群论第二章分析

群

论第二章群的基本知识1第二章群的基本知识本章首先介绍群的基本知识，包括群的概念，子群，同态与同构，共轭类，不变子群与商群，群的直积，最后介绍几个简单的群例。本章分以下几节:1,群的概念,2,子群，同态与同构3,共轭类，不变子群与商群4,群的直积与外直积5,某些简单群2§2.1群的概念群是数学元素的一种特殊的集合，它要求集合中两个元素满足某些组合规则，这集合具有代数结构，组合规则（常称为乘法）它可以是普通乘法的推广也可以是矩阵相乘或两元素置换等。

1.群的定义群是一种具有代数结构的数学元素的集合。它的组合规则（乘法）满足以下四条：（1）封闭性集合中任意两个元素的乘积（包括自乘）都在此集合内，取集合为G(2)乘法满足结合律即3§2.1

群的概念（3),存在单位元素集合中存在一个单位元素或称恒等元素(Identity

Element)而且只存在一个单位元素e为(4),集合总任何元素的逆元素在集合中，a的逆元，有是唯一的。在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘法满足交换律称为交换群或Abel群群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而群元素不可数的称为连续群。4§2.1

群的概念2.乘法表与群示例如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为e

a

b

c

dee=e

ea=a

b

c

dae=a

aa

ab

ac

adba

bb

bc

baca

cb

cc

cdda

db

dc

ddeabcd5§2.1

群的概念显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表的重排定理。若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称的。下面给出几个例子例1乘法为普通数乘法，单位元素为 ,a=-1逆元素为

自己，其乘法定律

ee=e,

aa=e,

ea=ae=a,这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维空间矢量作用e保持 不变的恒等变换 a

使 反演的反演变换，则构成反演群。6§2.1

群的概念i￤

i-

1-i1-1￤

-1-

i1i例2 利用普通乘法构成群，乘法表为￤

1

i -1 -i－－￤－－－－－－－－－1 ￤

1

i -1 -i-

i ￤

-

i

1

i -1从表中看出，相对主对角线是对称的，因此它是一个Abel群。另外看到这群元素可以用一个元素多次幂得到，这元素为i，即这样由一个元素多次幂组成群称循环群,为四阶循环群7§2.1

群的概念对元素a形成n阶循环群为的逆元素为

由定理2.1

重排定理：设群

当

取遍所有的元素时，

给出并仅一次给出G中的所有元素。重排定理是关于群乘法的重要定理，它指出每一个群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一次也仅一次。例3

所有的整数

乘法取为普通加法时，构成一个群，这群也是一个Abel群，其单位元素为0，n的逆元素为-n全部正整数就不构成一个群，因为它没有逆元素。8§2.1

群的概念例4

三客体的置换群(permutation

group)，它是简单的非Abel群，三客体编号为1，2，3排成一列，排列次序作一个变化，看成同一种置换，即置换主要为元素对应变化，不在排列次序，三客体置换群有以下六个元素：元素个数为3！=6，它是一个6阶置换群表为

，也称3客体对称群。9§2.1群的概念n个客体的置换群元素个数为n!，表为，也称n客体的对称群。若两置换乘积ba=d，即先实现a再实现b置换得d。的乘法表为：e

a

b

c

d

f—

|—————————————e

|

e

a

b

c

d

f|

a

e

f

d

c

b|

b

d

e

f

a

c|

c

f

d

e

b

a|

d

b

c

a

f

ef

|

f

c

a

b

e

d从乘法表看出，它对主对称轴是不对称的，所以它是非Abel群。10§2.1群的概念例5

平面正三角形对称群又称6阶二面体群，它由保持正三角形不变的空间转动操作形成群。图2.1平面正三角形对称变换以下六种操作平面正三角形不变：e

不转 a

绕轴1转π

b

绕轴2转π

c

绕轴3转πd

绕垂直轴z转2

π

/3，

f

绕z轴转-2

π

/3

。如图2.1所示11§2.1

群的概念给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘积

，

给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。e

a

b

c

d

f——

|——————————————e

|eabcdfa

|aedfbcb

|bfedcac

|cdfeabd

|dcabfef

|fbcaed后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群与平面正三角形对称群 同构。12§2.2

