新教材2023年秋高中数学课时分层作业2空间向量的数量积运算新人教A版选择性必修第一册

课时分层作业(二)空间向量的数量积运算一、选择题1．(多选)已知a、b是空间中的两个向量，下列说法正确的是()A．空间中两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉B．空间中两个向量的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π]C．a⊥b⇔〈a，b〉＝πD．cos〈a，b〉＝－cos〈－a，－b〉2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则AB1·BC1A．1B．2C．3D．43．如图所示，在四面体A-BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝1，CD＝12，∠ACD＝60°，AB⊥CD，则BD＝(A．32B．72C．524．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是()A．PC与AD B．DA与PBC．PD与AB D．PA与CD5．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A．－105B．－15C．15二、填空题6．已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a·b＝a·c(a≠0)⇒b＝c；②a·b＝0⇒a＝0或b＝0；③(a·b)c＝(b·c)a；④a·(λb)＝λ(a·b)；⑤若a·b<0，则a，b的夹角为钝角．7．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|＝________．8．如图，边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC与BF所成的角为________．三、解答题9．如图，在空间四边形OABC中，2BD＝DC，点E为AD的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c．(1)试用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠AOB＝∠BOC＝60°，求|OE|的值．10．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30m，CB＝40m，若AB＝203m，则甲、乙两人相距()A．70m B．703mC．90m D．903m11．已知非零向量a，b，c，若p＝aa+bb+cc，那么A．[0，1] B．[1，2]C．[0，3] D．[1，3]12．如图所示，已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，则GF·AC＝__________，EF·BC＝________．13．点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA·PC1的取值范围是14．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为π315．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，BC边上是否存在点Q，使PQ⊥QD?课时分层作业(二)1．ABC[A、B、C显然正确，对于选项D，〈a，b〉＝〈－a，－b〉，从而cos〈a，b〉＝cos〈－a，－b〉，D错误．故选ABC．]2．A3．D4．BCD[因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA·CD＝0；因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则DA·PB＝0；同理可得PD·AB＝0；而PC与5．D6．④7．1028．60°9．解：(1)因为2BD＝DC，所以BD＝13BC＝13(OC-OB)＝13(c－b)，故OD＝OB+BD＝b＋13(因为E为AD的中点，所以OE＝12(OA+OD)＝12a＋(2)由(1)知，OE2＝12a+13b+16c2＝14a2＋19b2＋136c2＋2×12a·13b＋2×13b·16c＋2×12a·16c＝410．A11．C12．－23a216a21314．解：(1)证明：AB1＝AB+因为BB1⊥平面ABC，所以BB1·AB＝0，又△ABC为正三角形，所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－因为AB1·BC1＝(＝AB·B＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋又|AB1|＝AB+BB12所以cos〈AB1，BC所以|BB1|＝2，即侧棱长为15．解：假设存在点Q(Q点在边BC上)，使PQ⊥QD，即PQ⊥QD，连接AQ(图略)．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．又PQ＝PA+AQ，且PQ⊥所以PQ·QD＝0，即PA·又因为PA·QD＝0，所以AQ·所以AQ⊥QD，所以∠AQD＝90°，即点Q在以AD为直径的圆上，圆的半径为a2.又因为AB＝1当a2＝1，即a＝2时，该