2022年广东省清远市中考数学模拟试卷及答案解析

2022年广东省清远市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.-5的相反数是（）

A.」B.AC.5D.-5

55

2.下列计算正确的是（）

A./+〃3=〃5B.3企-2&=1C.(x2)3=/D.m54-m3=m2

3.下列交通标志是轴对称图形的是（）

A.

4.关于x的一元二次方程？+4尤+%=0有两个实数根，则a的取值范围是（）

A.ZW-4B.k<-4C.^4D.女V4

5.如图，已知。〃从直角三角板的直角顶点在直线6上，若Nl=60°,则下列结论错误

Z2=60°C.N3=60°D.Z4=120°

6.下列命题是假命题的是（）

A.正五边形的内角和为540°B.矩形的对角线相等

C.圆内接四边形的对角互补D.对角线互相垂直的四边形是菱形

7.如图，点A,B,C,。都在。0上，3。为直径,若NA=65°,则/。8c的值是（）

B.25°C.35°D.65°

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8.数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）

A.21和19B.21和17C.20和19D.20和18

9.函数y=K的图象经过（1,-1）,则函数y=fcv-2的图象是（）

10.如图，△A8C与△AEF中，AB=AE,BC=EF,NB=NE,AB交EF于。.给出下列

结论:

①NC=/E；②丛ADEs（3）ZAFE=ZAFC；④FD=FB.

其中正确的结论是（）

C.①④D.②④

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题

卡相应的位置上.

11.（4分）因式分解：9x2-4—

12.（4分）若m是方程2A2-3x-1=0的一个根，则6加2-9〃?+2015的值为.

13.（4分）将数60000用科学记数法表示应为

14.（4分）闹元宵吃汤圆是我国传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有4

个花生味和2个芝麻味，小明从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是.

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x-l42~2x

15.（4分）不等式组|2x、x-l的解集是______.

~>~2~

16.（4分）如图，在扇形A08中，N4OB=90°,正方形CDE尸的顶点C是弧A8的中点,

点。在08上，点E在08的延长线上，当正方形CDEF的边长为2&时，阴影部分的

面积为•

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.（6分）计算：2tan60o°+仔）一］

2_i241

18.（6分）先化简，再求值：当二・(-x1-2),其中x=2cos30。+tan45°.

24

x+xx

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19.（6分）如图，在RtZ\48C中，NBAC=90°,ZC=30°.

（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交8c于点。，交AC于点E（不

写作法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的条件下，连接A。，求证：ABCsXEDk.

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20.（7分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A-8-。的路线可至山顶。处，假设AB

和30都是直线段，且AB=BO=600，w,a=75°,0=45°,求的长.

（参考数据：sin75°%097,cos750~0.26,亚N1.41）

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21.（7分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏

曲），从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的

统计图.

（1）这次被调查的学生共有多少人？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？

（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取

2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.

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22.（7分）人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的

进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.

（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价

格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，

可使销售的总利润（利润=售价-进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、

乙两种牛奶各自多少件？

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五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23.（9分）如图，双曲线、=区（x>0）经过△0A8的顶点A和08的中点C,AB〃x轴,

x

点A的坐标为（2,3）,BELx轴，垂足为E.

（1）确定上的值；

（2）若点。（3,/«）在双曲线上，求直线AO的解析式；

（3）计算△048的面积.

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24.(9分)如图，在。。中，直径AB垂直弦CQ于E,过点A作ND4F=ND48,过点。

作AF的垂线，垂足为凡交AB的延长线于点P,连接CO并延长交00于点G,连接

EG.

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)若AO=£>P,08=3,求而的长度；

(3)若DE=4,AE=8,求线段EG的长.

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25.(9分)如图，在正方形ABC。中，AB=4,点E在对角线AC上，连接BE、DE,

(1)如图1,作EMLAB交A8于点M,当AE=加时，求8E的长;

(2)如图2,作EGJ_8E交C力于点G,求证：BE=EG；

(3)如图3,作EFJ_8c交8c于点F,设ABE尸的面积为y.当x取何值时,

y取得最大值，最大值是多少？当aBE尸的面积取得最大值时，在直线EF取点P,连接

BP、尸C,使得N8PC=45°,求EP的长度.

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2022年广东省清远市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.-5的相反数是（：）

A.」B.AC.5D.-5

55

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数作答.

