2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）30

2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知

识点编辑）013

单选题（共8个，分值共：）

1、已知四面体4BCD中，AB=AD=BC=CD=5,BD=8,AC=3,则以点C为球心，以2冠为半径的球

被平面4BD截得的图形面积为（）

A.TTB.—4

_16亢~97r

C.—94D.—

答案：B

解析：

由题意，取BD中点E,连接AE,CE,可得△AEC为等边三角形，取AE中点F,求得CF,再说明C到4B（或

4。）的距离大于2鱼，得到以C为球心，2夜为半径的球面与侧面2BD的交线为圆，利用勾股定理求出圆的半

径，即可求解.

【本题详解】

解：如图，

取BD中点E,连接AE,CE,•：AB=AD=5,BC=CD=5,

.-.AELBD,CE1BD,又4EnEC=E,

所以BD1平面AEC,

又BD=8,AE=CE=V52-42=3,

•••AC=3,AEC为等边三角形，

取AE中点尸，则CF14E,可得CF=132_(|)2=言,

又因为BD1平面ZEC,所以BCJ.CF,

因为B0n4E=E,所以CF_L平面4BD,

又设C到4B(或4D)的距离为无，

由SMBC=\AB-h=\AC-IAB2-^AC)2,

可得力=吃乒=骞>2企，

.••以C为球心，2或为半径的球面与侧面4BD的交线为圆，圆的半径为r=J（2或尸—（善产=苧，

2

所以以点C为球心，以2&为半径的球被平面力BZ）截得的图形面积为兀律）=知

所以正确答案为：B.

2、已知&,尸2为椭圆，+胃=1（a>6>0）的两个焦点，过FI作椭圆的弦AB,若的周长为8,椭圆

的离心率e=^，则椭圆的方程是（）

A.—+—=IB.—+x2=1C.—+y2=ID.x2+—=1

1612164z4

答案：D

解析：

根据椭圆定义求得a=2,结合椭圆离心率公式、椭圆中a,b,c的关系求得炉=1即可得出椭圆方程.

【本题详解】

由椭圆的定义知|4&|+旧&|+\AB\=4a=8,所以a=2,

又因为e=£=容所以c=Vlb2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为/+：=L

所以正确答案为：D

3、已知集合"={x|0<尤<3},N={-2,-1,04,2},则MnN=（）

A.0B.[0,1,2}C.[1,2}D.{-1,0,1}

答案：C

解析：

根据交集的定义即可求得答案.

【本题详解】

因为M={x[0<x<3},N={-2,-1,0,1,2},所以MnN={1,2}.

所以正确答案为：C.

4、已知复数z满足力皿：解叱一货必，则2=（）

A.4+3iB.4-3iC.3+4iD.3~4i

答案：C

解析：

将产=4干-3吁中的干产产，根据化简，即可得答案.

【本题详解】

因为广=1,

故由zi皿=4严-染奶可得:zi=4i2-3i3,即z=4i+3=3+4i,

2

所以正确答案为：C.

5、已知集合集={洲％2-2X-3=0},B={-3,-1,0,1,3},则AnB=（）

A.{-3,1}B.{-l,0,3}C.{-1,3}D.{-3,0,1}

答案：C

解析：

求出集合4,再求AnB即可.

【本题详解】

由题意可得4={-L3},则AnB={-1,3}.

所以正确答案为：C.

6、命题eN,n2>2"’的否定为（）

A.Vn£N,n2>2nB.Vn6N,n2<2n

C.3n£N,n2<2nD.3ngN,n2<2n

答案：B

解析：

由含存在量词的命题的否定方法写出命题的否定即可.

【本题详解】

命题的否定在否定结论的同时，量词作相应改变，

所以命题M>2n”的否定为VneN,n2<2n,

所以正确答案为：B.

7、等差数列Sn}中，=1,。4一。2=2，则=（）

A.6B.7C.8D.9

答案：C

解析：

由等差数列的基本量法先求得公差d,然后可得（18.

