线x-2y-4=