数控机的床插补计算

第二章数控系统原理2.

1插补原理插补的基本概念数控加工中，零件的轮廓曲线均可川若干小段直线或圆弧来拟合，数控系统的主耍任务是控制轨迹运动。一般是已知起点啤标、终点啤标和轨迹，由数控系统实时地算出各个中间点的坐标。即需要“插入、补上”运动轨迹各个中间点的坐标（数据密化），通常把这个过程称为“插补”。中间点的计算吋间影响控制速度，中间点的计算精度影响控制精度。插补方法的分类插补方法分为可分为基准就和教游采祥裙办两类。基准脉冲插补方法是把每次插补运算产生的指令脉冲输岀到伺服系统，以驱动工作台运动。每发出一个脉冲，工作台移动…个脉冲AW。该方法插补程序比较简单，但进给速率受到一定的限制，用在进给速度不很高的数控系统或开环数控系统中。基准脉冲插补有多种方法，最常用的是逐点比较插补法，数字积分插补法等。2丄1逐点比较插补法逐点比较插补法，就是毎走一步都耍和给定轨迹上的坐标值比较一次，决定下一步的走向，以逼近给定轨迹，直至力口工结束。逐i比法是以阶梯折线來逼近直线和圆弧等曲线的。它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量,只耍把脉冲当:鼠取得足够小，就可达到加丄精度的要求。其可按以下四个步骤进行:1）偏差判别：2）坐标进给；3）偏差计算；4）终点判别L:」特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，速度变化小，调节方便，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛。1、逐点比较法直线插补假定加工如R2-1所示的f［线0A。取直线起点为坐标原点，直线终点坐标A（xe，ye）。in（xffi，

ym）点为加I:点（动点）。若ih点在直线0A上，则报据数学关系可得：ym^e—^Cmye=O由此，可定义H线插补的偏差判别式如下：r若匕二0，表示动点在直线OA上，如m;若Fm〉0，表示动点在0A直线上方，如w’；若匕<0,表示动点在0A直线下方，如in”。第一象限直线的插补法。即当Fra^o时IM+X进给一步，当Fia<0时向+y方叫进给一步。从起点开始，当两个坐标方向走的步数分别等于\和了6时停止插补。因为插补过程屮每走完一步都要算一次新的偏差，如果按上式计算，要做两次乘法及一次减法，因此算法盅要简化。对于第一象限，设加工点正处于》1点，当Fm^0时，表明in点在0A直线上或0A直线上方，应沿+X方向进给一步。因坐标值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为工m+1=丁讯+1Jm+l—ym新点的偏差为m+1=

~=ymJCe

—

(xOT+l)力=ymjct

——y€^Fm~yegFm<0，表明ni点在OA的下方，应向+y方向进给一步，走步后新&坐标值为^+1=^+1新点的偏差为ymXe—Xmye

+X£=Fm+A2,终点判别的方法一种方法是设置两个减法卟数器，在计数器中分别存入终点坐标值，各叱标方向好进给一步时，就6利I应的汁数器中减去1，直到两个计数器111的数都减为零时，停止插补，到达终点。另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中存入两坐标进给的步数总和，当X或y坐标进给时均减1，当减到零时，停止插补，到达终点。3.插补计算过程用逐点比较法进行直线插补计算，每走一步，需要四个步骤：(”偏差判別这是逻辑运算，即判别偏差Fmao或Fm<o,以确定哪个坐标进给和偏差计算方法。(2)屮标进给报裾偏差符号，决定叫哪个方向进给。(3)偏淖计兑进给一步后，计算新的加工点的偏差，作为下次偏差判别的依据。(4)终点判別进给一步后，终点计数器减1,根据计数器的内容是杏为0判別是古达到终点。若计数器为0,表示到达终点，则设置插补结朿标志后返回。（三）四个象限的直线插补计算第一象直线插补方法做适当处现后推广到其余象限的直线插补。偏差计算吋，无论哪个象限的直线，都用其平标的绝对位计算，偏差符号及进给方向如阉及表所示。表4-2直线播补计算公式及进给方向久>0F«<0直线线甩进给方向偏差计算直线坐标进给方向偏差计算Z1,£44XLLL2F(w+j=Fm+j<£2、L3-X■FFR十|厂•2ft厶3、Z4-Y（二）直线插补计算举例设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6，Ie=4,试进行插补计算并画出走步轨迹图。当Fin^O时，沿+X方向进给。新的坐标值为土„+1