【本题详解】

设数列{%}的公差为d,

则a4—a2=2d=2,d=1,所以ag=%+7d=8.

所以正确答案为：C.

8、在数列{即}中，的=2,an+1=1—an,nE.N*,则a?=（）

A.2B.-IC.1D.1

答案：A

解析：

根据题中条件，逐项计算，即可得出结果.

【本题详解】

3

因为%=2,an+1=1—an,nWN*，

所以的=1—%=-1，

=

因此的=1—a22.

所以正确答案为：A.

多选题（共4个，分值共：）

9、已知抛物线C：y2=2p%（p>0）与圆。：M+y2=5交于4B两点，且|ZB|=4,直线］过C的焦点F,

且与C交于N两点，则下列说法中正确的是（）

A.若直线，的斜率为泉则|MN|=8

B.|“尸|+2|/耳的最小值为3+275

C.若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0,'），则点M的横坐标为|

D.若点G（2,2）,则AGF"周长的最小值为4+6

答案：BC

解析：

首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当m=旧时，|MN|=16,进而判断选项A；再根据

韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M',交y轴于Mi，

结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H,结合AGFAf的周长为|MG|+|MF|+|GF|=

\MG\+\MM\+V5>\GH\+6=3+6进而进行判断选项D即可.

【本题详解】

解：由题意得点(1,2)在抛物线C：V=2px上，

所以22=2p,解得p=2,所以C：y2=4x,则尸(1,0),

设直线I：x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,

设M(Xi，%)，N(%2，y2)»所以％+y2=4m，yry2=-4,

222

所以|MN|=V1+m\y1—y2|=V1+m1J(乃+乃二—4yly2=4(1+m),

当巾=百时，|MN|=16,故A项错误；

+=—+—=*—+2=?+%+4_=塔上=1,则|MF|+2|/VF|=(|MF|+2|NF|)•

2

\MF\\NF\Xi+1X2+lXtX2+X1+X2+l(yiy2)+m(y+y)+34m2+4八II1171'”

16

(薪+总)=3+需+用N3+2企，

当且仅当|MF|=1+奁，|NF|=1+乎时等号成立，

故B项正确；

如图，过点M作准线的垂线，垂足为M,交y轴于M],

取MF的中点为D,过点D作y轴的垂线，

垂足为5，则M%〃OF,DDi是梯形OFMMi的中位线，

4

所以出51=股等=号二=呼,

所以以为直径的圆与y轴相切，

所以（0,为圆与y轴的切点，所以点。的纵坐标为当，

又。为MF的中点，所以点M的纵坐标为历，

又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为方

故C项正确；

过G作G”垂直于准线，垂足为H,

所以△GFM的周长为|MG|+\MF\+|GF|=\MG\+\MM'\+V5>\GH\+遍=3+6，

当且仅当点/M的坐标为（1，2）时取等号，

故D项错误.

所以正确答案为:BC.

10>在平面直角坐标系中，有两个圆G：（%+2）2+y2=号和C?:（X-2产+y2=以，其中/为正常数，

满足3+万<4或匕-万1>4,一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（）

A.两个椭圆B.两个双曲线

C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线

答案：BCD

解析：

两圆圆心距JC2=4,当ri+Q<4,即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切;

5

当ri+「2>4,两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论.

【本题详解】

解：根据题意圆Ci(-2,0),半径H，圆。2(2,0),半径⑶所以|67佟2|=4,设圆P的半径为r,

(1)当心+上<4,即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，

①均内切时［PC/=r-r“\PC2\=r-r2,此时||PC/-IPC2II=匕一」|,

当9力七时，此时P点的轨迹是以G，Cz为焦点的双曲线，

当万时，此时点P在G,C2的垂直平分线上.

②均外切时|PG|=r+n，|PC2|=r+「2,此时||PQ|-IPC2II=\rx-r2\.

此时P点的轨迹是与①相同.

