浙江省衢温51联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

2023学年第一学期衢温5+1联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.已知向量与单位向量夹角为，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.4.在空间中有3条不同的直线，满足，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆，圆，若与有公共点，则的最小值为（）A.1 B.3 C.5 D.76.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.7.已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（）A. B. C. D.8.已知为定义在上的奇函数，当时，，且当时，．若函数在区间上恰有7个零点，则实数的可能取值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.衢州市某七天每天的最高气温分别是（单位），则（）A.该组数据平均数为36B.该组数据的极差为4C.该组数据的中位数为36D.该组数据的第80百分位数为3610.已知正数满足，下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的值域为C.在上单调递减 D.关于直线对称12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图所示，若正四面体的棱长为1，则（）A.存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触B.平面截勒洛四面体所得截面的周长为C.勒洛四面体外接球半径为D.勒洛四面体内切球半径为非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.双曲线的渐近线方程是________.14.已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为______．15.已知是边长为3的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线经过点与轴相交于点，点为与的一个交点，且，则的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知直线l经过点，圆．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若该直线l与圆C相交于两点，且的面积为，求直线l的方程．18.如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，．（1）证明：平面；（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积．19.已知的内角的对边分别是，满足．（1）求；（2）若是的中点，且，求的面积．20.据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求和的值；（2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？21.如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．（1）若的中点为，求证：平面；（2）求二面角正弦值．22.在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为．（1