—1坊+1—新点的偏差为=Fm-yc若Fm<0，沿+y方向进给，新的坐标k工帘+1~工m新点的偏差为^m+1=K+^（二）直线插补计算举例设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6,Ye=4,试进行插补计算并画出走步轨迹图。表41直线插卟过稃步數偏毕糾别华标进给»计算终点料别起点Fo=-0X—101F爆0+xFi

=Fo—>=0—4=—4£—10—1—92F<0+y+23F>0十XF*=Ff一》••2一42S■8—1=74F<0+yF<=Fj+=—2

*+■6=4X=7—1=6SF>0S«6—1=5«F^O+x2—5'—1■*47f<0+rFt=F<+xr■■^4+6»2S—4—1"38F>0+xFt=F,-j<,=Z-4=一2Z«3-l*-29F<0F•■尸_+心_:+6==42=2—1=110F>0+x—-，4_0i一i（二）直线插补计算举例设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6,Ye—4,试进行插补计算并画出走步轨迹图。逐点胃法圆弧插补1）偏差计算公式下而以第一象限逆圆为例/如阁所示，要加工圆弧AB，设圆弧的圆心在坐标原点，圆弧的起点A（xQ，yQ），终点为B（xe

,ye）,圆弧半径为R。令瞬吋加工点为in（xm，ym），它到圆心的距离为Rm。从图上可以看出，加工点in可能在圆弧h、岡弧内或岡弧外。1）当动点|«位丁*岡上有：2）当动点hi位子圆内有：^+yi-R2<03）当动点111位T圆外有：—??2>0因此，可定义圆弧偏差判别式如下：Fm=Rl—R2^^n+yl—R2_______________为使加丄点逼近圆弧，进给方向若Fm彡0，动点m在圆上或圆外，向-X方向进给一步并算出新的偏差。?fFm<oT动点》在圆内，叫+y方向进给一步并算出新的偏差。山于偏差计算公式中有平方值计算,需简化，偏差计箅式为:若Fm^o,应沿一X轴方向进给一步，到11^1点，其啪标值为则新加工点針1点的偏差为:Fat十1=Xm'Fl+一=(JTm—l)2+3^r—RZ=^Fm

—2x„+l若1;/0，沿+y轴方內进给—步，至!|m+l点，其坐标值为则新加C点的偏差值为m

十1''mjy，"+i=知+1=Z+=F„，十2ym+l2）终点判别方法圆弧插补的终点判别方法与直线插补的方法基本相同。可将X、y轴走步数总和存入一个计数器，每走一步，总和减一，当总和=o发出停止信号。3）插补计算过程圆弧插补的计算过程与直线插补过程基木相同，插补过程分为偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判別四个步骤。与直线插补相似，计算用坐标的绝对值进行，进给方向另做处理。从图看出SRI、NR2、SR3、NR4的插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值增加、y轴坐标绝对值减小。NR1、SR2、NR3、SR4插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值减小、y轴坐标绝对值增加。表4-4ffl弧胁计算公式和进给方向偏差符号1■-,>0偏差符号1■X0醐型进给方內«差计算坐K计算圈弧线型进给方向偏差计算、坐标计算SRhNR2^*+]=J・+]SRI,NR4f«+i=Xw+i-X・+1SR3,NR4SK3,NR2-xf、+2“+ly»fi~yntNR1、SR4-xfm+l-NRLSR2人十产j"-Tiw_、SR2NR3.SR4~y心+2>+1i（二）圆弧插补计算举例设加工第一象限逆圆AB，已知起点A（4，0），终点B（o，4）。试进行插补计算并画出走步轨迹。3^+1—y^n十1=Fm—2<rm+lJm+lFm<0»ym+x=ym^rlFm+1=Fm+2ym+l（二圆弧插补计算举例设加工第一象限逆圆AB，已知起点A（；4，0）.终点B（o,4）o试进行插补计算并画出走步轨迹。计算过程如表所示_根据表作出走步轨迹如图所示。表u播扑过根步ft痉判别生标进给僱甫汁算»计》起点F0-Ora■4«^■0S—4+4—81Fa*0—X2Lro+l*0一2X4+1三一7蓽i_感一I■3yi_0s=a-i=72Fl<0Fi-Fi+2^+1=-7+2xO+1^-6rj-3I=7-)=63Fa<0Fj=Fi+H-l—3x，》3.ys—25=54戶、＜0十yF4-=Fa+2yi-hl*2，《藝