③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，

|PCi|=r-H>\PC2\=r+r2,WPC^-\PC2\\=r1+r2

与圆C2内切，与圆Q外切时，同理得，||PC1|-|PC2||=q+北

此时点P的轨迹是以Ci，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.

(2)当「1+上>4,两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，

④均内切时轨迹和①相同.

⑤均外切时轨迹和①相同

⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆Q内切，与圆C2外切，

|PCi|=ri-r,\PC2\=r+r2,|PCi|+|PC2|=ri+r2

此时点P的轨迹是以Q,C2为焦点的椭圆.

与圆G内切，与圆J外切时，同理得|PQ|+IPC2I=6+72，

此时点P的轨迹是以G，C2为焦点的椭圆.

所以正确答案为：BCD.

【点睛】

本题考查动点的轨迹问题，圆与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的定义的应用，解答本题的关键是根据动圆

圆心与己知圆的圆心距离|PG|,|PC2|的和与差与4+生，匕-上|间的关系，结合椭圆与双曲线的定义进行分

析

11、已知函数f(x)的定义域为［0,+8),当xe［0,2］时，当x>2,/(%)=m/(x-

I*T乙〃f人UI4I

2)(m为非零常数).则下列说法正确的是()

A.当m=2时，/(5.5)=2

B.当?n>1时，函数f(%)的值域为［0,+oo)

C.当m时，y=(%)的图象与曲线y=Io%%的图象有3个交点

D.当0<mVl,n6N+时，y=f(%)的图象与直线y=2机九-1在［0,2几］内的交点个数是2几-1

答案：BCD

6

解析：

当m=2时,则/。)=2/。-2)可转化为f(x+2)=2/(x),从而可求出/(5.5)=4/(1.5),求出结果后即可

判断A选项；根据题意，依次求出久6［0,2］,“€(2,4］,xe(4,6］的值域，从而得出函数/(%)的值域，即可判

断B选项；当?n=决寸，当%>2,/(%)—-2),从而得出X*(2,4］和％e(4,6］时的函数解析式，画出

y=/(x)的图象与曲线y=，og/的图象，即可判断C选项；结合函数的图象，确定交点个数，即可判断D选

项.

【本题详解】

解：A选项：己知当%>2,/(x)=m/(x-2)(m为非零常数)

当m=2时，则/(%)=2f(x-2)可转化为/(%+2)=2/(%)

则/(5.5)=/(3.5+2)=2/(3.5)=2f(1.5+2)=4/(1.5)=4x(4—2x1.5)=4,故A错误；

B选项：当相>1时，/(%)=m/(x—2)

故当％e［0,2］时，f(x)的值域为［°2］；

当x«2,4］时,『⑺的值域为［0,2前；

当x6(4,6］时，/(%)的值域为［0,2巾2］.

随着x的依次取值，值域将变为［0,+8),故B正确；

C选项：当时，当％>2,/(x)=1/(x-2),

—|%2+5%-12,x€[4,5]

则/(X)=尸=6x-鬻乎3],/⑺=

(4-x,xe(3,4]3--x,xG(5,6]

则y=/(x)的图象与曲线y=/ogy的图象如图所示:

由图可知，y=f(x)的图象与曲线y=logc的图象有3个交点，故C正确;

D选项:当xG［0,2)时,/(x)G［0,2］；当xG［2,4)时,/(x)G［0,2m］；

7

当x6[4,6)时,/(x)6[0,2m2]…当xG[2n—4,2n—2)时,f(x)e[0,2mn~2]；

当xe[2n-2,2n]时，f(x)G[0,2mn-1]；当xe(2n,2n+2]时,f(x)G[0,2mn]；

若0cm<1,则2mzi<2mn~1<2mn~2<2mn~3<■■<2m<2,

结合函数图象可知，直线y=2机吩1与y=/(x)的图象在区间[0,2),[2,4)…[2n-4,2n-2)均有两个交点，

在[2n-2,2M]上有一个交点，在区间(2a+<»)上无交点，

所以y=/0)的图象与直线y=2mnr在[0,2n]内的交点个数是2兀一1,故D正确.

