专题4 角的平分线的性质和判定常考题型（解析版）

专题4角的平分线的性质和判定常考题型（解析版）题型一角的平分线的作法1．（2022•资阳）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；第三步：作射线AF交BC于点M；第四步：过点M作MN⊥AB于点N．下列结论一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA【思路引领】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．【解答】解：由题意可知，AM平分∠CAB，∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．故选：C．【总结提升】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．2．（2023春•西城区校级期中）已知：钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF．【思路引领】分别根据角平分线作法以及中线作法和高线作法得出即可．【解答】解：如图所示：【总结提升】此题主要考查了复杂作图，正确得出钝角三角形高线作法是解题关键．3．（2022春•来宾期末）在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是2或﹣2【思路引领】由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，即可得a的值．【解答】解：由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，解得a＝±2，∴点P在第一或第二象限，∴a的值为2或﹣2．故答案为：2或﹣2．【总结提升】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．题型二利用角的平分线的性质求线段的长、角度度数、面积等4．如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【思路引领】根据角平分线的性质可得∠AOP＝30°，则PD=1【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴PD=1过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为3cm．故选：B．【总结提升】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短．5．（2020秋•朝阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（）A．22.5° B．30° C．25° D．40°【思路引领】利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC＝∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B＝30°．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，∴CD＝ED．在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=ED∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC＝∠ADE．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．∴∠B+∠EDB＝90°，∴∠B＝30°．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．6．（2023•王益区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【思路引领】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB＝7cm，∴△DBE的周长＝7cm．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长＝AB是解题的关键．7．（2021秋•古冶区期中）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（）A．17 B．34 C．38 D．68【思路引领】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=12×AB×OE+12×AC=12×4×（AB+AC=12×＝68，故选：D．【总结提升】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则S△APB：S△BPC：S△CPA等于（）A．1：1：1 B．6：8：3 C．5：8：3 D．4：5：3【思路引领】由角平分线的性质可得，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、AC的高相等，利用面积公式即可求解．【解答】解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∵P是三角形三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵AB＝30，BC＝40，AC＝15，∴S△APB：S△BPC：S△CPA＝30：40：15＝6：8：3．故选：B．【总结提升】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，熟记角平分线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．9．如图，△ABC中，∠B＝30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为75°．【思路引领】根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA，求出∠DAC+∠FCA，根据角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∴∠BAC+∠BCA＝150°，∴∠DAC+∠FCA＝210°，∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC+∠ECA＝105°，∴∠AEC＝180°﹣105°＝75°，故答案为：75°．【总结提升】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的定义，掌握三角形内角和定义180°是解题的关键．题型三角平分线的判定10．（2019秋•武城县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（）A．110° B．120° C．130° D．140°【思路引领】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO=12∠ABC，∠BCO＝∠ACO=1∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：A．【总结提升】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2021秋•新城区校级月考）如图所示，平面内三条直线a、b、c两两相交，在平面内找出一点P，使得点P到三条直线的距离相等，那么符合条件的点P有4处．【思路引领】根据角平分线的性质定理解答即可．【解答】解：∵点P到三条直线的距离相等，∴点P是三条直线a、b、c所形成的角的角平分线的交点，如图所示，图中点P、点P′、点P′′、点P′′′即为所求，故答案为：4．【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．题型四角平分线的性质和判定的综合运用12．（2023春•永州期末）如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【思路引领】过P作PE⊥BC于E，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质得出PA＝PD＝PE，根据AD求出即可．【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PE＝PD，即PA＝PD＝PE，∵AD＝PA+PD＝8，∴PA＝PD＝PE＝4，即点P到BC的距离是4，故选：C．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．14．（2022秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，作射线BM，有下面四个结论：①∠MCD＞∠MAB；②BM＝CM；③射线BM是∠EBC的角平分线；④∠BMC＝90°-12∠所有正确结论的序号是①③④．【思路引领】根据角平分线的定义和性质，三角形的边角不等关系逐项进行判断即可．【解答】解：∵∠MCD是△ACM的外角，∴∠MCD＞∠MAC，∵AM平分∠BAC，∴∠MAB＝∠MAC，∴∠MCD＞∠MAB，因此①正确；如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，∴MN＝MQ，MP＝MQ，∴MN＝MP，∴BM平分∠CBE，因此③正确；∵AB＜AC，∴∠ACB＜∠ABC，∴∠MBC＜∠MCB，∴MB＞MC，因此②不正确；由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB＝180°-12（∠BCD+∠＝180°-12（∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠＝180°-12（180°+∠＝90°-12∠因此④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．【总结提升】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的定义和性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．15．（2022秋•忠县校级月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．（1）求∠APB的度数为135°；（2）证明：AH+BD＝AB．【思路引领】（1）根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠CBA＝90°，根据角平分线的定义可得PAB+∠PBA＝45°，即可求出∠APB的度数；（2）根据（1）中的结论，可得∠BPD＝45°，易证△APB≌△FPB（SAS），可得∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，进一步可证△APH≌△FPD（ASA），根据全等三角形的性质可得AH＝FD，进一步即可得证．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=1∴∠PAB+∠PBA=12（∠CAB+∠CBA）＝∠∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°；（2）证明：∵∠APB＝135°，∴∠BPD＝45°，∵PF⊥AD，∴∠BPF＝90°+45°＝135°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠FBP，在△APB和△FPB中，∠ABP=∠FBPBP=BP∴△APB≌△FPB（SAS），∴∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∴∠F＝∠CAP，∵PF⊥AD，∴∠APH＝∠FPD，在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPDAP=FP∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，∴AH+BD＝FD+BD＝BF＝AB．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．（2020秋•饶平县校级期末）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．【思路引领】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论；（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，OE=OFOM=ON∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+12∠即90°+12∠ACB＝180°﹣∠∴∠ACB＝60°；（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D