新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练1（含解析）

小题满分练1一、单项选择题1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于()A．{x|0≤x<2}B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因为M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).2．(2022·漳州质检)已知z＝|eq\r(3)i－1|＋eq\f(1,1＋i)，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵z＝|eq\r(3)i－1|＋eq\f(1,1＋i)＝eq\r(\r(3)2＋－12)＋eq\f(1－i,1－i2)＝2＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(5,2)－eq\f(1,2)i，∴在复平面内z对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))，位于第四象限．3．“∀x≥0，a≤x＋eq\f(4,x＋2)”的充要条件是()A．a>2 B．a≥2C．a<2 D．a≤2答案D解析∵x≥0，∴x＋eq\f(4,x＋2)＝x＋2＋eq\f(4,x＋2)－2≥2eq\r(4)－2＝2，当且仅当x＋2＝eq\f(4,x＋2)，即x＝0时取等号，∴a≤2.4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq\f(1,7)等于较小的两份之和，问最大的一份为()A．35B.eq\f(110,3)C.eq\f(115,3)D．40答案C解析根据题意设每人所得面包为a1，a2，…，a5，成等差数列且依次增大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)a3＋a4＋a5＝a1＋a2，,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝100，))所以a3＋a4＋a5＝7(a1＋a2)，可得8(a1＋a2)＝100，化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝\f(25,2)，,a3＝20，))设公差为d，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝\f(25,2)，,a1＋2d＝20，))所以a1＝eq\f(5,3)，d＝eq\f(55,6)，所以a5＝eq\f(5,3)＋4×eq\f(55,6)＝eq\f(115,3).5．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A．12种B．24种C．36种D．48种答案B解析先将丙和丁捆在一起有Aeq\o\al(2,2)种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有Aeq\o\al(3,3)种排列方式，最后将甲插入中间两空，有Ceq\o\al(1,2)种排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(种)．6．(2022·茂名模拟)已知0<α<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),6)，则eq\f(sinα,1＋tanα)的值为()A.eq\f(4\r(14),51) B.eq\f(2\r(14),13)C.eq\f(4\r(17),51) D.eq\f(2\r(17),13)答案C解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),6)，所以eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2),6).所以cosα－sinα＝eq\f(1,3)，所以1－2sinαcosα＝eq\f(1,9)，得sinαcosα＝eq\f(4,9)，因为cosα＋sinα＝eq\r(1＋2sinαcosα)＝eq\f(\r(17),3)，所以eq\f(sinα,1＋tanα)＝eq\f(sinα,1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(sinαcosα,cosα＋sinα)＝eq\f(\f(4,9),\f(\r(17),3))＝eq\f(4\r(17),51).7．(2022·南通模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足eq\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FQ,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案B解析设P在渐近线y＝－eq\f(b,a)x上，F(－c,0)，则直线FP的方程为y＝eq\f(a,b)(x＋c)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)x＋c，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，由eq\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FQ,\s\up6(→))，得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2c)－\f(c,2)，\f(ab,2c)))，因为Q在双曲线上，所以eq\f(c2＋a22,4a2c2)－eq\f(a2,4c2)＝1，化简得c2＝2a2，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).8．(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x(ex－e－x)＋x2，若f(x)<f(y)<f(x＋y)，则()A．xy>0 B．xy<0C．x＋y>0 D．x＋y<0答案A解析由题意得函数的定义域为R.f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．当x>0时，f′(x)＝ex－eq\f(1,ex)＋xex＋xe－x＋2x，因为x>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．则由已知f(x)<f(y)<f(x＋y)，得f(|x|)<f(|y|)<f(|x＋y|)，所以|x＋y|>|y|>|x|，(*)可知x，y同号，故A正确，B错误；对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误；对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．二、多项选择题9．(2022·济南质检)为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是()A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大答案AC解析A项，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故A正确；B项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误；C项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为72－30＝42，班级乙的极差为90－30＝60，所以班级甲的极差小于班级乙的极差，故C正确；D项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D错误．10．(2022·长沙十六校联考)下列不等式成立的是()A．log2(sin1)>2sin1 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))2<SKIPIF1<0C.eq\r(7)－eq\r(5)<eq\r(6)－2 D．log43<log65答案BCD解析∵sin1∈(0,1)，∴log2(sin1)<0,2sin1>1，∴log2(sin1)<2sin1，故A不正确；∵0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))2<1，SKIPIF1<0>1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))2<SKIPIF1<0，故B正确；要判断eq\r(7)－eq\r(5)<eq\r(6)－2，即判定eq\r(7)＋2<eq\r(6)＋eq\r(5)，即判定(eq\r(7)＋2)2<(eq\r(6)＋eq\r(5))2，即11＋4eq\r(7)<11＋2eq\r(30)，即4eq\r(7)<2eq\r(30)，即28<30成立，故C正确；∵log43＝1＋log4eq\f(3,4)，log65＝1＋log6eq\f(5,6)，∵log4eq\f(3,4)<log4eq\f(5,6)，且log4eq\f(5,6)<log6eq\f(5,6)，∴log4eq\f(3,4)<log6eq\f(5,6)，∴log43<log65，故D正确．11．(2022·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝sinx·(cos2xcosx＋sin2xsinx)，x∈R，下列关于函数f(x)性质的结论中正确的是()A．函数f(x)的值域是[－1,1]B．直线x＝－eq\f(π,4)是函数f(x)的一条对称轴C．函数h(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))内有唯一的极小值－eq\f(\r(3),4)－eq\f(5π,12)D．函数f(x)向左平移eq\f(π,6)个单位长度后所得函数g(x)的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))答案BC解析∵f(x)＝(cos2xcosx＋sin2xsinx)sinx＝cosxsinx＝eq\f(1,2)sin2x.对于A，函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，故A错误；对于B，函数f(x)的对称轴为2x＝kπ＋eq\f(π,2)，x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，当k＝－1时，x＝－eq\f(π,4)，故B正确；对于C，h(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)x，h′(x)＝cos2x－eq\f(1,2)，令h′(x)＝0，得x＝kπ±eq\f(π,6)，k∈Z，令h′(x)>0，得kπ－eq\f(π,6)<x<kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，令h′(x)<0，得kπ＋eq\f(π,6)<x<kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，当x＝eq\f(5π,6)时，h(x)有极小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(5π,12)，故C正确；对于D，g(x)＝eq\f(1,2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，令2x＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，则x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z，其对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，k∈Z，故D错误．12．(2022·聊城质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1(不含边界)内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45°，则下列说法正确的是()A．线段A1P的长度为eq\r(2)B.eq\f(\r(3),3)A1Q＋PQ的最小值为1C．对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CPD．存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°答案ABC解析建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)．设点P(x1，1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则有eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(x1－1,1，z1－1)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，由直线A1P与A1B1的夹角为45°，故有cos

