2022年高考全国甲卷数学(文)真题

2022年高考全国甲卷数学（文）真题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={-2-1QL2},H={XI0MX<*},则4CA=（）

A.（Q12}B.{—10}

MQDDU21

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民

,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷

答题的正确率如下图：

100%

95%...................................................................♦

90%.........♦.........................♦..........................*

榔85%........♦...♦-------*...♦...

逐80%...-..................*-...*讲座前

目75%.............*................•讲座后

70%*................................

65%■……*

60%?................*-.........................................................................

nv-------1-------1-------1-------1-------1-------1------1-------1-------1-------1-

12345678910

居民编号

则（)

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前

确率的标准差正确率的极差

3.若Z=l+i.则氏+和=()

A戒B.姐

C耶D2技

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（

）

A.8B.12

C.16D.20

5.将函数汽/=皿>（3+寿）@>0）的图像向左平移菱个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称

，则他的最小值是（）

11

A.6B.Z

11

c.3D.1

6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是

4的倍数的概率为（）

11

A.5B.5

2

C.5

7.函数》=（3*—尸）8^在区间［-头爱］的图象大致为（）

8.当*=1时，函数/。0=痴+4取得最大值一2,则代2）二（

)

A.-1B.T

ciD.l

9.在长方体成8一4，£01中，已知BQ与平面48。和平面所成的角均为30。，则

（）

A.AB=2ADB.AB与平面ABjCjD所成的角为30°

C.AC=CBtD.BQ与平面所成的角为45°

io.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2«,侧面积分别为$甲和6乙，体积

分别为V甲和V乙.若五旦，则咒二（）

ASB,2^

C.阿D.孚

11.已知椭圆C：菅+蕾的离心率为七&,4分别为c的左、右顶点，B为C的上顶点

.若取厂342=一1,贝氏的方程为（）

A,fs+n=1B^+4=1

C.导+等=1段导+乃=1

12.已知r=1010=1（/*-116=8"*—9,则（）

K.a>Q>bB.a>b>0

c.fr>a>0D.fe>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1.已知向量才=（漏分万=Qm+D.若/J>区则癖=.

14.设点M在直线力c+y-i=0上，点36和QD均在上，则。M的方程为

15.记双曲线C：着一浮=的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”

的6的一个值______________.

16.已知A4月C中，点D在边BC上，LADB-1200.AD=2»CD=2BD.当为取得最小值时

,RD=.

三、解答题（共70分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题（共60分）

17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随

机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

17.1.根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;

17.2.能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

附：区二诵硝丽丽而，

产（好工女）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.记S.为数列〈4｝的前n项和.已知—+力="+1.

18.1.证明：〈4｝是等差数列；

18.2.若%、％成等比数列，求Sn的最小值.

19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长

为8（单位：cm）的正方形，AEAB.AFBC,AGCD,△血4均为正三角形，且它们所在的

平面都与平面4a第垂直.

AB

19.1.证明：EF/I平面ABCD；

19.2.求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.已知函数fW）=#3—方融=*+a,曲线y=/3在点（苞./（修））处的切线也是曲线

y=g（力的切线.

20.1.若斯二-1,求a；

20.2.求a的取值范围.

21.设抛物线C：W=2/»S>Q）的焦点为F,点D（R0）,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂

直于x轴时，\MF\=3.

21.1.求c的方程；

21.2.设直线MD.ND与c的另一个交点分别为A,B,记直线MN.AB的倾斜角分别为

aS.当a-fl取得最大值时，求直线AB的方程.

（二）选考题（共10分）

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

22.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

等

在直角坐标系出y中，曲线Ci的参数方程为ly=#（t为参数），曲线的参数方程为

0=-等

J=（S为参数）.

22.1.写出Ci的普通方程；

22.2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为

2cosd—sinfl=0,求C3与交点的直角坐标，及.与C?交点的直角坐标.

23.

［选修4-5：不等式选讲］

已知a,b,c均为正数，且建+a+好=？，证明：

23.i.a+b+2c^3；

23.2.若b=2c,则4+1^3.

参考答案

1.A

解析：根据集合的交集运算即可解出.

因为A={-Z-LQL2},所以An》={Q12}.

故选：A.

2.B解析:

由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

讲座前中位数为睁A70%,所以A错;

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题

的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准

差，所以c错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%—80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=3觊>20%,所以8昔.

故选:B.

3.D

解析：根据复数代数形式的运算法则，共斩复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

因为z=l+i,所以iz+3z=i(l+i)=2—方，所以|iz+3zl==地

故选：D.

4.B解析：

由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积旷=孥*2*2=12

故选：B.

5.C

解析：先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得等+9二号+无跖无WZ,即可求出m的最

小值.