所以正确答案为：BCD.

12、已知P为抛物线C：y2=2p%(p>0)上的动点，Q(4,-4)在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线/与

抛物线。交于A,B两点，M(3,-2),N(-l,l),则()

A.|PM|+|PF|的最小值为4

B.若线段AB的中点为则ANAB的面积为迎

C.若M4LNB,则直线/的斜率为2

D.过点E(l,2)作两条直线与抛物线C分别交于点G,H,且满足EF平分NGEH,则直线GH的斜率为定值

答案：ACD

解析：

先求出抛物线的方程y2=4x,利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线相交的弦长

公式及点到直线的距离公式即可判断B；设直线/：x=my+l,与抛物线的方程联立，结合韦达定理及福•

NB=0即可判断C；将已知转化为MG+kEH=0结合两点连线的斜率公式即可得判断D.

【本题详解】

由Q(4,-4)在抛物线C上，得p=2,抛物线C的方程为y2=4x,F(l,0).

对于A,过点P作抛物线的准线》=-1的垂线PD,垂足为D,

由抛物线的定义知|PM|+\PF\=\PM\+\PD\>\DM\,

即M,P,。三点共线时，|PM|+|PF|取得最小值，为3+1=4,故A正确.

对于B,因为M(3,-2)为AB的中点，所以当+4=6,\AB\=xA+xB+2=8,

求得直线/的方程为y=—%+1,则点/V到直线/的距离d=安a=当，

则S/JV48=•d=2&，故B错误；

对于C,易知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=my+1,代入y2=4x,

得y2—4/ny—4=0,设“(XJ),，(毛，%),则为+丫2=4巾，yty2=—4,=(/+1必—1)=

(m%+2,y1-1),同理可得而=(my2+2,y2-1),

2

所以正彳-NB=(my1+2)(my2+2)+(%—l)(y2-1)=(m+l)yxy2+(2m—l)(yx+y2)+5=

—4(m2+1)+4m(2?n—1)+5=4m2—4m4-1=(2m—l)2=0,

解得=所以直线/的斜率为三=2,故C正确.

2m

8

对于D,易知点E(l,2)在抛物线上且EFlx轴.设G修、3)，”(苧，，4)・

易知直线EG,EH的斜率存在，卜/=笄=嗅，同理品”=A-

区_］为+N

4

因为EF平分NGEH,EF-L久轴，所以AEG+^EH=。，即丫'+丫°，

直线丫3+2+3/4+2=。，所以丫3+丫4=—4，

直线GH的斜率k=亭空=，一=一1为定值，故D正确.

yi_yl为+以

填空题(共3个，分值共：)

13、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直

角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若a=2/=3,则小

正方形的面积是.

解析：

设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.

【本题详解】

设小正方形边长为X,由勾股定理得：(2+X)2+(3+X)2=(2+3)2,解得：％=1,故小正方形的面积为IX

1=1.

故答案为：1

14、已知向量a=(m,1),b=(2,4),若a1b,则实数m=.

答案：一2

9

解析：

利用向量垂直的坐标表示即求.

【本题详解】

•向量a=(m,1),b=(2,4),alb,

.*.«•&=(m,1)•(2,4)=2m+4=0,

所以m=—2.

故答案为：一2.

15、数歹式时｝中，%=1,an+1=卫六;，(neN*),则的=.

答案：1

解析：

直接计算得到答案.

【本题详解】

-an+l—%=1,

则为=='a=卫^=

z3

Q1+23§a2+22

故答案为：

解答题(共6个，分值共：)

a

16>已知等比数列｛%｝的公比q>1,a2+3=6,ar-a4=8.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)令bn=止+1,若必+力2+…+匕九V50,求满足条件的最大整数〃.

答案：

711

(1)an=2-

(2)48

解析：

⑴由等比数列的性质可得。2・。3=8,结合条件求出。2,。3,得出公比，从而得出通项公式.

⑵由(1)可得bn=G)“T+l,再求出｛,｝的前几项和，从而可得出答案.