子群,同态和同构1.子群与陪集定义2.2,群G集合中一部分元素的子集合H若在原群乘法规则下满足群的四点要求，H称为G的子群。例.6,取

，则

就是G的二阶子群。例.7

在定义群乘法为数的加法时，整数全体构成群是实数全体构成群的子群。定理2.2子群定理：群G的非空子集H是群的一个子群，其充分与必要条件是若h与 满足。得

，[证明]：由H是G的子集满足结合律取则H中保持单位元素，另外取 ，则有。H中逆元素,最后取h为

有的满足乘法规则下闭合性，因此H为一个子群。13§2.2

子群,同态和同构换言之，G的一个子集H在其乘法下是闭合的，则为G的一个子群。任意一个群其单位元素e和群本身是G的子群，称平庸子群(trivial

subgroup)其他子群称真实子群，我们要求的是真实子群.为了证明一个重要定理——Lagrange定理，要引入一个重要的概念，称子群的陪集(coset)若H是群G的真实子群，其元素为

，则G中一定存在至少一个元素a不属于H的，则用a乘H所有元素形成一个子集称由a产生H的左陪集，可表示aH。14注§2.2

子群,同态和同构定理2.3陪集定理子群H的两个陪集aH和bH，如果它们两个中有一个共同元素，则这两个陪集完全相同。[证明]：让则则a在bH中a乘任何元素因此aH中任何元素在bH中，反过来bH中任何元素也在aH中，因此aH与bH是完全一样的。15§2.2

子群,同态和同构定理2.4

Lagrange定理有限群G的任何子群的阶是有限群阶的乘因子。若有限群阶N，子群阶为m，则有N/m=k

(k为整数)这定理在求有限群子群时是很有用的。[证明]：从旁集定理看出子群的任何两陪集是不相交的，要么完全相同，要么完全不同，若子群阶为m，则陪集阶也为m。则若有限群阶为N，则子群外形成陪集元素为N/m=k-1，利用

乘子群H，即得到G中所有元素，k称为H在群G中指数，定理得到。若群G阶数为素数，G就没有任何真实子群，若16§2.2子群,同态和同构2.同态与同构定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射，且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积，称群G与群F同构。记

映射称同构映射。即

：两个同构的群不仅群元素间一一对应，而且乘法规则也一一对应，因此从抽象群来说两个同构群本17质§2.2

子群,

同态和同构例.8,空间反演群[E,I]和二阶循环群同构.例.9

三元素的置换群 和三角形对称群 同构，它们都是6阶的。同构群作为抽象数学群是一样的，但当它们用于不同的

物理与几何问题时，它们将表示不同的物理或几何意义。定义2.4,若在群G到群F的映射φ中，G的几个元素都对应F的一个元素，g映射成f，

称为g的像。如果在映射过程中群的代数结构不变，称为同态映射，符号表示为G～F。G与F同态但F不与G同态。18§2.2子群,同态和同构定义2.5,

若群G与群F同态，G中与F单位元素 对应的元素的集合 称为同态核。注意与G同态于F，但F不一定同态于G。由同态映射要求保持代数结构，因此对群带来一些限制，下面给出两个定理。。通常 是具有单位元是F的单位元素。对任一G定理2.5若群G同态映射于F，它的像为素的F中的子群，e为G中单位元素。[证明]：首先证明G中单位元素的像中，但是F中的单位元素。即任何逆元素的像也是它像的逆元素g有因此其次证明由得到19§2.2子群,同态和同构最后证明是F的子群，从子群定理知，要证明若

与是由的元素，则 也是 的元素。得证。定理2.6.同态映射G～F

的同态核是G的子群[证明]：前面指出凡以F中单位元素e为像的元素称为G～F的同态核。这些元素要形成一个子群，就要证明若

映射也映射为e（子群定理）=

=e为e，则由则定理得证。20§2.2子群,同态和同构从定理中得到同态映射G～F的同态核是G的子群，但不是所有G的子群都可以作为同态映射核的。只有G中某些特殊的子群才具有这性质。这些子群

称为正规子群(normal

subgroup)或不变子群。下面将进一步讨论。下面给出一个同态映射例子。例10

群

与群

同态，分别21§2.3共轭类不变子群与商群

1.共轭与共轭类定义2.6,若群G中存在元素x，f，g使得称元素f与g共轭，f～g共轭有对称性

即f～g则g～f，

且f～f共轭还具有传递性

即当

则，，有因故22§2.3共轭类不变子群与商群定义2.7,

群中互为共轭元素的完全集合称为共轭类（或简称为类）用 表示。由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被类中任一个元素所决定，而两个不同的类没有公共元素。因此群可以按共轭类进行分割。每个类中元素个数不一定相同，而按子群的陪集分割时，每个陪集元素的个数是相同的。按共轭类和陪集分割群是分割群的两种重要方式。单位元素e本身构成一类。由 ，在这一类中没有其它元素，因此除单位元素外，群G的其它共轭类都不是子群，因没有单位元素。下面考虑几个例子23§2.3共轭类不变子群与商群例12,三体置换群共轭类。①利用乘法表直接可证明它存在以下三②③