由题意知：曲线C为y=8in[Mx+*)+¥]=8in@H等+号)，又C关于y轴对称，则

孥+号二手+上跖itEZ

解得a=#十%比WZ,又8>0,故当上=。时，他的最小值为£

故选：c.

6.c

解析：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

a2),a3),a4),(15),a6),(23),(Z4),(25),(Z6),(34),5),06),(45)

15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有(14).(24),(26),(34),(45),(46)6种情况，故概率为

15=1.

故选：C.

7.A解析：

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

令f(幻=(于-尹)CO&X,XE[-乐羽，

则f(T)=，-力008(^)00«=-/(X),

所以f(4)为奇函数，排除BD；

又当#£(。勇)时，3T—尸AQcOfiX>0,所以排除C.

故选：A.

8.B解析：

根据题意可知f(l)=-2,f(l)=0即可解得ab,再根据/(4)即可解出.

因为函数/(4)定义域为(Q+8),所以依题可知，，⑴=-2,f(l)=0,而

/(4)=♦-/,所以力=-20—。=0,即0=—2»6=—2,所以/(4)=一3+萋，因此函

数/(4)在(Q1)上递增，在(1+8)上递减，#=i时取最大值，满足题意，即有

r(2)=-i+i=-j.

故选：B.

9.D

解析：根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

如图所示：

不妨设4B=4AZ>="44I=C,依题以及长方体的结构特征可知，与平面板7)所成角为

ZAQB,与平面44泅出所成角为NN1A,所以8皿0=加=成5,即6=©,

BjD=2c=^(fl+b^+c2,解得。二位々.

对于错误；

A,AB=a,AD=b,AB=^ADtA

对于过作加于松，易知无平面所以与平面所成角为

B,R•14311H_LABICQ,ARABICQ

ABAE,因为0nz员幽=£=学,所以凶以场为30”,B错误；

对于c,M=M+甘=事5S=J9)+c2=辰c错误；

对于D,与平面的61C所成角为ZZ»[C,

sinZDfiIC=^=4=4而0<z/MQv无：所以/皿C=45.D正确.

故选：D.

10.C

解析：设母线长为I，甲圆锥底面半径为。，乙圆锥底面圆半径为力，根据圆锥的侧面积公式可得

〃=»2,再结合圆心角之和可将「,力分别用I表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据

圆锥的体积公式即可得解.

解：设母线长为I,甲圆锥底面半径为。，乙圆锥底面圆半径为力，

则京一司一招一2,

所以，1=202,

又竿+竿次,

则华=L

所以=

所以甲圆锥的高瓦=百铲=%,

乙圆锥的高电=#一*=孚（

肄=抖=噂.=呵

所以药加曲曲电丫

故选：C.

11.B

解析：根据离心率及城？环=■-I解得关于*/的等量关系式，即可得解.

解：因为离心率©=1二J1-。=孑,解得£=12，

Ai,儿分别为c的左右顶点，则A*（一备0]4（d,0）,

B为上顶点，所以BQ垃

所以附=（-《-块蹒=（4-4）,因为西•弧=-1

所以一必+62=一],将y=*廨代入，解得廨=9,y=8,

故椭圆的方程为4+4=1.

故选：B.

12.A解析：

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知癖=1°&10>L再利用基本不等式，换底公式可得

w>lgll,10^9>«然后由指数函数的单调性即可解出.

由好=10可得*1。&1°=罂A1,而如lgU<（丹^）=（零）<l=（lgl0）2所

以翳〉蕾5,即mAlgll,所以口=1。"-11>1萨”-11=0.

又蝌g]Q<（里琴）2<（的所以龄罂即够9》叫

所以buf-gvC%9-9=0.综上，a>Q>b.

故选:A.

13.1、参考1：T；参考2：-0.75；

解析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.，

由题意知：a•石=m+3(m+l)=0,解得m=一1

故答案为：一孑.

144-/+。+/=5

解析：设出点M的坐标，利用36和QD均在OM上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

解：...点M在直线"+y-l=O上，

..・设点M为又因为点80)和QD均在©w上，

3M到两点的距离相等且方半径R，

...而一于+<_明2=3=&

cfi-6a+9+4€fl-4a+l=5efl,解得a=l,

.ML-D,R=B

◎”的方程为仪一Jf+(y+lf=5

故答案为：(X-1)2+6>+1)2=5

15.2(满足1<。4后皆可)

解析：根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±2%中Q<A«2即可求得满足要求的e值.

y2

解：C：着一7=如>Q\>6,所以c的渐近线方程为》=土如，

结合渐近线的特点，只需0<*«2,即专44.