3■>4=3X-45F*>0一,xjF?—F*^+1富一3匯2，S=36F><0十yFf=Fft+?^+1-4办_2*jw-MS_2Ff>0x?-1,■X么—18Ft>0—XA-A—2x7+1-Gx=o(二圆弧插补计算举例设加工第一象限逆圆AB，已知起点A(4,0),终点B(o,4)。试进行插补计算并画出走步轨迹。计算过程如表所示，根据表作出走步轨迹如图所示。AO(4,0>X2.1.2数字积分插补法数字积分法具有运卩速度快、脉冲分配均匀、姑呔现多坐标联动等优点。下面介绍数字积分的工作原理。如图，设有函数¥=

f(t)，求此函数在[t。，til]|X:间的积分，即求函数曲线与横坐标t在区[H](tQ

,t„)所围成S=的面积。ydtn若At取基本单位时间“1”，则上式简化为s=

X乂设置一个累加器，容量为一个单位而积。累加运箅过程屮超过一个单位面积时必然产生溢出，溢出脉冲总数就是要求的积分近似值。1.数字积分法直线插补设在平面中有一直线0A，其起点为坐标原点，终点为A(xe

,ye),则该直线的方程为对时间t的参量方程为X=

式巾，K为比例系数=Kyet对参数t求微分得对式进行积分可得积分用累加的形式近似为vf*rh/\t=1成近似微分形式为r*1ny=>«*I^x=Kxe^t^y=Kye^t动点从原点岀发走向终点的过程，是各坐标轴每隔一个单位时fHjAt.分別以增量Kxe，及Kye，同时对两个累加器累加的过程。当累加值超过一个坐标单位（脉冲当量）时产生溢出，溢出脉冲驱动伺服系统进给一个脉冲当量，从而走出给定直线。若经过m次累加后，x和y分别到达终点（xe，ye），

即云x=.Kx.—Kxfm=JTfy==Kytm

=jv1由此可见，比例系数K和累加次DI之问有如下的关系:Km=l，即=1/K累加器的料5柯大于各叱标轴的最大坐标值，-般二者的位数相冋，以保证毎次累加最多只溢出一个脉冲。设累加器有n位，则K^l/2n故累加次数m=l/K=2n若累加器的位数为n，则整个插补过程要进行2。次累加。插补由两个数字积分器组成，每个坐标轴的积分器由累加器和被积函数寄存_器组成。被积函数寄存器存放终点啪标值。每隔一个时间间隔At,将被积函数的值A各自的累加器屮累加。X轴的累加器溢出的脉冲驱动X走步，Y轴累加器溢出脉冲驱动v轴走步。直线插补计算举例设有一直线0A，起点为原点0，终点A坐标为（8，10）,累加器和寄存器的位数为4位，其最大容量为24=16。试用数字积分法进行插补计算并画出走步轨迹图。累加次数m=l/K=2rtJ=玄奴y

=S尺x1插补计算过程如表4一6所示，为加快插补，累加器初值置为累加器容量的一半。走步轨迹如图4一17所示。表4-6直终捐补计算过ft■加次数X軸数字积分》Ytt»字织分s畋寄存JfK加器»出钍冲y*^=i*tt寄存器Y«»&r*»u»溢出抹中0算801000181苺一16=011018-16-212880JO1203aJJO22-ie-e148S010i6-16»015816—1€=01101006Aa01020-14-4i7B110140B8801024-16-8i分BK-16-0110U-IS*2i108移01012011s1卜16=011022-H*61128801016-16=011381«-16=0110100148801020-16-411S越H«iG=0110140KeS010Z4-l®=812、数字积分法圆弧插补Y~y对t微分求得如阁所示，设圆弧的圆心在坐标原点，起点为A（x。y0