【解答】解：根据相反数的定义得：

-5的相反数为5.

故选：C.

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.3-72-2^2=1C.（x2）3=^D.m5-i-m3=m2

【分析】直接利用合并同类项法则以及幕的乘方运算法则、同底数幕的乘除运算法则分

别计算得出答案.

【解答】解：A、/+/,无法计算，故此选项错误；

B、3&-2&=&,故此选项错误；

C、（/）3=/,故此选项错误；

D>nr1-i-in）—n?,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及基的乘方运算、同底数累的乘除运算，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

3.下列交通标志是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

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【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

8、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分折叠后可重合.

4.关于x的一元二次方程/+4x+A=0有两个实数根，则上的取值范围是()

A.B.k<-4C.&W4D.k<4

【分析】根据判别式的意义得-4Z》0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得4=42-我20,

解得&W4.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程/+bx+c=OQWO)的根与△=%2-4ac

有如下关系：当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

5.如图，已知a〃江直角三角板的直角顶点在直线〃上，若Nl=60°,则下列结论错误

【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求

出N2,Z3,N4,N5的度数，然后选出错误的选项.

【解答】解：〃江Zl=60°,

.,.Z3=Z1=6O°,Z2=Z1=6O°,

/4=180°-Z3=180°-60°=120°,

•••三角板为直角三角板，

/.Z5=90°-Z3=90°-60°=30°.

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故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平行线的性质：两直线平行,

同位角相等.

6.下列命题是假命题的是（）

A.正五边形的内角和为540°

B.矩形的对角线相等

C.圆内接四边形的对角互补

D.对角线互相垂直的四边形是菱形

【分析】利用正多边形的性质、矩形的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选

项.

【解答】解：A、正五边形的内角和为540。，正确，是真命题；

8、矩形的对角线相等，正确，是真命题；

C、圆内接四边形的对角互补，正确，是真命题；

。、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正多边形的性质、矩形的性

质及菱形的判定，难度不大.

7.如图，点A,B,C,。都在0。上，8。为直径，若NA=65°,则NOBC的值是（）

A.15°B.25°C.35°D.65

【分析】根据圆周角定理得到NBC£>=90°,ZD=ZA=65°,根据直角三角形的性质

计算即可.

【解答】解：•••8。为直径，

/.ZBC£>=90°,

由圆周角定理得，ZD=ZA=65Q,

:.NDBC=90°-65°=25°,

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故选:B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关

键.

8.数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）

A.21和19B.21和17C.20和19D.20和18

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.

【解答】解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；

数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21,中位数是（18+20）+2=19,故中位

数为19.

故选：A.

【点评】本题考查了中位数，众数的意义.找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再

根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果

是偶数个，则找中间两个数的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众

数可以不止一个.

9.函数y=K的图象经过（1,-1）,则函数y=fct-2的图象是（）

【分析】先根据函数y=区的图象经过（1,-1）求出k的值，然后求出函数y=kx-2

x

的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答.

【解答】解：•••图象经过（1,-1）,

.".k—xy--1,

•••函数解析式为y=-x-2,

所以函数图象经过（-2,0）和（0,-2）.

故选:A.

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【点评】主要考查一次函数的图象.当后<0,b<0时，函数y=fcr+h的图象经

过第二、三、四象限.

10.如图，△4BC与△4£：/中，AB=AE,BC=EF,NB=NE,AB交EF于。.给出下列

结论：

①NC=NE；②XADEs③NAFE=NAFC；®FD=FB.

其中正确的结论是（）

bFL

A.①③B.②③C.①④D.②④

【分析】先根据已知条件证明AAE/丝△A8C,从中找出对应角或对应边.然后根据角之

间的关系找相似，即可解答.

【解答】解：在△ABC与aAEF中，

，AB=AE

,NB=/E，

BC=EF

：.AF=AC,ZAFE=ZC

.\ZAFC=ZC,

：.NAFE=ZAFC；

由NB=NE,ZADE=ZFDB,

可知△ACEs△FOB；

无法得到/C=/E：FD=FB.

综上可知：②③正确.

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

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正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题

卡相应的位置上.

11.（4分）因式分解：9/-4=因x-2）（3x+2）.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：9?-4=（3x-2）（3x+2）.

故答案为：（3x-2）（3x+2）.

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键.

12.（4分）若机是方程-3x-1=0的一个根，则6/M2-9/M+2015的值为2018.