分别对应于没有元素交换，三个元素交换和一对元素交换24§2.3共轭类不变子群与商群例13,三维空间转动形成一个群，这群中任何同角α的转动形成一类。若R表示绕

轴转动α

角，S表示绕轴转α角，则T就是一个转动使变为，则转动S与R是共轭的，它们属于一类。定理2.7

群G任何共轭类元素的个数是群的除数

[证明]：设α是群G中一元素，其相应类为类中另一元素为25§2.3共轭类不变子群与商群当s跑遍的所有元素，可得到类 的所有元素。但这些元呢？引入与素中有很多是相同的，哪些元素对应同样的a对易元素与

a

对易 的集合称为a的模数，它是G的一个子群：与所有元素产生同一

。元素。因此类元素个数为，则其右陪集不同陪集得到不同类是群的除数。例14,

Abel群

则素Abel群中每一元素为一类，元个数为1.又如置换群 的阶为6， 类元素个数为1，2，236

，均为6的除数（因子）。§2.3共轭类不变子群与商群2,不变子群定义2.8

若H是G的子群，对任意G的元素g，H的元素有 ，即H包含了所有与 同类的元素，称H为的不变子群，又称正规子群(normal

subgroup)定理2.8设H是G的不变子群，对任一固定元素s∈G，在一次也仅一取遍H的所有群元素之时，共轭元素次给出H的所有元素。定理表示一个不变子群包括群元素的整个类。[证明]：这定理可以从不变子群的定义直接推出来，因为如时， ，否则会引起矛盾。果H中元素 它的共轭元素 在H外，则这群就不是不变子群。而且当因27§2.3共轭类不变子群与商群例15,三客体的置换群真实子群

类看出前面三个子群不是不变的，因它们不包括元素的共轭类，而只有第四个子群是不变子群，它包括了群元素的类。28§2.3共轭类不变子群与商群如果是Abel群，每个元素自己为一类，则Abel群的任何子群都是不变子群。再一个例子就是任何同态映射的核，若映射 核K是对应 中单位元素 的中G元素集合。定理2已证明它是一个子群。我们还可以证明它是一个不变子群。假定 可以证明共轭映射由映射即也是 的映射核K中元素。29§2.3共轭类不变子群与商群3,商群定义2.9,群G的阶为g，其正规子群H的阶为h，于是存在a=g/h个陪集（包括正规子群）

正

规子群与陪集这a个集合形成一个群称为群G对其正规子群H的商群。表示为G/H下面论证上述个集合构成一个群。a)满足封闭性即正规子群的两个陪集相乘仍是它的一个陪集。b)存在单位元素，这单位元素就是正规子群本身。30§2.3共轭类不变子群与商群逆为 ，它也是商群G/H中一个存在逆元素，元素满足结合律例16,三客体置换群的正规子群为利用1.1节乘法表有

ae=a,

ad=b

af=c形成一个等价类31§2.3共轭类不变子群与商群另一个等价类N={e,d,f}则F,N形成一个商群，其乘法关系

∣

N

F

N∣

N

FF∣

F

N商群的阶是群与正规子群的商，群阶为6，正规子群阶为3，则商群阶为6/3=2。考虑自然映射G→G/H这映射显然是同态的,称为自然同态，G的正规子群H是商群的单位元素，因此它是自然同态中的核。考虑另一个同态映射f， 也以这正规子群为核，f(G)与G/H有以下关系。32§2.3共轭类不变子群与商群定理2.9（同构定理）凡是以正规子群为核的同态映射，都与商群G/H同构，f(G)≌G/H证明：若 可以证明H的任一旁集也映射于这就对应商群中一个元素，映射f(bH)对应G/H另一元素，这样 与G/H元素一一对应，表明 与G/H同构。例17, 可以映射于一个二阶循环群

