人教版高数选修45第2讲：证明不等式的基本方法

证明不等式的基本方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点：理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“_________，_____________，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从____________的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从________结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4） 肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的___________性,作适当的___________,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一：比较法、分析法和综合法去证明不等式例1.求证：x2+3>3x练习1.已知a,b,m都是正数，并且a<b，求证：练习2.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2例2.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：练习3.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：例3.求证练习4.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤类型二：反证法和放缩法证明不等式例4.若a,b,c,dR+，求证：练习5.当n>2时，求证：例5.设0<a,b,c<1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于练习6.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>01.设a,b,cR，（1）求证：（2）求证：（3）若a+b=1,求证：2.a,b,cR,求证：（1）(2)(3)3.求证：4.设x>0,y>0,,，求证：a<b5.若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.设a,bR+，求证：2.证明lg9•lg11<13.设<a,b,c<2，求证：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于14.证明5.已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：6.求证7.设、、是三角形的边长，求证8.若a>b>c,则9.证明10.证明11.已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：an+bn<cn(n≥3,nR*)12.若，证明（且）13.设，求证：14.对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）15.已知、、，，求证能力提升16．已知，，求证：17.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m