2023-2024学年上海市金山区罗星中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市金山区罗星中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1．（4分）下列两个图形一定相似的是A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形2．（4分）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．3．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么的长是A． B． C． D．4．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为A． B． C． D．5．（4分）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是A． B． C． D．6．（4分）将两个完全相同的等腰直角三角形与摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为，那么图中一定相似的三角形是A．与 B．与 C．与 D．与二、填空题（本大题共12小题，共48分）7．（4分）已知，那么的值等于．8．（4分）在中，点、分别在边、上，且，，，，那么．9．（4分）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于．10．（4分）在平面直角坐标系中，为原点，点在第一象限内，，射线与轴正半轴的夹角为，如果，那么点的坐标为．11．（4分）如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，那么．12．（4分）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了米．13．（4分）如图，已知在平行四边形中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，那么（用含、的式子表示）．14．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为．15．（4分）在中，点是重心，，，那么的长为．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，，，都在格点上，则的值是．17．（4分）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，联结，如果点是△的重心，那么的值是．18．（4分）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．计算：．20．如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点．求证：．21．如图，在中，是边上的高，，，．求：（1）线段的长；（2）的值．22．（12分）如图，在路边安装路灯，灯柱高，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．求：（1）路灯离地面的高度（即点到地面的距离）；（2）灯杆的长度．（参考数据：，23．（12分）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，求的值．24．（12分）如图，在等腰直角三角形中，，已知，，为边的中点．（1）求点的坐标；（2）设点的坐标为，求的值；（3）探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请简述理由．25．在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，交直线于点．（1）当时，求线段的长；（2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式，及其定义域；（3）当时，求线段的长．

2023-2024学年上海市金山区罗星中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，共24分）1．（4分）下列两个图形一定相似的是A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：．2．（4分）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．解：，，，，．，故此选项错误；．，故此选项错误；．，故此选项错误；．，故此选项正确．故选：．3．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么的长是A． B． C． D．解：由于为线段的黄金分割点，且是较长线段；则．故选：．4．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为A． B． C． D．解：向量为单位向量，向量与向量方向相反，．故选：．5．（4分）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是A． B． C． D．解：．，，选项能判定；．由，不能得到，选项不能判定；．，，选项能判定；．，，选项能判定．故选：．6．（4分）将两个完全相同的等腰直角三角形与摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为，那么图中一定相似的三角形是A．与 B．与 C．与 D．与解：理由：与都为等腰直角三角形，，，故选：．二、填空题（本大题共12小题，共48分）7．（4分）已知，那么的值等于．解：，．故答案为：．8．（4分）在中，点、分别在边、上，且，，，，那么．解：，，即，，故答案为．9．（4分）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于．解：两个相似三角形的周长的比等于，它们的相似比为，它们的面积的比等于．故答案为：．10．（4分）在平面直角坐标系中，为原点，点在第一象限内，，射线与轴正半轴的夹角为，如果，那么点的坐标为．解：如图，过点作轴于，在中，，而，，，点．故答案为：．11．（4分）如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，那么5.4．解：，，，解得，故答案为：5.4．12．（4分）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了100米．解：设此人升高了米，公路路面的坡度为，此人行走的水平距离是米，由勾股定理得：，解得：（负值舍去），故答案为：100．13．（4分）如图，已知在平行四边形中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，那么（用含、的式子表示）．解：四边形是平行四边形，，．是边的中点，，，，，，故答案为：．14．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为24．解：设与交于点，四边形是矩形，，是上的高，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，矩形的周长为．故答案为：24．15．（4分）在中，点是重心，，，那么的长为8．解：如图所示：点是重心，点是的中点，，，，，，答：的长为8．故答案为：8．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，，，都在格点上，则的值是．解：如图，连接，，设菱形的边长为，由题意得，，，，，，，，、、共线，在中，．故答案为：17．（4分）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，联结，如果点是△的重心，那么的值是．解：延长与交于点，点关于直线的对称点是点，，，，是等高底三角形，是等底，，点是△的重心，，设，则，，故答案为：．18．（4分）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为或．解：分两种情况：①如图，当时，是直角三角形，在中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，，；②如图，当时，是直角三角形，由题可得，，，，，，，又，，，过作于，则，，，由折叠可得，，是等腰直角三角形，，．故答案为：或．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．计算：．解：原式．20．如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点．求证：．【解答】证明：，，四边形是平行四边形，，，，．21．如图，在中，是边上的高，，，．求：（1）线段的长；（2）的值．解：（1）是边上的高，，在中，．，又，，，又，；答：线段的长为5；（2）如图，过点作，垂足为，，，在中，，答：的值为．22．（12分）如图，在路边安装路灯，灯柱高，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．求：（1）路灯离地面的高度（即点到地面的距离）；（2）灯杆的长度．（参考数据：，解：（1）过点作于点，于点，在中，，，，在中，，，，，解得：，答：路灯离地面的高度约为；（2），，，四边形为矩形，，，，在中，，则，答：灯杆的长度为．23．（12分）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，求的值．【解答】（1）证明：，，是的中点，，，，，，，，，，．（2）解：，，，，，．24．（12分）如图，在等腰直角三角形中，，已知，，为边的中点．（1）求点的坐标；（2）设点的坐标为，求的值；（3）探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请简述理由．解：（1）过点作轴，垂足为点．三角形是等腰直角三角形，，，，又，，，，；（2）过点作轴，垂足为点．，，；．；（3）存在点，分两种情况：在中，，，当点在轴上时，，当时，有