可满足条件“耳线y=2x与c无公共点”

所以e='=Jl+4m再1=收

又因为。>1,所以1<6«有，

故答案为：2(满足1<64召'皆可)

16.1、参考1:后一1;参考2:-1+/；解析：

设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出超后，结合基本不等式即可得解.

设CD=2BD=2m>。,

则在AAflD中，ASP=BEP+AI^-2BDADco&Z-ADB=rni+4+2m.

在AACD中，AC2=CDl+AI^-2CDADco&LADC=4i>fi+4-4m,

公_•吩12(2_4_12

所以再―姿西_丽不痂--而每彳

fe4——=4-2J3

当且仅当癖+1=岛即癖=有一1时，等号成立，

所以当为取最小值时，癖=有一1.

故答案为：

A

17.1.A,B两家公司长途客车准点的概率分别为曙，I解析:

根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，

设A家公司长途客车准点事件为M,

则式的=缥=品；

B共有班次240次，准点班次有210次，

设B家公司长途客车准点事件为N,

则3）=翦=工建

A家公司长途客车准点的概率为13；

B家公司长途客车准点的概率为彳.

17.2.有

（2）:由题意得2x2列联表：

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合

45050500

计

K2=HGG

所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关

解析：

18.1.证明见解析；解析：

解：因为孕+力=4+1,即叫4■解=>!/+力①，

当n之2时，叫（■-l）2=2（n-（力-1）②，

①一②得，25界+解一小1一（"-1产=2«0fl+力一2（力一1）以（"一1）,

即如+2«-1=皿-25-1）*+1,

即2（启一1）斯一2（力-1）%=2（冷-1）,所以为一%=1,门上2同uWN*,

所以<%｝是以1为公差的等差数列.

18.2.—78.解析：

解：由（1）可得知=苗+3,07=0[+6,«9=«I+8,

又如，5,角娥等比数列，所以即=%.内，

即（♦+6）2=（的+3）・（.+8）,解得的=-12,

所以斯=时13,所居=-1方42E解一钏e(”第)2一竽,

所以，当n=12或FI=13时(S")min=-78

19.1.证明见解析；解析:

如图所示：，

分别取A&HC的中点MN,连接MN,因为AEAB,△犯C为全等的正三角形，所以

又平面无以平面平面比月平面

EMlABtFN±BC,EM=FN,4JL4BCZ),4fl

,松MU平面比4A,所以比A/JL平面4BCZ),同理可得五NJ■平面4BCD,根据线面垂直的性质

定理可知EM//FN,而EW=FN,所以四边形EMVF为平行四边形，所以EF//MN,又

E尸《平面ABCD,MNU平面ABCZ),所以屈F//平面ABCZ).

19.2.挈4.解析：

如图所示：，

分别取gDC中点由(1)知，EF//MN且即=MN,同理有，

由平面知识可知，

HE/lKMtHE=KM,HGllKhHG=KL,GF//LNtGF=IM,

BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体

KMNL-EFG归的体积加上四棱锥H-MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=L^=KM=3EM=8sin60=&5,点B到平面肋VFE的距离即为点B

到直线MN的距离d,d=2品,所以该几何体的体积

n

y=(服)乂4+4x：x域乂侬乂2亚=12&S+颦0=攀5

20.1.3解析：

由题意知,/(-1)=-1-(-1)=0,而=缸2_1并->3-1=2,则y=/3在点

(-10)处的切线方程为y=%c+D,

即y=2x+2,设该切线与函）切于点（曲,嫉石）），观灯=",则虱均=2电=2,解得电=1

,则g（D=l+0=2+2,解得口=3；

20.2.［-1+«）解析：

人力=3千一1,则y=f8在点（4iJGi））处的切线方程为y-（坤-的）=（端-

,整理得y=G潦-3-相，

设该切线与通切于点（与蛉动），观»二方，则鼠均=2与，则切线方程为

y一（瑕+0）=2叁-均，整理得，二次/一言+生

，瑞-1=%2

则-相=-君+G,整理得0=珞-温=停-力-端=黜-瑞-弼+丸

令6）=/妙-缈-**+*则相㈤=9*-&2一笈=为循+a4一1）,令收处>0,解得

T<#<o或*:1,

令堀㈤<0,解得#<一｝或则X变化时，网急的变化情况如下表：

(fT)1(T。)a+8)

X-30(an1

碗—0+0—0+

畋）、务1

74-17

则网的值域为［一148）,故■的取值范围为［-L+8）.

21.1.尸=4即解析：

抛物线的准线为“=一¥,当与X轴垂直时，点M的横坐标为P，

此时瞪M=p+当=3,所以P=2,

所以抛物线c的方程为W