eq\f(π,4)＝eq\f(|\o(A1P,\s\up6(→))·\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(A1P,\s\up6(→))||\o(A1B1,\s\up6(→))|)，解得(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，又Q为线段A1C上的动点，设eq\o(A1Q,\s\up6(→))＝λeq\o(A1C,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则Q(1－λ，λ，1－λ)，对于选项A，则有|eq\o(A1P,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－12＋z1－12＋1)＝eq\r(2)，故选项A正确；对于选项B，过点Q作平面ABCD的垂线，垂足为R.易知eq\f(\r(3),3)A1Q＝1－QReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(由于sin∠ACA1＝\f(AA1,A1C)＝\f(\r(3),3)))，故eq\f(\r(3),3)A1Q＋PQ的最小值等价于求QP－QR＋1，|eq\o(QR,\s\up6(→))|＝1－λ，|eq\o(QP,\s\up6(→))|＝eq\r(1－λ－x12＋λ－12＋1－λ－z12)，故有|eq\o(QP,\s\up6(→))|2＝(1－λ－x1)2＋(λ－1)2＋(1－λ－z1)2≥(λ－1)2＝|eq\o(QR,\s\up6(→))|2，当且仅当x1＝z1＝1－λ时成立，结合(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，可得此时λ＝eq\f(\r(2),2)，故选项B正确；对于选项C，若D1Q⊥CP，则有eq\o(D1Q,\s\up6(→))＝(1－λ，λ，－λ)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(x1，0，z1)，eq\o(D1Q,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝x1(1－λ)－z1λ＝0，又(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，则有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(λ2,λ－12)＋1))zeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2λ,λ－1)－2))z1＋1＝0，0≤λ≤1，则有Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2λ,λ－1)－2))2－4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(λ2,λ－12)＋1))＝－eq\f(8λ,λ－1)≥0，故对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP，故选项C正确；对选项D，易知平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，若直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°，即直线A1P与平面ADD1A1的法向量的夹角为30°，则有cos

eq\f(π,6)＝eq\f(|\o(A1P,\s\up6(→))·n|,|\o(A1P,\s\up6(→))||n|)，解得eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，矛盾，故选项D错误．三、填空题13．(2022·济南模拟)曲线f(x)＝ln2x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________________．答案y＝3x＋ln2－2解析∵f′(x)＝eq\f(1,2x)·(2x)′＋2x＝eq\f(1,x)＋2x，∴k＝f′(1)＝3，又f(1)＝1＋ln2，∴切线方程为y－(1＋ln2)＝3(x－1)，即y＝3x＋ln2－2.14.(2022·苏州四校联考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点E，F分别是AB，AC的中点，则(eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案6解析∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴(eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(A