(1)

由题意可知，有的+。3=6,%%=8

(«2+%=6^(a2=2或=4

=何卜3=4望卜3=2

又q>1,q=2

nn

/.an=a2-2-2=2-

10

(2)

1/l\n-1

-

bn=~I1bn=(—1+1

CLf\\2/

iii(i-n)i

^i+^+-+6n=-+-+-+-+n=+n=2+n-—<50

・・•几一/<48,又f(n)=n—含单调递增

/(48)=48-玄<48J(49)=49-会>48

所以满足条件的的最大整数为48

17>已知函数f(%)=/cos%,求

⑴/'(%)

⑵吧

(3)曲线y=f(x)在久=］处的切线方程

答案：

(1)/(%)=2xcosx—x2sinx

(2)--

4

/0X九23

(3)y=--x+7r-

解析：

(1)由导数的运算法则求解即可；

(2)利用导函数计算即可；

(3)由导数的几何意义得出切线方程.

(1)

/(X)=(M)'cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx

(2)

72

/7T\7T7T/7T\Z7T7T

^(2)=2,2C°S2-(2)Sfn2="T

(3)

当时，/(x)=0,则切点为P6,0)

所以切线方程是"0=/仔)［冶)，即片?

18、已知等比数列｛小｝的前n项和为%,且S3=14,56=126,数列他J满足b=log20n.

(1)求｛oj和｛5｝的通项公式;

(2)数列｛7｝满足Cn=,数列｛7｝的前n项和为及，求「2021.

°n°n+l

答案：

n

(1)an=2fbn=nfnEN*

11

⑵62】=照

解析:

(1)由S3=14,56=126,得到关于q,%的方程组，解方程组可得答案

11

⑵Cn=裂项相消求和即可.

bnbn+in(n+D

(1)

・「S3=14,56=126,・•・{

两式相除得：1+q'=9,/.q=2,

代入即(i“)=]4得的=2,二即=2n,

{an}的通项公式是an=2%nEN*,

rl

bn=log2dn=log22=九，

{bn}的通项公式是bn=n,n€N*.

(2)

1

由(1)知，cn=——==--一，

bnbn+1n(n+l)nn+1

贝U72021=-------1------------1---------1-…d---------------------

NU/l1x22X33X42021X2022

=++…(―-------—)=1--=—.

V2/\23/\34/\20212022/20222022

19、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、8、C的对边，AB=a,AC=2,且遮as讥B+bcosA=b,则△ABC

的面积为.

答案：|

解析：

利用正弦定理、两角和的正弦公式和三角形的面积公式可得答案.

【详解】

「V3asinB+bcosA=b,

由正弦定理得：VSsinAsinB+sinBcosA=sinB,

0<^<7T,/.sinB^O,yfSsinAcosA=lf即si7i(4+.)=5

.27

A=--127rq

0<A<n,3,ShABC=-AB-AC-sin—=

故答案为:|.

20、唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占

有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺

十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩

中优质品的件数记为n,如果n=2,再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检

验：如果n=3,再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这

12

批唐三彩的优质品概率为号即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为差且各件唐三彩是否为优质品相互独

立.

(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；

(2)已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需

的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望.

答案：

(1)—；

243

(2)分布列见解析，E(X)=甯.

解析：

(1)由题意可知，所求事件包含两种情况：①第一次取出的3件有2件优质品，第二次取出的3件全为优质品;

②第一次取出的3件全是优质品，第二次取出的1件为优质品.利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求

事件的概率；

(2)分析可知随机变量X可能的取值为300、400、600,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随

机变量X的分布列，进一步可求得E(X)的值.

(1)

解：设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件公,

第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件4，

第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件当,

第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件多,这批唐三彩通过检验为事件4

依题意有/=(4当)U(々Bz)，

233

所以P(A)=PGM1)+P(4B2)=CK3X|X®X；总

(2)

解：X可能的取值为300、400、600,

P(X=300)=C3g)3+Cf(