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【解答】解:由题意可知：2m2-3m-1=0,

/.2m2-31m=1

二原式=3（2加2-3机）+2015=2018

故答案为：2018

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,

本题属于基础题型.

13.（4分）将数60000用科学记数法表示应为6X104.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：60000=6X104,

故答案为：6X104.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中"为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

14.（4分）闹元宵吃汤圆是我国传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有4

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个花生味和2个芝麻味，小明从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是—■!」

【分析】先求出所有汤圆的个数，由花生味汤圆为4个，再根据概率公式解答即可.

【解答】解：•••一碗汤圆，其中有4个花生味和2个芝麻味，

从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是：1=2..

63

故答案为：2

3

【点评】此题考查了概率公式的应用，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率P（A）=旦.

n

'xT42-2x

15.（4分）不等式组.2x、x-1的解集是-3<xWl.

【分析】分别解两个不等式得到xWl和-3,然后利用大小小大中间找确定不等式组

的解集.

x-l42-2x①

解①得xWl,

解②得x>-3,

所以不等式组的解集为-3<xWl.

故答案为-3<xWl.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解

集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

16.（4分）如图，在扇形AOB中，N4OB=90°,正方形COE尸的顶点C是弧A8的中点,

点。在。8上，点E在08的延长线上，当正方形CDE尸的边长为2&时，阴影部分的

面积为2TT-4.

【分析】连结0C,根据勾股定理可求0C的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形

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HOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解.

【解答】解：连接0C,

•.•在扇形AOB中/AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧A8的中点,

；./COO=45°,

：.OC=y/2CD=4,

...阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积

2

_4571X4.ly/12

360~7

=2ir-4.

故答案为2n-4.

【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度.

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.（6分）计算：2tan60。。+/）1

【分析】本题涉及零指数幕、负指数暴、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点.在

计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解：原式=2X，§--1+3=2.

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决

此类题目的关键是熟练掌握负整数指数累、零指数基、二次根式、绝对值等考点的运算.

22

18.（6分）先化简，再求值：三二1+（3+1-2）,其中x=2cos30°+tan45°.

x2+xx

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=（x+1）（x-1）+x2+l-2x=三工._x_=_J_,

x（x+l）xx（x-l）2x-1

当x=2x1+l=«+l时，，原式=返.

23

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

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19.（6分）如图，在RtZ\48C中，NBAC=90°,ZC=30°.

（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交8c于点。，交AC于点E（不

写作法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的条件下，连接A。，求证：ABCsXEDk.

【分析】（1）利用基本作图作AC的中垂线；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得到D4=OC,ZCAD=ZC=30°,然后根据相似

三角形的判定方法可判断△ABCs△ED4.

【解答】（1）解：如图，OE为所作；

（2）证明：•.•点。在AC的垂直平分线上，

：.DA=DC,

：.ZCAD=ZC=3QQ,

'：ZDEA=ZBAC=90°,

/\ABC^/\EDA.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）.也考查了相似三角形的判定.

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20.（7分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A-3-0的路线可至山顶。处，假设

和都是直线段，且A8=80=600，"，a=75°,p=45°,求OE的长.

（参考数据：sin750-0.97,cos75°弋0.26,&F.41）

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D.

【分析】在R/V18C中，求出3C=4B・cos75°=«600X0.26^156/n,在RtZ\8E>F中，求

出力尸=8/>sin45°=6（X）X亚七300X1.41七423,由四边形8CEF是矩形，可得E『=

2

BC,由此即可解决问题.

【解答】解：在放△ABC中,"：AB=600m,ZABC=15°,

.•.BC=AB・cos75°=600X0.26=156〃?，

在RtZYBDF中，VZDBF=45°,

：.DF=BD*sin45°=600X返弋300X1.41=423,

2

•.•四边形BCE尸是矩形，

：.EF=BC=\56,

：.DE=DF+EF=423+156=579m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关

键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.（7分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏

曲），从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的

统计图.

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(1)这次被调查的学生共有多少人？

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？

(4)该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取

2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).

【分析】(1)根据动画类人数及其百分比求得总人数；

(2)总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；

(3)用样本估计总体的思想解决问题；

(4)根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

【解答】解：(1)这次被调查的学生人数为15・30%=50人；

(2)喜爱“体育”的人数为50-(4+15+18+3)=10人,

补全图形如下：

(3)估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500X12=540A;

50

(4)列表如下:

甲乙丙丁

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甲---（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）

乙（甲，乙）---（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）---（丁，丙）

丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）---

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果,

所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为2=上.

