寒假圆锥曲线中与中点有关问题的一般解法

智建领航者PAGE智建领航者本文发表于《数学通讯》2010年第4期邮箱：wfzy2008@126.com电话锥曲线中与中点有关问题的一般解法湖南省冷水江市第六中学(417500)章勇圆锥曲线中与中点有关的问题一般可用“点差法”来解决，它可减少计算，达到简化运算的目的。本文旨在“点差法”的基础上，推导出此类问题更一般的结论和方法。由“点差法”我们可得如下结论：1．椭圆内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为：；2．双曲线内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为：；3．抛物线内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为：.下面以椭圆为例进行证明,其它两个结论请自行证明.证明:设过点()且被P平分的弦两端点为在椭圆上,从而有，两式相减得整理得即所以,以P为中点的弦的直线方程为:整理即得()当故,以为中点的弦所在的直线方程为：；上述结论中,直线方程结构优美,便于记忆,使用方便。应用它解决与中点有关的圆锥曲线问题快捷准确。下面举例说明它们的应用。求以定点为中点的弦的所在的直线方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：由结论1，即可得以为中点的弦所在直线方程为：整理得所求直线方程：例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：假设存在这样的直线，由结论2得，以为中点的弦的直线方程为：，即，代入双曲线方程并整理得，这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。注意：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在，必须对直线的存在性进行验证。二、求过定点的弦或平行弦的中点的轨迹方程例3．直线绕定点转动，且与双曲线相交，求相交弦中点的轨迹方程。解：设相交弦中点坐标为，由结论2得弦所在直线方程为：例4．已知椭圆，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。解：设平行弦中点坐标为，由结论2得，以为中点的弦的直线方程为：其斜率由已知有，即所以所求平行弦中点轨迹方程：（在椭圆内的部分）。三、求与中点有关的圆锥曲线方程例5．已知椭圆的一条准线方程是,有一条倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为，求椭圆的方程。解：由结论1得，以为中点的弦AB的方程为：,由已知，从而，即①又②,③由①②③得故所求椭圆方程为：四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线：，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设A、B为椭圆上关于直线：的对称两点，为弦AB的中点，则直线AB的方程为：①又点在直线，有②由①②得，显然点在椭圆内，从而有解得：五、证明与中点有关的定值问题例7．已知AB是不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆中心，求证：直线AB和直线OP的斜率之积为定值。证明：设P点的坐标为，则直线AB方程为：又所以从以上几例我们体会到，利用本文所提出的结论求解圆锥曲线中点弦问题的一般方法是：先根据结论写出中点弦直线方程，再根据具体题目涉及到的条件（如将定点代入中点弦直线方程或由中点弦直线方程求得斜率等）