），终点为召（xe，ye），半径为r。圆的参量方程可衷示为jc

=rcosZy—r&ixit<1d-dr<!>d/d4成微分形式工—〉:川累加和来近似积分i=I这表明圆弧插补时，X轴的被积函数值等于动点y坐标的瞬时值，y轴的被积函数值等于动点X坐标的瞬时值。与直线插补比较可知:1)直线插补时为常数累加，而圆弧插补时为变M累加。2)圆弧插补时，X轴动点坐标值累加的溢出脉冲作为y轴的进给脉冲，y轴动点坐标值累加溢出脉冲作为X轴的进给脉冲。3)直线插补过程中，被积函数值(ye)不变。圆弧插补过程中，被积函数值x(yh必须由累加器的溢出来修改。圆弧插补X轴累加器初值存入y轴起点坐标y。，

y轴累加器初值存入X轴起点坐标X。5璋举例-艮逆圆弧，其圆心在原点，起点A坐标为（6,O），终点B坐器为三位，用数字积分法插补计算，并画出走步轨迹图。］表4_8所示。为加快插补将两个累加器的初值置成容量半n1—21所示。=表4-8数字积分^0弧插补计算过裎'X轴数字积分器r轴数字积分器X累加器X累加器溢出脉冲Y被积函数寄存器Y累加器Y累加器溢出脉冲4064040610-8^215068—8=01706609—8=11612*-8—4■■•IU1KVS.1霧11L3数据采样插补法数据采样插补法原理第•步是粗插补，根裾程序进给速度，将沿定轮廓曲线分割为毎•插补周期的进给段（直线段）。对直线插补，直线段与给定直线:近合。对圆弧插补，n线段闽弧的弦线或切线。每一个插补周期执行一次插补运算：AL=FT△L-直线段长度；F-进给速度；T-插补周期第二步是精插补，根据△!＞，计算出插补点咁标和各个咆标的进给irt△x、Ay，进而得出指令位K.汁算机定吋对坐标的实k位置进行采拃，勺指令位置进行比较，得出位置误差，根据位置误差对伺服系统进行控制，达到消除误差H的。插补周期时以等于采样周期，也nj以足采样周期的牿倍数。数裾采样捕补//法适川于闭环、半W坏数控系统，常用的荇吋叫分割法、扩展数孚积分法等。2.2刀具补偿原理数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，但芩件加工是用刀尖点进行的，所以需耍在刀架参考点和刀尖点之间进行位置偏置(补偿)。2.1.2刀具长度补偿以数控车床为例，P为刀尖，Q为刀架参考点，设刀尖圆弧半径为零。利用测量装置测出刀尖点相对于刀架参考点的坐标(Xpq,Vpq),存入人I补内存表屮。编程时以刀尖点P(Xp,Zp)来编程，刀架参考点坐标Q(Xq,Zq)由下式求出Xq—Xp—XpqZq=

Zp

_

Zpq刀具长度补偿由G43、G44及H代码指定。Xpq2.2.2力具半径补偿L刀具半径补偿概念刀具半径补偿功能是指改变刀具屮心运动轨迹的功能。如阁所示，用铣刀铣工件轮廓时，刀具中心应始终偏离工件表面一个刀n半径的距离，编程人员则以工件的轮廓表面尺寸进行编程。当刀具半径确定之后，可以将刀UT■抒的丈测值输入刀具半径补偿存储器，存储起来，加:1:时吋根据耑要用G41或G42进行调用。G41和G42分別为左刀补和右刀补。如阌所示。4矢刀具塚动W进方向<541（左鴒｝/%/G42〈右偏〉零件轮图5-16铣刀半径偏置图5-17刀具偏置的判断2.刀具半径补偿过程经过译码后得到的数裾，要通过半径补偿计算，将编程轮廓数据转换成刀具屮心轨迹的数据才能用于插补。刀具半径补偿的执行过程分为刀补的建立、刀补进行和刀补撤消三个步骤。1）刀补的建立。刀具由起刀点接近工件，因为建立刀补，刀具中心轨迹的终点不在卜*一段程序指定轮廓起点，而楚在法线方向上偏移一个刀a的距离。偏移的左右方向取决rm还是G42。2）刀具补偿进行。一旦建立刀补，则刀补状态就一直维持到刀补撤消。在刀补进行期间，刀具屮心轨迹始终偏离程序轨迹一个刀具半径的距离。3）刀具补偿撤消。刀具撤离工件，回到起刀点。这时，应按编程的轨迹和上前段程序末刀具中心位置，