126

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.（7分）人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的

进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.

（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价

格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，

可使销售的总利润（利润=售价-进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、

乙两种牛奶各自多少件？

【分析】（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x-5）元/件，根据数

量=总价+单价结合用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同，

即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y-5）件，根据总利润=单件利润X销

售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x-5）元/件，

根据题意得：里=迎，

x-5x

解得：x=50,

经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，

.♦.X-5=45.

答：乙种牛奶的进价是50元/件，甲种牛奶的进价是45元/件.

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y-5）件，

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根据题意得:（49-45）（3厂5）+（55-50）y=371,

解得：y=23,

；.3y-5=64.

答：该商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找

准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23.（9分）如图，双曲线y=K（x>0）经过△OA8的顶点A和08的中点C,轴，

x

点A的坐标为（2,3）,轴，垂足为E

（1）确定上的值；

（2）若点。（3,m）在双曲线上，求直线AO的解析式；

【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）将。坐标代入反比例解析式求出相的值，确定出。坐标，设直线AO解析式为y

=kx+h,将A与。坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；

（3）过点C作CFLx轴，垂足为F,进而确定出三角形OCF与三角形OBE相似，根据

C为08的中点，得到相似比为1：2,确定出CQ的值，进一步求得C的坐标，得出OF、

OE,求得A8的长，根据三角形面积公式求出三角形AOB面积.

【解答】解：（1）将点A（2,3）代入解析式y=K,

X

得：k=6；

（2）将。（3,加）代入反比例解析式y=旦，

X

得：m=8=2,

3

...点。坐标为（3,2）,

第22页共28页

设直线AD解析式为y=kx+b,

将A(2,3)与。(3,2)代入

得：(2k+b=3,

l3k+b=2

解得：［k=T

lb=5

则直线AO解析式为丫=-x+5；

(3)过点C作CFLx轴，垂足为尸,

：.CF//BE,

:.△OCFS^OBE,

：C为08的中点，即里」，

0B2

•*.CF=—,

2DE2

：C在双曲线、=旦上，

X

：.C(4,3),

2

：.OF=4,0E=8,

：.AB=S-2=6,

得：SAAOB=/X6X3=9.

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐

标与图形性质，以及反比例函数上的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

24.(9分)如图，在。0中，直径AB垂直弦C。于E,过点A作ND4F=ND4B,过点。

作AF的垂线，垂足为F,交A8的延长线于点P,连接CO并延长交0。于点G,连接

EG.

(1)求证：DF是。。的切线；

(2)若AO=OP,08=3,求俞的长度;

第23页共28页

(3)若DE=4,AE=8,求线段EG的长.

【分析】（1）连接。。，如图1,先证明NA£»0=ND4F得到OO〃AF,然后根据平行线

的性质判断DF±OD,然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）先证明尸然后根据三角形内角和计算出/尸=30°,从而得到

/尸。。=60°,然后根据弧长公式计算；

（3）连接。G,如图2,利用垂径定理得到£>E=CE=4,设OO=OA=x,则。E=8-x,

利用勾股定理得到（8-x）2+42=/,解方程得到x=5,所以CG=2OA=10,然后利用

勾股定理先计算OG,再计算EG.

【解答】（1）证明：连接。。，如图1,

'：OA=OD,

：.ZDAB=ZADO,

DAB,

：.ZADO=ZDAF,

J.OD//AF,

XVDF1AF,

：.DFLOD,

尸是。0的切线；

（2）'：AD=DP

:./P=/DAF=NDAB,

尸=30°,

.•.々00=60°,

,俞的长度=皿）"n"3=ir；

180

（3）解：连接OG,如图2,

第24页共28页

'：ABLCD,

：.DE=CE=4,

：.CD=DE+CE=S,

设0D=04=x,则0E=8-x,

在RtA(?D£中,:O£2+DE2=OD2,

(8-x)2+42—^,解得：x=5,

.•.CG=2OA=10,

：。6是。0的直径，

AZCDG=90°,

在Rtz^OCG中，DG=QCG2—CD2=6,

在Rtz^OEG中，EG={a2+62=2丘.

图2

图1

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的