，元素

，它与商群S/H同构，F对应

。3334§2.4群的直积与外直积直积定义10：若群G与它的子群H与K满足条件

G=HK,即对G中每一元素g=hk

h∈H

k∈K对G中每一元素g，g=hk是唯一决定的。hk=kh 对所有

h∈H k∈K

,即HK中元素对易。则称G为子群H和K的直接乘积，写成G=H×K。子群H称为G的直积因子.§2.4群的直积与外直积例18,

四参量e,a,b,c=ab形成群,称Guass四阶群 ，其乘法表为l

e

a

b

c

l

e

l

ea

l

ab

l

bc

l

caecbbceacbae两个子群为对于直积两个子群有以下性质H与K只有单位元素相交H和K是G的正规子群。直积概念也可以推广到多个子群:，则35§2.4群的直积与外直积若群G有k个子群(i)(ii)G中每一元素满足唯一决定(iii)G称为对所有的直接乘积,表示为同样直积子群要求所有子群相交元素只有单位元素。所有 都是的正规子群。36§2.4群的直积与外直积上面讨论群的直积是同一群的两个子群，现推广到两个任意群的情况2.群的外直积定义11,设

和 是两个任意群，定义新群G称为

与的外直积，要求(i)G的元素是有序的对，，(ii)G的乘法(iii)单位元素这里(iv)逆元素从定义看出群G的

阶是积

。阶和阶的乘从定义可证明若群G是它子群H和K的直接乘积，而

是HK组成的另一个外直积

，则 与G同构。这表明群的结构完全由它直积子群H和K决定。37§2.5某些简单群为了帮助大家复习和巩固有关群的一些概念，我们介绍三个简单群的例子。1.循环群n阶循环群是由元素a的幂2，。。。。n）且

记组成，（k=1，，循环群的乘法可以交换，因此循环群是Abel群，从有限群一个元素a出发总可以构成G的一个循

环，子群例19，a=i，是一个循环群，为，（-1，1）也的子群。38§2.5某些简单群2.置换群（或对称群）在前面各种概念介绍中，我们反复引用了三客体置换群 ，这推广到一般，考虑n个客体置换群

。我们对n个客体编号1,2,3,….n，n个客体存在着n!种排列方法。从一种排列到另一种排列的变换称为置换(permutation).取基本排列为1,2,3,….n，变成另一种排列置换逆置换为39§2.5某些简单群单位元素为不置换若 是任意两置换，则置换再实行 置换有是先实行 置换，则显然 不满足交换律。但满足乘法结合律40§2.5某些简单群定义12,n!个置换的集合 构成一个群，这个群称为置换群或对称群，它的阶为n!。置换群是物理与工程中应用最广泛的一个群，也用于通信网络中。下面介绍轮换的概念，并用它来表示置换群元素。定义13，若我们置换是将 换成 ，

换成

,…..

换成 ，这种置换称为轮换，写为可以把任一置换化为没有公共数字几个轮换的乘积。例20,置换即轮换因子次序对置换没有影响。41§2.5某些简单群下面介绍置换p的共轭置换 的简单求法，其中s是中任一元素，一个置换元素完全决定与两行上下元素的对应，而每个数排列次序无关，例只须将置换P的上下两行实行s置换。可以证明置换例

21,取42§2.5某些简单群如果利用轮换来表示置换时，它的共轭置换是将表p轮换的积中轮换符的数字实行s轮换。p=(134)(2)

s=(1342)轮换元素个数分配称为配分，互为共轭元素对应于n的同一配分，因此n的每一配分对应

群的一个共轭类。例如群有5个共轭类，对应配分为[4],

[3,1],

[2,1,1],

[2,2],

[1,1,1,1]43§2.5某些简单群3.正边形对称群前面我们已介绍正三角形对称群 ，它是一个六阶群，三个绕z轴转动e(不动)，d(转2π/3)，f(转-2π/3)它们形成一个不变子群，另外三个是绕中心与三个顶点不动的翻转分别为a，b，c，其中a，b，c自为逆元素，而d与f互为逆元素。前面通过直接运算给出其乘法表。下面介绍建立群乘法表另一种典型方法，将正三角形变换看成平面上点的坐标变换，变换前坐标为变换后坐标为，，用列矩阵表示变换元素为2×2矩阵A44§2.5某些简单群对每一变换将变换前后三角形顶点代入上式就可以求出a，b，c，d而给出相应变换矩阵形式。例如变换将A变B，而C变成A有从上面式可以解出，同样方法可以给出六个群元素矩阵形式如下将这些矩阵做矩阵乘积就可以得到六个矩阵构成一个群，它与群 同构，它是群乘法表，这的一个表示。45§2.5某些简单群应用上面方法可以研究正边形对称群 ，把正N边形放在xy平面上，中心和原点重合，一个顶点在x轴上，保持正N边形不变的变换有两类。绕z轴N次转动，转角为2jπ/N，变换