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第二章数列极限,或a→a(n→~)1这就证证对Vε>0,要只要则当.则当n>N时，便有【1】定义中N不一定取正整数，可换成某个正实数。2证对Vε>0,要只要3例6证明1,其中a>0。证(1)当a=1时，结论显然成立.(2)当a>1时，记α,=a¹”-1,则α>0(思考：为什么?).由得则当n>N时，便有利用(2)的结果得证。.则有(由二项展开)得则当n>N时，有下面是数列极限“ε-N定义”,否定形式：4证因为例9证明5定义3(3)类似可定义：6(4)类似可定义：类似可定义：无界数列，有上界，无上界等。下面列几个显然成立的结论(作为习题):(1)为无穷小数列(3)无上界，但反之不然。(4)无穷小数列与有界数列的乘积仍是无穷小数列。最后再举几个例题，这些例题都是以后常用的结论。例12。证由上例，即7o8记M=max{|a₁l,|a₂|,…|ayl,|a-1|,|a+1|},类似地有当a<0时的保号性.9有 证由保不等式性得a≥0.若a=0,则由),任给ε>0,存在正数N,使得当n>N时有a,<任给ε>0,由,存在正数N,使得当n>N时有定理5(迫敛性)有例2[习题2.2:10]设,证明：证由迫敛性得证。(2)因为,耳则存在N>0,使得当n>N时，有于是也都是收敛数列，且有特别当b,为常数c时有也是收敛数列，且有1,因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.2.|a,b₂-ab=(a₁-a)b+a(b₄-b)≤|a-a|b,|+|alb,-bl(8)例3[第二章总练习题：3]设(又间由此等式能否反过来推出则则证(1)见前。若a>0,根据平均值不等式得N由迫敛性若a=0,同样由迫敛性得例6[习题2.2:4(6)]因为【注】错误的做法：有由于n₄≥k,故当k>N时，有n₄>N,从而也有例7证明数列都发散。证(-1)}的奇子列收敛于-1,偶子列收敛于1,故(-1)^}发散。定理9(见前)§3数列极限存在的条件类似定义递减与严格递减数列。(严格)递增数列和(严格)递减数列统称为(严格)单调数列.定理1(单调有界定理)有界的单调数列必有极限.有a-ε<an<a+∈,,从而,从而限存在并求其值。,由保不等式性A≥0。在两【注】(1)因为单调有界数列的极限是其确界，所以是其一个上界，证明(2)上面方法是把这个上界又给予了放大。【注】这是求方程x²-σ=0正根的Newton迭代法。以σ=2为例计算结果如下k2345使得这就证明了例5证明证由二项式定理2(致密性定理)有界数列必有收敛子列。证先证明：任何数列都有单调子列。Ve>0,3K,当k>K时时，有对任意大的N,取n>N,m=2n,则,取,有下界零，故有极限，记极限为A。在或取n₀>a,当n>n₀时

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